多元随机变量及其分布讲稿.ppt

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1、关于多元随机变量及其分布1第一页，讲稿共九十七页哦2 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.第二页，讲稿共九十七页哦3 一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,，Xn)为n维随机变量或随机向量.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.第三页，讲稿共九十七页哦41 1 二维离散型随机变量二维离散型随机变量XY1yjy2y1xi

2、x2x11p12pjp121p22pjp21ip2ipjip对对二二维维离离散散型型随随机机向向量量),(YX,X的的可可能能取取值值为为,21xx，Y的的可可能能取取值值为为,21yy，如如果果，j ijipyYxXP ,2,1,ji则称二维表 为(X,Y)的联合分布律。一、二维离散型随机变量及其联合分布律第四页，讲稿共九十七页哦5显显然然，j ip必必须须满满足足以以下下两两个个性性质质:(1)非非负负性性 0 j ip,2,1,ji(2)规规范范性性 1 ijj ip.XY1yjy2y1xix2x11p12pjp121p22pjp21ip2ipjip第五页，讲稿共九十七页哦6例1 袋中有

3、2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。XY012595322 012565232 2565322 2545222 解第六页，讲稿共九十七页哦7259256256254XY0101解例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。第七页，讲稿共九十七页哦8例2解设设A,B为为随随机机事事件件,且且41)(AP,31)|(ABP,21)|(BAP,令令 ;,0,1不不发发生生发发生生AAX .,0,1不不发发生生发发生生BBY 求二维随机变量求二维随

4、机变量),(YX的联合概率分布。的联合概率分布。由于,121)|()()(ABPAPABP,61)|()()(BAPABPBP所以,121)(1,1 ABPYXP,61)()()(0,1 ABPAPBAPYXP,121)()()(1,0 ABPBPBAPYXP第八页，讲稿共九十七页哦9,1211,1 YXP,610,1 YXP,1211,0 YXP)(0,0BAPYXP ,32)()()(1 ABPBPAP故(X,Y)的联合概率分布为)(1BAP 3212161121XY0101第九页，讲稿共九十七页哦10解例3令令随随机机变变量量X表表示示在在1,2,3,4中中等等可可能能地地取取一一个个值

5、值，令令随随机机变变量量 Y 表表示示在在X1中中等等可可能能地地取取一一个个值值。求求),(YX的的联联合合分分布布律律及及2,3 YXP.由由于于 Y 的的取取值值依依赖赖于于 X 的的取取值值,由由乘乘法法公公式式得得),(YX的的联联合合分分布布律律为为,jYiXPpij )|)iXjYPiXP ,141i 41 ijXY432143214100081810012112112101611611611612,3 YXP.32121121818141 第十页，讲稿共九十七页哦11二、二维随机变量的联合分布函数二、二维随机变量的联合分布函数二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数,),(y

6、YxXPyxF yx,),(yxxyO)(xXPxF xX的分布函数一维随机变量Xxx第十一页，讲稿共九十七页哦12,dYcbXaP 则则有有设设,dcba ),(ca),(db),(da),(cbxyO.),(),(),(),(caFdaFcbFdbF ),(yxxyOabcd第十二页，讲稿共九十七页哦13二维随机变量分布函数的基本性质,),(yYxXPyxF (1 1)1),(0 yxF；(2 2),(yxF关关于于变变量量x或或y单单调调不不减减；(3 3),(yxF关关于于变变量量x或或y都都是是右右连连续续的的；(4 4)0),(yF,，0),(xF，0),(F.1),(F第十三页，

