变分法及其在最优控制中的应用讲稿.ppt

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1、第一页，讲稿共九十四页哦第二页，讲稿共九十四页哦一、泛函的定义 如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个 与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=Jx(t)。确定的值说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。例1.1.1 函数的定积分10)(dttxJ是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。第三页，讲稿共九十四页哦例1.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如图1-1所示。当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)=xa，x(tb

2、)=xb）给定后，可算出它在A、B两点间的弧长为：A(ta,xa)x(t)B(tb,xb)xot图11dtdtdxJbatt21例1.1.3 函数的不定积分 不是泛函。dxyt0)(泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况，例如：10)()(dttytxJ第四页，讲稿共九十四页哦从例1.1.2可以知道，连接A、B两点的曲线之弧长的泛函，其被积函数 是未知函数导数的函数。在一般情况下，被积函数是自变量t，未知函数x(t)及其导数 的函数。所以最简单的一类泛函可表示为：求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛函的极值问题称为变分问题，其相应

3、的方法称为变分法。21x)(tx dtttxtxLtxJftt0),(),()()()()(0txtxtx（1.1.1）如图1-2所示。二、泛函宗量的变分 泛函Jx(t)的宗量是函数x(t)，其变分是指在同一函数类中的两个函数间的差：x(t)xot图12x0(t)x(t)t1t2第五页，讲稿共九十四页哦x(t)xot图13x0(t)t1t2第六页，讲稿共九十四页哦)(tx)(0tx)()(,)()(00txtxtxtxx(t)xot图 1 4x0(t)t1t2注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。第七页，讲稿共九十四页哦)()(,)()(,)()()(0)(00txtxtxtx

4、txtxkk)()(max)(),(00txtxtxtxdbta)()(,)()(,)()(max)(),()(0)(000txtxtxtxtxtxtxtxdkkbta显然，式（1.1.5）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而式（1.1.6）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。第八页，讲稿共九十四页哦 连续泛函如果满足下列条件：（1）Jx1(t)+x2(t)=Jx1(t)+Jx2(t)（2）Jcx(t)=c Jx(t)第九页，讲稿共九十四页哦其中，c是任意常数，就称为线性泛函。例如21)()(sin)()(ttdttxtttxtxJ21)()()()()(ttdttxtqtxtptxJ2)(

5、)(ttxtxJ都满足上述两个条件，故均为线性泛函。五、泛函的变分如果连续泛函Jx(t)的增量可以表示为：（泰勒级数）)()()()(txJtxtxJtxJ)(),()(),(txtxrtxtxL其中，Lx(t)，x(t)是关于x(t)的线性连续泛函，而rx(t)，x(t)是关于x(t)的高阶无穷小。Lx(t)，x(t)称为泛函的变分，记为（1.1.9）第十页，讲稿共九十四页哦)(),(txtxLJ（1.1.10）也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。当一个泛函具有变分时，即泛函的增量可以用式（1.1.9）来表示时，称该泛函是可微的。例如，泛函dttxtxJ)()(102的增量为：1010

6、22)()()(dttxdttxtxJ102)()()(2dttxtxtx10102)()()(2dttxdttxtx于是，其变分为：10)()(2dttxtxJ第十一页，讲稿共九十四页哦可以证明，泛函的变分是唯一的。因为，若泛函的变分不是唯一的，则泛函的增量可以写为：)(),()(),()(),()(),(2211txtxrtxtxLtxtxrtxtxLJ)(),()(),()(),(21txtxLtxtxLtxtxL引理1.1.1 泛函Jx(t)的变分为：0)()(txtxJJ证明：如上所述，泛函Jx(t)的增量为：)()()(txJtxtxJJ)(),()(),(txtxrtxtxL其中

7、，（0 1）是一个参变量。由于Lx(t)，x(t)是关于 x(t)的线性连续泛函，根据线性泛函的性质（2），有（1.1.11）第十二页，讲稿共九十四页哦)(),()(),(txtxLtxtxL又由于rx(t)，x(t)是关于 x(t)的高阶无穷小，所以0)()()(),(lim)(),(lim00txtxtxtxrtxtxr利用上述两点结论，便得JtxtxJ00lim)()(根据偏微分的定义)()()(lim0txJtxtxJ)(),()(),(lim0txtxrtxtxL)(),(lim)(),(lim00txtxrtxtxL第十三页，讲稿共九十四页哦)(),(lim0txtxL)(),(t

