数理方程与特殊函数.ppt

《数理方程与特殊函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程与特殊函数.ppt（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1现在学习的是第1页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2 常用物理规律(二)1、热传导定律定义热流密度：(,)ndQkuM t dSdt(,)nd Qqk uMtd S d t 现在学习的是第2页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 32、牛顿冷却定律0()Sqk uu单位时间内流过单位面积放出的热量为：3、比热公式Qcm T吸现在学习的是第3页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5

2、2 1 0.5 0 0.5 1 n 44、高斯定律(,)SSSVDdSEdSx y z dV现在学习的是第4页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5(一)、热传导方程 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题xx+dxLu(x,t)xn现在学习的是第5页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6在dt时间内流入微元的热量为：1uud QkA d tkA d tnx 在dt时间内

3、放出微元的热量为：2(,)xud QkA d tk uxd xtA d tn 在dt时间内微元吸收的净热量为：12(,)(,)xxdQdQdQkAdt uxdx tux t现在学习的是第6页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 72txxua uxxtkAu dxdtc Au dxdt由比热公式：(,)(,)dQcm Tc Adx u x tdtu x ttc Au dxdt由热量守恒定律得：一维齐次热传导方程现在学习的是第7页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

4、 1 0.5 0 0.5 1 n 8 设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z,t)的分布的规律。(2)、三维空间中的热传导问题导热体热场现在学习的是第8页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9分析：(1)、t1,t2时间里流入导热体的热量Q1计算 先要给出在t1,t2时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。dSn流入dS的热量微元为：1ud Qkd S d tn 现在学习的是第9页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0

5、 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10211ttSuQkdS dtn在t1,t2时间里流入S的热量为：21(ttSuuukdydzdzdxdxdy dtxyz21222222()ttVuuukdVdtxyz现在学习的是第10页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11(2)、t1,t2 里导热体升温需要的热量Q2计算导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：2(,)(,)dQc dV u x y z tdtu x y z ttc dVu dtt1,t2 里导热体升温需要的热量Q2为：212

6、tttVQc u dV dt 现在学习的是第11页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12由热量守恒定律：Q1=Q2于是得到：21tttVc u dV dt 21222222()ttVuuukdVdtxyztkucu2tuau三维齐次热传导方程现在学习的是第12页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13 如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：2(,)tuauf M t 其中，f(M,t)被称为自由项。物质扩散与热传导现

7、象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。现在学习的是第13页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14(二）、稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。1、稳定温度分布三维齐次热传导方程为：2tuau热传导达到稳定状态时有：0u称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.现在学习的是第14页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15由静电场的高斯公式：如果设：2、静电场中的电势分布规律SSVEd

8、 Sd V,EP Q R可以得到：(1)E 现在学习的是第15页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足：把(2)代入(1)得：,(2)uuuEuxyz 这就是静电场中电势满足的泊松方程uu2如果=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。现在学习的是第16页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 171、波动方程：三类典型物理方程总结2(,)ttuauf

9、 M t2、热传导方程：2(,)tuauf M t3、稳态场方程(泊松方程)：2()uufM 现在学习的是第17页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 181、不含初值条件带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；稳态场方程的定解条件问题2、边界条件带第二类边界条件：牛曼问题；带第三类边界条件：洛平问题。稳态场方程求解将在第六章讨论！现在学习的是第18页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19(三）、影响物理系统的其它条件1、

10、衔接条件反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。例1、写出由两种不同材料,等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为 x=x0分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)现在学习的是第19页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20所以，衔接条件为：0000121212xxxxxxxxuuuuYYxx例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件设1，2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；f 表示分界

11、面S上电荷面密度。现在学习的是第20页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等12SSuu事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：duEdl 于是，若假定E为p1p2上的平均电场强度(显然它有限)，则：2211()()upupEL 两边对L取极限得：12SSuu现在学习的是第21页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22(2)、在界面处，可以导出如下等式：事实上：根据有介质高斯公式就可以推

12、出上式。1212SfuunnfSDd SQ Qf是面S内的总电荷有介质高斯公式为：现在学习的是第22页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23取一个包含S的上下底平行的高为h的扁平盒：由于h可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！于是由高斯公式有：12()()ffDnSDnSQS 而:DEu 现在学习的是第23页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24所以：1212()Sfuunn说明：如果u1为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么

13、，因为导体是等势体，所以有：22Sfun 2、周期性条件 在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：现在学习的是第24页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25(1)、在极坐标中：(,2,)(,)u rzu rz(,2)(,)u ru r(2)、在柱坐标中：(,2)(,)u ru r (3)、在球坐标中：现在学习的是第25页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26例如，在静电场中，由电势的唯一性有

14、：3、有界性条件lim0ru 或 有 限 数(,2)(,)u ru r 在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！4、无穷远条件或者在无穷远处u有渐进行为f(r,t)(已知函数）现在学习的是第26页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27例3、半径为r0的球面，在0/2的半球上电势为u0，在另一半球上为-u0,写出定解问题。分析：空间中的电势分布分球内(u1)与球外(u2),由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间

15、中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。现在学习的是第27页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28所以：210lim0,rruu 0100100()(0/2)(/2)rrurruuu其它条件：200()urr0012rrrruu1212()0Suunn现在学习的是第28页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 29定解问题的简要总结 对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该分如下三步进行：1、根据问题背景写出物理方程(泛定方程)

16、;2、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件，即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件。现在学习的是第29页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30 除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要对方程中的未知函数加以一些限制。这些限制包括：周期性限制;有界性限制；无穷远限制等。上面限制条件称为自然边界条件。3、初始条件 如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。如果方程中对时间的导数为n阶，则需要n个初始条件表达式。现在学习的是第30页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31作业P26习题2.2第1，2，3，4；P30习题2.3第1，2，4。现在学习的是第31页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 32Thank You!现在学习的是第32页，共33页 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2022-9-5感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页