7、讲稿共九十七页哦14练习：练习：P57 习题 3-11.41)(AP,31)|(ABP,21)|(BAP,令令 不不发发生生若若发发生生若若，A 0 A ,1 X，不不发发生生若若发发生生若若，BB 0 ,1 Y，补充题 设A，B为两个随机事件，且 求求),(YX的的联联合合概概率率分分布布。第十四页，讲稿共九十七页哦1541)(AP,31)|(ABP,21)|(BAP,解令令 不不发发生生若若发发生生若若，A 0 A ,1 X，不不发发生生若若发发生生若若，BB 0 ,1 Y，补充题 设A，B为两个随机事件，且 求求),(YX的的联联合合概概率率分分布布。,121)|()()(ABPAPAB

8、P,61)|()()(BAPABPBP1,1 YXP0,1 YXP1,0 YXP,121)(ABP)(BAP,61)()(ABPAP,121)()()(ABPBPBAP第十五页，讲稿共九十七页哦16,1211,0 YXP0,0 YXP,1211,1 YXP,610,1 YXP即(X,Y)的概率分布为：3/2XY010112/16/112/1,32)1216141(1 )(BAP)(BAP)()()(1ABPBPAP 第十六页，讲稿共九十七页哦172 2 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量的联合密度函数 xyvuvufyxFdd),(),(则则称称(X,Y)是是二二维维连

9、连续续型型随随机机变变量量，称称),(yxf为为二二维维连连续续型型随随机机变变量量(X,Y)的的联联合合概概率率密密度度函函数数。设设),(yxF是是二二维维随随机机向向量量(X,Y)的的联联合合分分布布函函数数，如如果果存存在在一一个个非非负负可可积积函函数数),(yxf，使使得得对对任任意意的的实实数数yx,，有有 第十七页，讲稿共九十七页哦18联联合合密密度度函函数数),(yxf具具有有以以下下性性质质：xyvuvufyxFdd),(),(1 1)非非负负性性：.0),(yxf(2 2)规规范范性性：.1dd),(yxyxf 1),(F(3 3)若若),(yxf连连续续，则则.),()

10、,(2yxfyxyxF (4 4),dd),(D),(D yxyxfYXP 其其中中D为为平平 面上的一个区域.第十八页，讲稿共九十七页哦19设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为例1解 其其他他 ,00,0 ,e),()2(yxAyxfyx(2 2)求求分分布布函函数数),(yxF；(3 3)求求概概率率.XYP 002dedeyxAyx(1 1)求求系系数数A；(1)由规范性 yxyxfdd),(，121 A.2 A第十九页，讲稿共九十七页哦20 其其他他 ,00,0 ,e),()2(yxAyxfyx 其他其他 ,00,0,dede2002yxyxyyxx xyyxyxfyxFdd),(

11、),()2(其其他他 ,00,0,)e1()e1(2yxyx第二十页，讲稿共九十七页哦21)3(XYP xyO 00d),(dxyyxfx 002dede2xyxyx 02)de1(e2xxx.31 其其他他 ,00,0 ,e),()2(yxAyxfyx第二十一页，讲稿共九十七页哦22设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为 其其他他 ,0 10,10 ,4),(yxxyyxf，求求),(YX的联合分布函数的联合分布函数.解例2xyo11,dd),(),(xyvuvufyxF当当0 x或或0 y时时，显显然然0),(yxF；当当10 x且且10 y时时，xyvuu

12、vyxF00dd4),(;22yx 第二十二页，讲稿共九十七页哦23xyo11当当1 x且且10 y时，时，;dd4),(2100yvuuvyxFy 当当1 y且且10 x时时，;dd4),(2010 xvuuvyxFx 当当1 x且且1 y时时，;1dd4),(1010 vuuvyxF 11 ,1 101 ,101 ,10,10 ,00 ,0 ),(2222yxyxyxyxyxyxyxyxF且且且且且且或或所以第二十三页，讲稿共九十七页哦24二、常用的二维连续型随机变量二、常用的二维连续型随机变量 设G是平面上的有界区域,其面积为A.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 其它其它 ,0 ),