8、xtxL因为泛函Jx(t)的变分为：)(),(txtxLJ所以0)()(txtxJJQED第十四页，讲稿共九十四页哦0)()(txtxJJ0102)()(dttxtxdttxtx0102)()(dttxtxtx010)()()(210)()(2dttxtx例1.1.4 求泛函 的变分。102)(dttx根据式（1.1.11），该泛函的变分为：第十五页，讲稿共九十四页哦0)()(txtxJJ例1.1.5 求泛函 的变分 fttdtttxtxLJ0),(),(根据式（1.1.11），所求泛函的变分为：00),()(),()(fttdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLftt00),()(

9、),()(dttxtxtxttxtxtxtxLtxtxtxttxtxtxtxLftt0)()()(),()(),()()()()(),()(),()(0fttdttxtxttxtxLtxtxttxtxL0)()(),(),()()(),(),(第十六页，讲稿共九十四页哦若设 222)()(),(),(ttxtxttxtxL则dttxtxtxtxJftt0)()()()(2六、泛函的极值 如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内，其增量为：0)()(0txJtxJJ就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极小值；如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内，其增量为：0)(

10、)(0txJtxJJ就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极大值；x0(t)的邻域包含满足条件：的所有点x(t)的球（即以x0(t)为圆心，以为半径的球）。)(),(0txtxd第十七页，讲稿共九十四页哦)()(max)(),(00txtxtxtxdbta)()(0txtx注意：所采用的函数间的距离的定义的不同，点 x0(t)的邻域内所包含的函数也不同。若强极值若)()(,)()(max)(),(000txtxtxtxtxtxdbta)()()()(00txtxtxtx弱极值 显然，如果泛函Jx(t)在点x0(t)处达到强极值，那么它在点x0(t)处也一定达到弱极值。反之不成立。定理1.1.1

11、（必要条件）（必要条件）若泛函Jx(t)是连续可微的，并且在点x0(t)处达到极值，则泛函在点x0(t)处的变分等于零，即0)(),(0txtxJ（1.1.12）第十八页，讲稿共九十四页哦证明：对于任意给定的x(t)，Jx0(t)+x(t)既是函数x(t)的泛函，又是变量的函数。泛函Jx0(t)+x(t)在x0(t)处达到极值，也可看成是函数Jx0(t)+x(t)在=0处达到极值，所以函数Jx0(t)+x(t)对变量的偏导数在=0处应等于零，即0)()(00txtxJ而由式（1.1.11）有000)()()(),(txtxJtxtxJ比较上面两式，又考虑x(t)是任意给定的，所以，0)(),(

12、0txtxJQED第十九页，讲稿共九十四页哦 从定理1.1.1的推证中可见，泛函达到强极值与弱极值的必要条件是相同的。应当指出：本节所讨论的定义、引理和定理，稍加变动就可以应用于含有多个未知函数的泛函：Jx1(t)，x2(t)，xn(t)第二十页，讲稿共九十四页哦 最优控制问题中，根据性能指标的类型（积分型性能指标、终值型性能指标、复合型性能指标）的不同，分别对应了古典变分法中的三类基本问题。fttdtttxtxLtxJ0),(),()(),()(ffttxtxJfttffdtttxtxLttxtxJ0),(),(),()(第二十一页，讲稿共九十四页哦固定端点的Lagrange问题问题描述：假

13、定点A(t0,x0)和B(tf,xf)是所要寻求的泛函（1.2.1）的极值曲线x(t)的两个固定端点，如图1-5所示，其坐标为：ffxtxxtx)()(00（1.2.4）现在的问题是：从满足边界条件（1.2.4）的二阶可微的函数中，选择使泛函（1.2.1）达到极小值的函数x(t)。解：设x*(t)是使泛函（1.2.1）达到极小值且满足边界条件（1.2.4）的极值条件。现用)()(*)(txtxtx表示满足边界条件（1.2.4）的极值曲线x*(t)的邻域曲线。其中（1.2.5）第二十二页，讲稿共九十四页哦x(t)是泛函宗量x(t)的变分，(01)是一参变量。为使x(t)是满足边界条件（1.2.4

