多元复合函数求导法则课件.ppt

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1、关于多元复合函数求导法则现在学习的是第1页，共20页一、链式法则一、链式法则定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算(),()zftt t则复合函数在对应点可导，),(vufz ),(vu函数在对应点具有连续偏导数，可导，()ut )(tv t如果函数及都在点一元复合函数(),()yf uux 求导法则ddddddyyuxuxuvtz现在学习的是第2页，共20页(),zzzuvouv ()zzuzvotutvtt dudtd vd t证()(),uttt 则则);()(tttv tt 设设 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtv dt 22()

2、()uv ()o 22()()uvtt 0t0 时,取“”号0t 当当时时，由于函数),(vufz 在点故可微，即),(vu有连续偏导数，现在学习的是第3页，共20页例1 设 而2,xyze ()yt sin,xt 其中 可导，求()t.dzdtxytzdzz dxz dydtx dty dt 解z dxz dyx dty dt 22cos(2)()xyxyetet 2cos2()xyett 现在学习的是第4页，共20页1.上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数 称为dtdz推广)(),(),(tttfz 中间变量多于两个的情况:现在学习的

3、是第5页，共20页,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:(,)ux y ),(yxv ),(yx如果及都在点),(vufz 具有对 x和y 的偏导数，且函数(,),(,)zfx yx y 则复合函数在对应点),(vu在对应点具有连续偏导数，2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：现在学习的是第6页，共20页uvxzy复合结构如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv (,),(,)zfx yx y 链式法则的规律：“连线相乘，分线相加”现在学习的是第7页，共20页解 xz uzxu vzxv 1c

4、ossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy现在学习的是第8页，共20页zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz (,),(,),(,)zfx yx yx y (,),(,),(,)zfx yx yx y ),(yx在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则的规律：“连线相乘，分线相加”(,),vx y (,),ux y (,)wx y 设),(yx都在点具有偏导数，(,)zf u v w 在则复合函数对应点(,)u v w具有连续偏导数，现在学习

5、的是第9页，共20页),(yxufz (,)ux y 即(,),zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中两者的区别yyxzxu区别类似3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况：现在学习的是第10页，共20页解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt现在学习的是第11页，共20页解令,zyxu ;xyzv 记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu现在学习的是第12页，共20页 zxw2)(21fyzfz ;

6、221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 现在学习的是第13页，共20页 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质：无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不

7、变性二、全微分形式不变性现在学习的是第14页，共20页dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 现在学习的是第15页，共20页例5 设 而cos,uzev,uxy vxy ,.zzxy求解(cos)udzd ev cos(sin)uuevduev dv (),dud xyydxxdy (),dvd xydx dy (cossin)(cossin)uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos()sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy

8、比较现在学习的是第16页，共20页1、链式法则（连线相乘，分线相加）2、全微分形式不变性（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）小结zzdzdudvuv 现在学习的是第17页，共20页思考题),(xvufz (),ux )(xv 设，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 试问与是否相同？为什么？uzvxx现在学习的是第18页，共20页 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf uzvxx(,),zf u v x(),ux )(xv 等式左端的z是作为一个自变量x的函数，写出来为 不相同.xfdxdvvfdxduufdxdz 现在学习的是第19页，共20页感谢大家观看现在学习的是第20页，共20页