13、(,1),(GyxAyxf则称(X,Y)在G上服从均匀分布.若(X,Y)服从区域G上的均匀分布,则对于G中任一子区域D,有.)D(dd1dd),(D),(DD ASyxAyxyxfYXP1、二维均匀分布第二十四页，讲稿共九十七页哦25 于是(X,Y)落在G中任一子区域D的概率与D的面积成正比,而与D的形状和位置无关.在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。第二十五页，讲稿共九十七页哦26如果(X,Y)的概率密度 其其他他 ,0 0,0,e),()(yxyxfyx 2、二维指数分布其其中中0 ，0 ，称称),(YX服服从从参参数数为为 ,的的二二维维指指数

14、数分分布布。第二十六页，讲稿共九十七页哦27若二维随机变量(X,Y)具有概率密度记作.),(),(22212 1NYX则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布.,2121,0,021 1|其中均为常数,且 ,2121),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx3 3、二维正态分布、二维正态分布第二十七页，讲稿共九十七页哦28练习：练习：P59 习题 3-21.第二十八页，讲稿共九十七页哦293 3 边缘分布边缘分布)(xXPxFX ,YxXP,),(xF即,),()(xFxFX同理,.),()(yFxFY 一、边缘分布函数与联合分布函数的关系 二维

15、随机变量(X,Y)作为一个整体,用联合分布来刻画.而X和Y都是一维随机变量,各有自己的分布,称为边缘分布.第二十九页，讲稿共九十七页哦30设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为例1 其其它它 ,0 0,0 ,eee1),(yxyxFxyyxyx 则边缘分布函数为其中参数.0 ),()(xFxFX 0 ,0 0 ,e1xxx),()(yFyFY 0 ,0 0 ,e1yyy第三十页，讲稿共九十七页哦31说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。其其

16、它它 ,0 0,0 ,eee1),(yxyxFxyyxyx,0 ,0 0 ,e1)(xxxFxX 0 ,0 0 ,e1)(yyyFyY边缘分布与参数无关.第三十一页，讲稿共九十七页哦32例2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF ，试试求求：(1 1)系系数数CBA,；(2 2),(YX的的概概率率密密度度；(3 3)边边缘缘密密度度函函数数；(4 4)3,20 YXP.解(1),)2)(2(),(1 CBAF,)2)(2(),(0 CBAF)2)(2(),(0 CBAF,2 CB.12 A第三十二页，讲稿共九十七页哦33)3arc

17、tan2)(2arctan2(1),(2yxyxF 解(2)(X,Y)的联合密度函数为yxyxFyxf ),(),(2.)9)(4(6222yx (3)边缘分布函数分别为,)2arctan2(1),()(xxFxFX ,)3arctan2(1),()(yyFyFY 求导得边缘密度函数分别为)()(xFxfXX ,)4(32x )()(yFyfYY .)9(32y 第三十三页，讲稿共九十七页哦34)9)(4(6),(222yxyxf 解(4)3,20 YXP 203dd),(yxyxf 3220229d4d6yyxx 32023arctan312arctan216 yx.163 第三十四页，讲稿

18、共九十七页哦35二、边缘分布律二、边缘分布律设(X,Y)是离散型二维随机变量，联合分布律为,2,1,jipyYxXPj ijiixXP 则边缘分布为 jj ip jjiyYxXP,ip记作jyYP ij ip ijiyYxXP,jp ,2,1 i,2,1 j第三十五页，讲稿共九十七页哦36 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为 例3XY010125925625625453525253Y的边缘分布X的边缘分布XP015352所以 X,Y 的边缘分布律分别为YP015352第三十六页，讲稿共九十七页哦37若改为无放回

19、摸球，则(X,Y)的联合分布律为 1032523 PP1032325 P1033225 P1012522 PPXY010110353525253103103101边缘分布为第三十七页，讲稿共九十七页哦38XY010110353525253103103101边缘分布为XY010125925625625453525253与有放回的情况比较，但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为 第三十八页，讲稿共九十七页哦39例4 设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)c；(2 2)YX,的的边边缘缘分分布布；(1)12.01.02.01.01.