14、）的极值曲线x*(t)的邻域曲线，x(t)应具有连续导数且满足条件：x(t0)=x(tf)=0 (1.2.6)于是，由式（1.2.5）得到)()(*)(txtxtx（1.2.7）由于x*(t)是极值曲线，所以泛函（1.2.1）在极值曲线x*(t)上的变分等于零（定理1.1.1），即0J由引理1.1.1知，泛函的变分为0)()(*txtxJJ（1.2.8）（1.2.9）第二十三页，讲稿共九十四页哦将式（1.2.1）代入式（1.2.9），得0)()(*txtxJJ00),()(*),()(*fttdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLftt00),()(*),()(*fttdttxtxt

15、txtxLtxtxttxtxL0)()(),(*),(*)()(),(*),(*xLxLfttxxdttxLtxL0)()(1.2.10)第二十四页，讲稿共九十四页哦 对式（1.2.10）右端第二项进行分部积分dttxLdtdtxLdttxLxttttxttxfff)()()()(000（1.2.12）将式（1.2.11）代入式（1.2.10），并考虑式（1.2.8）得ffttttxxxtxLdttxLdtdL000)()()(利用条件（1.2.6），则上式变为（1.2.13）fttxxdttxLdtdL00)()(（1.2.11）考虑到泛函宗量的变分x(t)是任意的函数，不妨选择xxLdtd

16、Ltwtx)()(（1.2.14）其中w(t)是任一满足下列条件的函数：第二十五页，讲稿共九十四页哦)(,0)(020为某一函数ctttctttttwff将式（1.2.14）代入式（1.2.13），可得0)(20dtLdtdLtwfttxx由上式可见，一个非负的函数的定积分为零，只能是被积函数恒等于零，因此有0 xxLdtdL（1.2.15）将上式左端第二项展开，可得0 xxxxt xxLxLxLL （1.2.16）欧拉(Euler)方程欧拉方程第二十六页，讲稿共九十四页哦式中2222,xLLxxLLxtLLxxxxt x 若 时，欧拉方程是一个二阶微分方程。0 xxL 定理1.2.1 若给定

17、曲线x(t)的始端x(t0)=x0和终端x(tf)=xf，则泛函fttdtttxtxLtxJ0),(),()(达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程0 xxLdtdL其中x(t)应有连续的二阶导数，则至少应是二次连续可微的。),(),(ttxtxL第二十七页，讲稿共九十四页哦x),(txLL),(txLL),(xxLLcLxLx2()xxxxxxdLxLxLx LxxLdt0)(xxxxxLxLxLx 式（1.2.16）cLxLxx xtxtxL),(),(第二十八页，讲稿共九十四页哦 对于向量空间的泛函，也存在着欧拉方程，不过是欧拉方程组（即向量欧拉方程）。定理1.2.2 在n维函数

18、空间中，若极值曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是给定的，则泛函fttdtttXtXLtXJ0),(),()(达到极值的必要条件是曲线X(t)满足向量欧拉方程0XXLdtdL其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的。),(),(ttXtXL（1.2.18）第二十九页，讲稿共九十四页哦例1.2.1 求泛函 满足边界条件 的极值函数。2022212121)2()(),(dtxxxxtxtxJ1)2(,0)0(,1)2(,0)0(2211xxxx

19、解：由式（1.2.18）得：0022211211xxxxLdtdLxx 0022122122xxxxLdtdLxx )4(11xx 其特征方程为：014s特征根为：js,1从而得tctcececxtctcececxttttcossincossin4321243211第三十页，讲稿共九十四页哦由给定的边界条件得1,03421cccc于是得极值函数：ttxttxsin)(sin)(*2*1可以利用MATLAB符号工具箱求解，求解过程如下：syms x1 x2；s=dsolve(D2x1-x2=0,D2x2-x1=0,x1(0)=0,x1(pi/2)=1,x2(0)=0,x2(pi/2)=-1,t)

20、；x1=s.x1x2=s.x2运行结果如下:x1=sin(t)x1=-sin(t)第三十一页，讲稿共九十四页哦例1.2.2 最速降线(又称捷线)问题 所谓最速降线问题是:设在竖直平面内有两点A和B，它们不在同一条铅垂线上，现有一质点受重力的作用自较高的A点向较低的B点滑动，如果不考虑各种阻力的影响，问应取怎样的路径，才能使所经历的时间最短？解：在A、B两点所在的竖直平面内选择 一坐标系，如图16所示。A点为坐标原点，水平线为x轴，铅垂线为y轴。设质点的初速度为零，则由力学的知识可知，质点在重力的作用下，不考虑各种阻力的影响，从A点向B点下滑的速度的大小为gydtdl2（1.2.19）xoyA(

21、0,0)B(xf,yf)dxdydl图16第三十二页，讲稿共九十四页哦由图16得dxydydxdl2221)()(（1.2.20）将式（1.2.20)代入式（1.2.19）中，并变换，得dxgyydt212对上式两边进行积分，可得质点自点A(0，0)滑动到点B(xf，yf)所需的时间为dxgyyxytfx0221)(（1.2.21）设y=y(x)是连接点A(0，0)和点B(xf，yf)的任一光滑曲线,则最速降线问题的数学提法是:在XOY平面上确定一条满足边界条件ffyxyy)(,0)0(（1.2.22）第三十三页，讲稿共九十四页哦的极值曲线y=y(x)，使泛函dxgyyxyJfx0221)(（

22、1.2.23）达到极小值。这时被积函数为：gyyL212不显含自变量x，由(1.2.17)知，它的首次积分为cygyygyyLyLy)1(221222化简上式得212121,1gccycy第三十四页，讲稿共九十四页哦这种方程宜于利用参数法求解，为此，令ctgy 于是，)2cos1(2sin112121ccctgcy又由dcdcctgdcydydx)2cos1(sin2cossin21211对上式积分，得2121)2sin2(2)22sin(ccccx由边界条件y(0)知，c2=0，于是)2cos1(2)2sin2(211cycx第三十五页，讲稿共九十四页哦令2,211cr最后得)cos1()s

23、in(ryrx 这是圆滚线的参数方程。式中r是滚动圆半径，其值由另一边界条件y(xf)=yf确定。所以，最速降线是一条圆滚线。第三十六页，讲稿共九十四页哦当极值曲线x*(t)的端点变化时，要使泛函 达到极小值，x*(t)首先应当满足欧拉方程：fttttxtxLtxJ0),(),()(0 xxLdtdL若端点固定,可以利用端点条件:ffxtxxtx)()(00确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。问题：若端点可变，如何确定这两个积分常数？第三十七页，讲稿共九十四页哦横截条件推导过程问题描述：假定极值曲线的始端A(t0，x0)是固定的，而终端B(tf，xf)是可变的，并沿着给定的曲线)()(fftt

24、x（1.3.1）变动，如图17所示。现在的问题是需要确定一条从给定的点A(t0，x0)到给定的曲线(1.3.1)上的某一点B(tf，xf)的连续可微的曲线x(t)，使得泛函fttttxtxLtxJ0),(),()(达到极小值。（1.3.2）txA(t0,x0)B(t*f,x*f)x*(t)x(t)(ft图17第三十八页，讲稿共九十四页哦解：设x*(t)是泛函（1.3.2）的极值曲线。x*(t)的邻域曲线可表示为：)()(*)()()(*)(txtxtxtxtxtx（1.3.3）（1.3.4）由图1-7可见，每一条邻域曲线x(t)都对应一个终端时刻tf，设极值曲线x*(t)所对应的终端时刻为tf

25、*，则邻域曲线x(t)所对应的终端时刻tf可以表示为：fffdttt*（1.3.5）将式（1.3.3）（1.3.5）代入式（1.3.2），得ffdtttdtttxtxtxtxLJ*0),()(),()(*0),()(),()(*fttdtttxtxtxtxLfffdtttdtttxtxtxtxL*),()(),()(*（1.3.6）第三十九页，讲稿共九十四页哦根据泛函达到极值的必要条件0)()(0txtxJJ则有：0*0),()(),()(fttdtttxtxtxtxL0),()(),()(0*fffdtttdtttxtxtxtxL（1.3.7）式（1.3.7）左边第一项相当于tf固定时的泛函