20、0 c.0.3 cXY120010.1c0.10.10.20.2.)1()3(YXP第三十九页，讲稿共九十七页哦40例4 设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)c；(2 2)YX,的的边边缘缘分分布布；(1)0.3XY120010.10.10.10.20.2.)1()3(YXP(2)边缘分布0.30.40.30.50.5X10P0.50.5Y120P0.30.40.312.01.02.01.01.0 c.0.3 c第四十页，讲稿共九十七页哦41例4 设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)c；(2 2)YX,的的边边缘缘分分布布；(1)0.3XY120010.10

21、.10.10.20.2.)1()3(YXP0.30.40.30.50.5)1()3(YXP)0,1()1,0()0,0(YXPYXPYXP.6.02.03.01.0 12.01.02.01.01.0 c.0.3 c第四十一页，讲稿共九十七页哦42三、边缘密度函数三、边缘密度函数设(X,Y)是连续型二维随机变量，联合密度函数为,),(yxf由于),()(xFxFX xyyvuvufdd),(lim，uvvufxdd),(所以(X,Y)关于X的边缘密度函数为，yyxfxfXd),()(同理,关于Y 的边缘密度函数为.d),()(xyxfyfY第四十二页，讲稿共九十七页哦43 其其他他,00,10)

22、,2(),(xyxxcyyxf求(1)c的值；(2)两个边缘密度；100d)2(dxyxcyx yxyxfdd),(解 (1)c245 设(X,Y)的概率密度是例5(3)概概率率.1 YXP xy01xy，1.524 c 102d)2(2xxxc第四十三页，讲稿共九十七页哦44 其其他他,00,10),2(524),(xyxxyyxfxy01xy xyxy0d)2(524,)2(5122xx 10 x(2)yyxfxfXd),()(其其他他 ,010),2(512)(2xxxxfX所以第四十四页，讲稿共九十七页哦45xy01xy 1d)2(524yxxy10 y(2)xyxfyfYd),()(

23、所以,)2223(5242yyy 其他其他 ,010),2223(524)(2yyyyyfY 其其他他,00,10),2(524),(xyxxyyxf第四十五页，讲稿共九十七页哦46xy01xy(3)1 YXP 2101d)2(d524yyxxyy 21032d)323(524yyyy.83645524 1 yx)21,21(其其他他,00,10),2(524),(xyxxyyxf第四十六页，讲稿共九十七页哦47设设随随机机向向量量),(YX在在由由 x 轴轴、y 轴轴及及直直线线22 yx所所围围成成的的三三角角形形区区域域 D 上上服服从从均均匀匀分分布布，求求边边缘缘密密度度函函数数)(

24、xfX,)(yfY。例6解随机向量(X,Y)的密度概率为 若若；若若，D),(,0 D),(1 ),(yxyxyxfxyO21D22 yx yyxfxfXd),()(xy220d1,22x 10 x,0其他xy22 第四十七页，讲稿共九十七页哦48设设随随机机向向量量),(YX在在由由 x 轴轴、y 轴轴及及直直线线22 yx所所围围成成的的三三角角形形区区域域 D 上上服服从从均均匀匀分分布布，求求边边缘缘密密度度函函数数)(xfX,)(yfY。例6解随机向量(X,Y)的密度概率为 xyxfyfYd),()(210d1yx,21y 20 y,0其他xy22 21yx xyO21D 若若；若若

25、，D),(,0 D),(1 ),(yxyxyxf第四十八页，讲稿共九十七页哦49x1 11 y1122 yx上的均匀分布，试求X和Y的边缘分布.设二维随机变量(X,Y)服从单位圆 其他其他 ,01 ,1),(22yxyxf 解关于X的边缘密度为 yyxfxfXd),()(其其他他 ,01|,d12211xyxx 21 xy 21 xy 例7(X,Y)的联合密度函数为 其其他他 ,01|,122xx 第四十九页，讲稿共九十七页哦50 x1 11 y1122 yx上的均匀分布，试求X和Y的边缘分布.设二维随机变量(X,Y)服从单位圆 其他其他 ,01 ,1),(22yxyxf 解关于Y 的边缘密度