26、的变分，按照上一节推导的结果可得0*0),()(),()(fttdtttxtxtxtxL*0*0)()()(ffttttxxxtxLdttxLdtdL（1.3.8）第四十页，讲稿共九十四页哦式（1.3.7）左边第二项先利用中值定理，然后求导，则得fttdtttdtttxtxLdtttxtxtxtxLffff*),(),(),()(),()(*0*（1.3.9）将式（1.3.8）和式（1.3.9）代入式（1.3.7），得0),(),()()()(*0*0*fttttttxxxdtttxtxLtxLdttxLdtdLfff考虑到欧拉方程和始端固定0)(,00txLdtdLxx所以0),(),()(

27、*fttfttxdtttxtxLtxLff（1.3.10）若x(t*f)与dtf互不相关，则由上式得第四十一页，讲稿共九十四页哦00ffttttxLL（1.3.11）但是，终端点沿曲线（1.3.1）变动，所以x(t*f)与dtf相关。为了进一步简化式（1.3.10），应当求出x(t*f)与dtf之间的关系。根据终端约束条件（1.3.1），应有)()()(*ffffffdttdttxdttx将上式对取偏导数，并令=0，利用式（1.3.4），整理得fffffffffdttxttxdtttxdttx)()()()()()(*将上式代入式（1.3.10），可得0)(*fttxdtLxLf第四十二页，讲

28、稿共九十四页哦由于dtf是任意的，所以0)(*fttxLxL（1.3.12）横截条件定理1.3.1 若曲线x(t)由一给定的点(t0，x0)到给定的曲线x(tf)=(tf)上的某一点(tf，xf)，则泛函fttttxtxLtxJ0),(),()(达到极值的必要条件是，x(t)满足欧拉方程0 xxLdtdL和横截条件0)(*fttxLxL其中x(t)应有连续的二阶导数，则至少应是二次连续可微的，而(t)则应有连续的一阶导数。),(),(ttxtxL第四十三页，讲稿共九十四页哦若极值曲线的始端不是固定的，并沿着曲线)()(00ttx(1.3.13)变动，则同样可以推导出始端的横截条件0)(*0tt

29、xLxL(1.3.14)根据定理1.3.1和式（1.3.14），可得到端点可变时，Lagrange问题的解，除有欧拉方程外，还有横截条件：(1)始端、终端可变，即x(t0)=(t0)，x(tf)=(tf)，则横截条件为：0)(*0ttxLxL0)(*fttxLxL(2)当t0、tf 可变，而x(t0)与x(tf)固定时，则横截条件为：*00,t tL*0ft tL第四十四页，讲稿共九十四页哦(3)当t0、tf 固定，而x(t0)与x(tf)可变时，即始端与终端分别在t=t0、t=tf上滑动，则横截条件为：0*0ttxL0*fttxL定理1.3.1和以上几种情况的横截条件，都可以将其推广到n维函

30、数向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形。定理1.3.2 在n维函数空间中，若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是可变的，且在曲面X(tf)=(tf)上变动，则泛函fttdtttXtXLtXJ0),(),()(达到极值的必要条件是，曲线X(t)满足向量欧拉方程0XXLdtdL第四十五页，讲稿共九十四页哦其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的，而(t)=1(t)，2(t)，n(t)T则应有连续的一阶导数。)

31、,(),(ttXtXL和横截条件0)(*fttXTLXL 若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端不是固定的，而是可变的，并在给定的曲面)()(00ttX上变动，其中 ，则同样可以推导出始端的横截条件为：Tntttt)(,),(),()(0020100)(*0ttXLXL第四十六页，讲稿共九十四页哦例1.3.1 求t-x平面上由给定A(0,1)至给定直线x=2t的弧长最短的曲线方程。o1212txA(0,1)dsx*(t)图18解：由图18，弧长dtxdxdtds2221)()(根据题意，目标泛函应选为：dtxJft021这是一个始端固定，终端可变的泛函的变分问题。由于泛函的