26、为 xyxfxfYd),()(其其他他 ,01|,d12211yxyy 例7(X,Y)的联合密度函数为 其其他他 ,01|,122yy 21 yx 21 yx 注意：X和Y 的边缘分布不是均匀分布.第五十页，讲稿共九十七页哦51可以证明,若),(),(222121 NYX则,),(211 NX.),(222 NY 这就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数 .因此可以断定参数 描述了X与Y之间的某种关系!由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.再次说明联合分布和边缘分布的关系:第五十一页，讲稿共九十七页哦52练习：练习：P64 习题 3

27、-31.第五十二页，讲稿共九十七页哦534 4 条件分布条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.)()()|(BPABPBAP 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量 设有两个随机变量 X,Y，在给定Y 取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.第五十三页，讲稿共九十七页哦54一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.,|jjijiyYPyYxXPyYxXP ，jjipp ,2,1 i类似地，对于固定的 i，若P(X=

28、xi)0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.,|ijiijxXPyYxXPxXyYP ，ijipp,2,1 j第五十四页，讲稿共九十七页哦55 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,0|jiyYxXP例如：.1|ijiyYxXP,2,1 i第五十五页，讲稿共九十七页哦56 设(X,Y)的联合分布律为 例1解求在给定Y=2下随机变量X的条件分布律和在给定X=1下随机变量Y的条件分布律。因为,612 YP所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为2|0 YXP22,0 YPYXP,0 2|1 YXP,21 2|2 YXP,21

29、1XY1121612324112141121001210第五十六页，讲稿共九十七页哦57或写为1XY1121612324112141121001210kX 012021212|YkXP第五十七页，讲稿共九十七页哦58所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为或写为,311 XP1XY1121612324112141121001210kX 012021212|YkXPkY 1221411|XkYP341第五十八页，讲稿共九十七页哦59二、连续型随机变量的条件密度函数二、连续型随机变量的条件密度函数)(),()|(|xfyxfxyfXXY 边缘概率密度为 ,若对固定的x,)(),(yfxfYX，0

30、)(xfX 为在X=x的条件下，Y 的条件概率密度;)(),()|(|yfyxfyxfYYX 类似地，对一切使 的 y,定义0)(yfY为在 Y=y的条件下，X的条件概率密度.定义 设X和Y的联合概率密度为,),(yxf则称第五十九页，讲稿共九十七页哦60 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为，其它其它 01 ,1),(22yxyxf.)|(|xyfXY求求 yyxfxfXd),()(X的边缘密度为例2解yxxd12211 xy021 xy 21 xy .1|01|,122 xxx，第六十页，讲稿共九十七页哦61所以,当|x|1时,有)(),()|(|xfyxfxyfXXY 21)2

31、(1x ,1212x ，其它其它 01 ,1),(22yxyxf.1|01|,12)(2 xxxxfX，所以，时时当当11 x)|(|xyfXY .,0 11 ,121222 取取其其它它值值yxyxxx 作为已知变量第六十一页，讲稿共九十七页哦62练习：练习：P68 习题 3-41.第六十二页，讲稿共九十七页哦63第五节第五节 第六十三页，讲稿共九十七页哦64随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,相相互互独独立立，即即和和事事件件yYxX 则称X,Y相互独立.，,yYP

32、xXPyYxXP 第六十四页，讲稿共九十七页哦65,yYPxXPyYxXP )()(),(yFxFyxFYX 上式用分布函数表示,即情形1 (X,Y)是离散型随机变量，则 X,Y相互独立的定义等价于,jijiyYPxXPyYxXP .,2,1,jipppjij i即即第六十五页，讲稿共九十七页哦66 袋中有2只白球3只黑球，摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为 例1XY010110353525253103103101XY010125925625625453525253 经验证，放回时，X与Y相互独立；不放回时，不独

33、立。jij ippp 第六十六页，讲稿共九十七页哦67 设(X,Y)的联合分布律为 例2且X与Y 相互独立，试求 和 。1XY1 9131 23218191,313,1 YPXPYXP)91181)(18191(181 .61 又由分布律的性质,有1913118191 187 .92 解由X与Y 相互独立，知第六十七页，讲稿共九十七页哦68解例3 假设随机变量X和Y相互独立，都服从参数为p(0p1)的0-1分布，随机变量 ，为为奇奇数数若若为为偶偶数数若若YXYXZ 0 1问p取何值时，X和Z相互独立？首先求出Z的概率分布：0 ZP1 YXP0,11,0 YXPYXP0110 YPXPYPXP

34、，)1(2pp 因为X和Y相互独立)1(211ppZP 第六十八页，讲稿共九十七页哦69随随机机变变量量 X 和和 Z相相互互独独立立等等价价于于事事件件iX 与与jZ )1,0,(ji独独立立，)1(20ppZP 若若两两事事件件独独立立，则则将将两两个个或或其其中中任任意意一一个个事事件件换换成成其其逆逆事事件件后后所所得得两两事事件件仍仍然然独独立立；因因此此，只只需需验验证证0 X与与0 Z独独立立的的条条件件,10pXP 0,0 ZXP1,0 YXXP1,0 YXP10 YPXP )1(pp 令,)1()1(22pppp .5.0 p所以p取0.5时，X和Z相互独立。第六十九页，讲稿

35、共九十七页哦70情形2 (X,Y)是连续型随机变量，则 X,Y相互独立的定义等价于)()(),(yfxfyxfYX 在平面上几乎处处成立。例4解设(X,Y)的联合密度函数为 ,010,104),(其其他他yxxyyxf问X与Y是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为,0102)(其其他他xxxfX,0102)(其其他他yyxfY)()(),(yfxfyxfYX 成立，所以X,Y相互独立。第七十页，讲稿共九十七页哦71例5解设(X,Y)的联合密度函数为 问X与Y是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为,010)1(4d8)(21 其其它它xxxyxyxfxX，因因为为)()(),(yfxfyxfYX 所

36、以X,Y 不相互独立。,010,08),(其其他他yyxxyyxf,0104d8)(30 其其他他yyxxyyfyYxy011xy 第七十一页，讲稿共九十七页哦72练习：练习：P70 习题 3-51.第七十二页，讲稿共九十七页哦73第六节第六节 第七十三页，讲稿共九十七页哦74 在这节讨论如何利用随机向量(X,Y)的分布求它的函数的分布，分离散型和连续型两种情形讨论。一、二维离散型随机变量函数的分布 设随机向量(X,Y)的联合分布律为,ijjipyYxXP ,2,1,ji则则由由(X,Y)的的所所有有可可能能取取值值情情况况，可可以以求求出出随随机机变变量量),(YXhZ 的的 所所有有 可可

37、 能能取取 值值情情 况况，不不 妨妨 设设为为,21kzzz；再再把把取取值值相相同同的的概概率率合合并并，从从而而得得到到 Z 的的概概率率分分布布。下下面面通通过过具具体体的的例例子子说说明明。第七十四页，讲稿共九十七页哦75 设随机变量(X,Y)的联合分布律为 例1解XY01410128181818141分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y)的分布律。),(YX)0,0()1,0()2,0()0,1()1,1()2,1(418181814181YX 01212322YX 014125),min(YX001010第七十五页，讲稿共九十七页哦760123YX P4141838122