32、被积函数 中不显含x(t)，所以Euler方程为：21xL2112221101ctcxcccxcxxxxdtd第四十七页，讲稿共九十四页哦由初始条件x(0)=1，得c2=1，从而有11tcx由横截条件（1.3.12），得01)1(122xxxx经整理得 ，所以c1=1。最优轨线方程为：1x 1)(*ttx最优轨线与给定直线垂直。第四十八页，讲稿共九十四页哦泛函二阶变分推导过程：给定泛函为其一阶变分为fttdtttxtxLtxJ0),(),()(0),()(),()(ttxtxtxtxJJdttxtxttxtxLtxtxttxtxLdtttxtxtxtxLdtttxtxtxtxLfffttttt

33、t000)()(),(),()()(),(),(),()(),()(),()(),()(00（1.4.1）（1.4.2）第四十九页，讲稿共九十四页哦而二阶变分为)(2JJdttxtxttxtxtxtxLtxtxttxtxtxtxLdttxtxttxtxtxtxLtxtxttxtxtxtxLttxtxtxtxJfftttt000)()(),()(),()()()(),()(),()()()(),()(),()()()(),()(),()(),()(),()(00第五十页，讲稿共九十四页哦dttxtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxttxtxLtxtxdttxtxttx

34、txLtxtxtxtxttxtxLtxtxttxtxLfftttt)()()(),(),()()(),(),()()(),(),()(),(),()()()()(),(),()()()()(),(),(2)()(),(),(222222222222200（1.4.3）于是，为使泛函（1.4.1）在曲线x(t)上达到极小（或极大）值，其一阶变分（1.4.2）应为零，而其二阶变分（1.4.3）必须为正（或负）。由此，得到下面的定理。第五十一页，讲稿共九十四页哦定理1.4.1 若泛函fttdtttxtxLtxJ0),(),()(的一阶变分0J则Jx(t)达到极小值的充分条件是二阶型矩阵)(),(),

35、()()(),(),()()(),(),()(),(),(222222txttxtxLtxtxttxtxLtxtxttxtxLtxttxtxL（1.4.4）是正定的或半正定的；而Jx(t)达到极大值的充分条件是式（1.4.4）是负定的或半负定的。定理1.4.1可以推广到含有n个未知函数的泛函的情形。第五十二页，讲稿共九十四页哦一、回顾等式约束条件下函数极值问题的解法 设有函数),(yxfZ（1.5.2）现在需要求函数Z在约束条件为0),(yxg（1.5.1）情况下的极值。（1）消元法：从约束条件（1.5.2）中将y解出来。用x表示y，即 y=y(x)然后将y(x)代入f(x,y)中，得到 Z=

36、fx,y(x)（1.5.3）这样，函数Z就只含有一个自变量x了，在等式（1.5.2）约束条第五十三页，讲稿共九十四页哦件下的函数(1.5.1)的极值问题，就变成无约束条件的函数（1.5.3）的极值问题了。但是，消元法存在两个问题：从方程（1.5.2）中将y解出来往往是很困难的；对x和y这两个自变量未能平等看待。（2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor）步骤如下：作一个辅助函数 F=f(x,y)+g(x,y)式中，是待定的常数，称为拉格朗日乘子；求辅助函数F的无条件极值，即令0,0yFxF(1.5.4)联立求解方程（1.5.2）和（1.5.4），求出驻点（x0，y 0）和待定常数值;

37、判断（x0，y 0）是否是函数f(x,y)的极值点。第五十四页，讲稿共九十四页哦 拉格朗日乘子法对于求n元函数 y=f（x1，x2，xn）在多个约束方程 gi（x1，x2，xn）=0，i=1，2，m；m n条件下的极值问题，同样适用。二、等式约束条件下泛函极值问题的解法求泛函fttdtttXtXLJ0),(),(（1.5.5）在约束方程为,0),(),(0ftttttXtXf（1.5.6）和端点条件为ffXtXXtX)()(00（1.5.7）第五十五页，讲稿共九十四页哦情况下的极值曲线。这里 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T，f=f1,f2,fmT，m n。而 是x1(t),x2

38、(t),xn(t)和t的标量函数。),(),(ttXtXLdtttXtXftttXtXLJfttT0),(),()(),(),(0（1.5.8）),(),()(),(),(ttXtXftttXtXLFT0XXFdtdF第五十六页，讲稿共九十四页哦说明：利用拉格朗日乘子法求得的函数X(t)，如果（1.5.8）达到极值，就一定是原泛函（1.5.5）的极值函数。因为由约束方程（1.5.6）和欧拉方程（1.5.10）联立解出的向量函数X(t)和(t)一定满足约束方程（1.5.6），所以必有J0=J，另外，当将所解出的(t)代入辅助泛函（1.5.8）时，函数X(t)将使辅助泛函（1.5.8）达到无条件极