38、YX P012454141814181),(YX)0,0()1,0()2,0()0,1()1,1()2,1(YX 01212322YX 014125418181814181),min(YX00101001),min(YXP8385第七十六页，讲稿共九十七页哦77证设设X,Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,)(1 X,)(2 Y.证证明明:)(21 YXZ.nYXPnZP nkknkknknn021)(!)(!e21 ,)(!e21)(21nn ,2,1,0 n所以.)(21 PYXZ nkknkknk02121e!)(e!例2 nkknkknCn021)(!e21 此性质称为泊松分布

39、的可加性 nkknYkXP0,nkknYPkXP0)第七十七页，讲稿共九十七页哦78二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布主要讨论和的情况.设X和Y的联合密度为 f(x,y),求Z=X+Y的密度.Z=X+Y的分布函数是:zyxyxyxfdd),()(zYXPzZPzFZ xy0zyx zz xyyxfxzd)d),(两边关于z求导，则得Z的密度函数为 xxzxfzFzfZZd),()()(第七十八页，讲稿共九十七页哦79 xxzxfzfZd),()(由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成 yyyzfzfZd),()(特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分

40、别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:yyfyzfzfYXZd)()()(xxzfxfzfYXZd)()()(这两个公式称为卷积公式,记为 .YXff 第七十九页，讲稿共九十七页哦80 设X,Y相互独立且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.由卷积公式,有 xxzxde21e212)(222 xzxzdee2122)2(4,2zxt 令令 ttzdee21224.)2,0(NYXZ 即即例3解 xxzfxfzfYXZd)()()(.e2142z ttde2第八十页，讲稿共九十七页哦81用类似的方法可以证明:.),(222121 NYXZ则则若X和Y 独立,),(),(222211

41、NYNX 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).即有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,),(,21iiinNXXX 且且相相互互独独立立若若更更一一般般地地 niniiiniiNX1121,niniiiiiniiikkNXk11221,则则有有,1ni 正态分布的可加性第八十一页，讲稿共九十七页哦82设设随随机机变变量量),(YX的的联联合合密密度度函函数数为为 其其他他020,101),(xyxyxf求求YXZ 2的的密密度度函函数数 解例4Z 的分布函数为 zyx 2xy012xy2 2)(zYXPzZPzFZ 1）当当0 z时时，0

42、2)(zYXPzFZ；2）当当20 z时时，2)(zYXPzFZ )2)(21(211zz ;412zz 第八十二页，讲稿共九十七页哦83解(2)YXZ 2的的分分布布函函数数为为 2)(zYXPzZPzFZ 1）当当0 z时时，02)(zYXPzFZ；2）当当20 z时时，2)(zYXPzFZ zyx 2)2)(21(211zz ;412zz xy012xy2 其他其他 ,020 ,211)()(zzzFzfZ故 Z 的概率密度为 3)当当2 z时，时，.12)(zYXPzFZ 第八十三页，讲稿共九十七页哦84设设随机变量随机变量YX,独立同分布独立同分布，且且 X 分布函数为分布函数为)(

43、xF，则则,maxYXZ 的分布函数为的分布函数为（）(A)(2xF (B)()(yFxF(C)2)(1 1xF (D)(1)(1 yFxF 解例5)(xZPxFZ ,maxxYXP ,xYxXP xYPxXP .)(2xF 由独立性同分布【答案】应选(A)。第八十四页，讲稿共九十七页哦85解设设随随机机变变量量),(YX的的概概率率密密度度函函数数为为（1 1）常数）常数 A；（2 2）),min(YXZ 的概率密度函数；的概率密度函数；（3 3）),(YX 落在以落在以 x 轴，轴，y 轴及直线轴及直线 22 yx 所围所围成三角形区域成三角形区域 D 内的概率内的概率.(1)其他其他 ,