39、值，因为函数X(t)是辅助泛函（1.5.8）的欧拉方程（1.5.10）的解。第五十七页，讲稿共九十四页哦 上面的论述仅仅指出了利用拉格朗日乘子法求出的辅助泛函（1.5.8）的无条件的极值函数，一定是原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）约束条件下的极值函数。但是，却没有说明原泛函（1.5.5）在等式（1.5.6）约束条件下的所有极值函数是否都能利用拉格朗日乘子法求出来？下面的定理将回答这个问题。定理1.5.1 如果n维向量函数 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T （1.5.11）能使泛函fttdtttXtXLJ0),(),(（1.5.15）在等式约束,0),(),(0fttttt

40、XtXf（1.5.12）条件下达到极值，这里f是m维向量函数，m n，必存在适当的m维向量函数 (t)=1(t),2(t),m(t)T （1.5.14）使泛函dtttXtXftttXtXLJfttT0),(),()(),(),(0（1.5.13）第五十八页，讲稿共九十四页哦达到无条件极值。即函数X(t)是泛函（1.5.15）的欧拉方程0XXFdtdF的解，其中（1.5.16）(),(),()(),(),TFL X tX t tt f X tX t t而X(t)和(t)由欧拉方程（1.5.16）和约束方程（1.5.13）共同确定。说明：定理1.5.1表明，泛函（1.5.12）在等式（1.5.13

41、）约束条件下的极值函数X(t)，同时也使泛函（1.5.15）达到无条件极值。这就进一步说明泛函（1.5.12）在等式（1.5.13）约束条件下的极值函数X(t)都可通过拉格朗日乘子法求得。如果不仅将X(t)，而且连函数(t)在内，都看成是泛函（1.5.15）的宗量，那么，约束方程（1.5.13）也可以看成是泛函（1.5.15）的欧拉方程。方程（1.5.13）和（1.5.16）共有n+m个方程，恰好可以解出n维和m维未知函数X(t)和(t)。当约束方程中（1.5.13）中的函数f不包括有 X(t)的导数 时，则式（1.5.13）便成为一种代数方程约束。定理1.5.1仍然成立。第五十九页，讲稿共九

42、十四页哦例1.5.1 已知受控系统的动态结构如图19所示。求最优控制u*(t)，使目标泛函202)(21dttxJ 取极小值。给定的边界条件为0)2(,1)0(,0)2(,1)0(xxxxx(t)u(t)21s图19 双积分对象解：令)()(),()(21txtxtxtx则得系统的状态方程为：)()()()(221tutxtxtx现在的目标泛函为202)(21dttuJ应用拉格朗日乘子法，构造辅助泛函（1.5.17）第六十页，讲稿共九十四页哦202122120)()()()()()()(21dttxtutxtxtttuJ令)()()()()()()(21221212txtuttxtxttuF则

43、向量形式的欧拉方程为111)(0)(11cttFdtdFxx21221)(0)()(22ctctttFdtdFxx212)(0)()(ctctuttuFdtdFuu根据状态方程（1.5.17），得3221221221ctctcxctcx4322311212161ctctctcxxx第六十一页，讲稿共九十四页哦利用边界条件，可得1,1,27,34321cccc所以，最优控制273)(*ttu第六十二页，讲稿共九十四页哦 对于最优控制问题来说，当状态变量和控制变量均不受约束，即 X(t)Rn，U(t)Rm时，是个在等式约束条件下求泛函极值的变分问题，因此，可以利用在上一节中介绍的拉格朗日乘子法来求

44、解。在这一节中，利用拉格朗日乘子法求解最优控制问题时，将引入哈密顿（Hamilton）函数，推导出几种典型的最优控制问题应满足的必要条件。1.6.1 拉格朗日问题的解问题1.6.1 给定系统状态方程),(),()(ttUtXftX(1.6.2)初始条件00)(XtX(1.6.1)终端条件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(1.6.3)第六十三页，讲稿共九十四页哦要求从容许控制U(t)Rm中确定最优控制U*(t)，使系统（1.6.1）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函（1.6.3）达到极小值。这是拉格朗日问题，又称为积分型最优控制问

45、题。解：将状态方程（1.6.1）改写为0)(),(),(tXttUtXf(1.6.4)于是，上述最优控制问题就变成为在微分方程（1.6.4）约束条件下求泛函（1.6.3）极值的变分问题。利用拉格朗日乘子法，引入n维拉格朗日乘子向量(t)=1(t),2(t),n(t)T(t)称为协态变量，以便与状态变量相对应。构造辅助泛函fttTdttXttUtXftttUtXLJ0)(),(),()(),(),(0(1.6.5)第六十四页，讲稿共九十四页哦dtttUttXtXFftt0),(),(),(),(其中，)(),(),()(),(),(),(),(),(),(tXttUtXftttUtXLttUtt

46、XtXFT(1.6.6)于是，求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）约束条件下的极值问题，就转变成为求泛函（1.6.5）的无约束条件的极值问题。定义哈密顿（Hamilton）函数为),(),()(),(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXtXHT(1.6.7)它是一标量函数，则式（1.6.6）变为)()(),(),(),(),(),(),(),(tXtttUttXHttUttXtXFT)()(),(),(),(ttXttUttXHT 利用变分法可以写出辅助泛函（1.6.5）的欧拉方程(1.6.8)第六十五页，讲稿共九十四页哦000UFdtdUFFdtdFXFd

47、tdXF将式（1.6.8）代入上式，得0),(),()()(UHttUtXfHtXXHt（1.6.11）（1.6.10）（1.6.9）协态方程（或共轭方程）状态方程规范方程（或正则方程）控制方程第六十六页，讲稿共九十四页哦（1.6.12）初始状态为00)(XtX由于终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，所以横截条件为 0fttXF考虑式（1.6.8），得0)(ft（1.6.13）式（1.6.9）（1.6.13）就是式（1.6.1）（1.6.3）所给定的最优控制问题的解应满足的必要条件。这些条件也可以由求辅助泛函J0对状态变量X(t)和控制变量U(t)的变分中推导出来。联立求解规范方程（1.

48、6.9）和（1.6.10）可以得到两个未知函数X(t)和(t)，其一个边界在始端（1.6.12），另一个边界在终端（1.6.13），故称为混合边界问题或两点边界值问题。第六十七页，讲稿共九十四页哦,),(),(),()(ttttXUtXftX,),(),(),()(ttttXUtXHXt第六十八页，讲稿共九十四页哦说明：（1）对于两点边界值问题，一般难以求得其解析解，通常需要采用数值计算方法求其数值解。（2）利用引入哈密顿函数的方法求解拉格朗日型最优控制问题，是将求泛函（1.6.3）在等式（1.6.1）约束条件下对控制函数U(t)的条件极值问题转化为求哈密顿函数H对控制变量U(t)的无条件极值

49、问题。这种方法称为哈密顿方法。定理1.6.1 设系统的状态方程 ),(),()(ttUtXftX则为将系统从给定的初态00)(XtX转移到终端时刻 tf固定，终端状态X(tf)自由的某个终态，并使性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(第六十九页，讲稿共九十四页哦达到极小值的最优控制应满足的必要条件是 （1）设U*(t)是最优控制，X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X(t)与(t)满足规范方程),(),()(ttUtXfHtXXHt)(其中),(),()(),(),(ttUtXftttUtXLHT （2）边界条件为0

50、0)(XtX0)(ft第七十页，讲稿共九十四页哦 （3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0ttf）取极值，即0UH*沿着最优控制和最优轨线，哈密顿函数H对时间t求全导数，得UUHHXXHtHdtdHTTTUUHXHHHXHtHTTTtH若H不显含t时，则有 H(t)=常数 tt0，tf;也就是说，当H不显含t时，哈密顿函数H是不依赖于t的常数。第七十一页，讲稿共九十四页哦例1.6.1 已知 系统方程和边界条件为,2221uxxxx,1)0(1)0(21xx0)1(0)1(21xx求使性能泛函102)(21dttuJ为极小值的最优控制函数与最优轨线。解：这是一个最小能量控制问题。其哈密顿函数为