44、0 0,0 ,e),()(yxAyxfyx yxyxfdd),(;1 A(2)0 ,0 0 ,de)(0)(xxyxfyxX,0 ,0 0 ,e xxx 0 ,0 0 ,e1)(xxxFxX 00dedeyxAyx例6第八十五页，讲稿共九十七页哦86 其其他他 ,0 0,0 ,e),()(yxyxfyx,0 ,0 0 ,e)(xxxfxX 0 ,0 0 ,e1)(xxxFxX 0 ,0 0 ,de)(0)(yyxyfyxY,0 ,0 0 ,e yyy 0 ,0 0 ,e1)(yyyFyY)()(),(yfxfyxfYX ，所所以以YX,相相互互独独立立.第八十六页，讲稿共九十七页哦87,0 ,

45、0 0 ,e1)(xxxFxX 0 ,0 0 ,e1)(yyyFyY当当0 z时，时，)(zZPzFZ ),min(zYXP ,1zYzXP 1zYPzXP 1 1 1zYPzXP 当当0 z时时，0)(zFZ，),min(1zYXP )(1)(1 1zFzFYX ,e12z 所所以以),min(YXZ 的的概概率率密密度度函函数数为为 0 ,0 0 ,e2)()(2zzzFxfzZZ第八十七页，讲稿共九十七页哦88练习：练习：P75 习题 3-61.第八十八页，讲稿共九十七页哦89证补充练习：补充练习：设设X,Y是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量,),(1pnBX,),(2pnBY.证

46、证明明：),(21pnnBYXZ .,)1(11knkknppCkXP 1,2,1,0nk,)1(22knkknppCkYP 2,2,1,0nk iZP ikkinkikinknkknppCppC02211)1()1(,)1(21210inniikkinknppCC 21,2,1,0nni 可以证明：.21210innikkinknCCC 第八十九页，讲稿共九十七页哦90iZP,)1(21210inniikkinknppCC 21,2,1,0nni 可以证明：.21210innikkinknCCC 由恒等式,)1()1()1(2121nnnnxxx 即)()(221121000 ntttnns

47、ssnniiinnxCxCxC比比较较两两边边ix的的系系数数,即即得得证证.所以,)1(2121inniinnppCiZP 21,2,1,0nni 此即说明.),(21pnnBYXZ 第九十页，讲稿共九十七页哦91补充题：补充题：解 掷一颗均匀骰子二次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律 XY12312036/1456336/1436/15636/136/136/236/136/136/136/136/1036/336/136/136/1036/436/136/1036/536/1036/60000000000第九十一页

48、，讲稿共九十七页哦92XY12312036/1456336/1436/15636/136/136/236/136/136/136/136/1036/336/136/136/1036/436/136/1036/536/1036/60000000000边缘分布：X6/1123P4656/16/16/16/16/1Y36/1123P46536/336/536/736/936/11第九十二页，讲稿共九十七页哦93zyo1zy 1 zy解例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分,010 ,1)(其他其他xxfX,00 ,e)(其其他他yyfyY求求随随机机变变量量YXZ 的的概概率率密密度度

49、.由卷积公式,d)()()(yyfyzfzfYXZ仅当,010 yyz上述积分的被积函数才不等于0,因此 01yzyz即时,别为第九十三页，讲稿共九十七页哦94zyo1zy 1 zy,010 ,1)(其他其他xxfX,00 ,e)(其其他他yyfyY,d)()()(yyfyzfzfYXZ 01yzyz当当10 z时时,zYXZyyfyzfzf0d)()()(zyy0de1,e1z 当当1 z时时,zzYXZyyfyzfzf1d)()()(zzyy1de1,e)1e(z 第九十四页，讲稿共九十七页哦95当当10 z时时,zYXZyyfyzfzf0d)()()(zyy0de1,e1z 当当1 z时时,zzYXZyyfyzfzf1d)()()(zzyy1de1,e)1e(z .0 ,01 ,e)1e(10 ,e1)(zzzzfzzZ即有第九十五页，讲稿共九十七页哦96END第九十六页，讲稿共九十七页哦感谢大家观看第九十七页，讲稿共九十七页哦