自考复习专题：线性代数第2章.docx

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1、自考复习专题：线性代数第2章其次部分矩阵 本章概述 矩阵是线性代数的重要内容，也是探讨线性方程组和其它各章的主要工具。主要探讨矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，其次章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的探讨中都必需以矩阵作为主要工具，故加上试题中必需应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表 按考试大纲所占分数 07.4 07.7 07.10 干脆考矩阵这一章的 26分左右 31分 34分 38分 加上其它章中必需用矩阵运算的所占分数 51分 53分 67分 由此矩阵这一章的重要性可见一般。 2.1线性方

2、程组和矩阵的定义 2.1.1线性方程组 n元线性方程组的一般形式为 特殊若，称这样的方程组为齐次方程组。 称数表为该线性方程组的系数矩阵； 称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组 2.1.2矩阵的概念 一、矩阵的定义 定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表 为mn阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。留意:矩阵和行列式的区分。 二、

3、几类特别的矩阵 1.全部元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。 例如都是零矩阵。2.若A的行数m=1，则称 为行矩阵，也称为n维行向量。若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称n阶方阵为n阶对角阵。特殊若上述对角阵中， 称矩阵为数量矩阵， 假如其中=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。5.上(下)三角阵 称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。 2.2矩阵的运算 这节介绍 （1）矩阵运算的定义，特殊要留意，矩阵运算有意义的充分必要条件； （2）矩阵运算的性质，要留意矩阵运算与

4、数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。 2.2.1矩阵的相等 为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。 定义2.2.1假如矩阵A，的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。请留意区分两个矩阵相等和两个行列式相等 例如 虽然行列式有 但矩阵；。 2.2.2矩阵的加减法 定义2.2.2 设A与B都是mn阶矩阵(即A与B同型)，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为mn阶矩阵 例1设求A+B、A-B。 例2则A与B不能相加(减)，或说AB无意义。 加法运算的性质 设A，B，C都是mn阶矩阵，

5、O是mn阶零矩阵，则 1.交换律 A+B=B+A。 2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵 对于随意的mn阶矩阵 定义，明显A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。 2.2.3数乘运算 定义2.2.3 数与矩阵A的乘积记作A或A，定义为 例3 设，求3A。 解 例4 设，求3A-2B。 例5 已知，求2A-3B。 数乘运算满意： 1.1A=A 2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A 3.安排律 k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA 例6 已知，且A+2X=B，求X。 2.2.4矩阵的乘法 先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。 一、定义

6、 定义2.2.4 设矩阵，(留意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个mn阶矩阵，其中(i=1,2,m,j=1,2, n) 可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。 例如 则A,B可以相乘，其乘积其中 例7设矩阵 问BA有意义吗？ 无意义。因为第一个矩阵的列数不等于其次矩阵的行数，所以BA无意义。 例8 (1)设矩阵 (2) 求AB；BA 此例说明 AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。例9设矩阵，求AB,BA。 为什么这样定义乘法？ 考虑线性方程组 设，则 ，于是线性方程组(1) 就可以写成矩阵形式A

7、X=b。这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把随意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使完全的探讨变得简洁了。 二、性质 （1）乘法没有交换律，AB不肯定等于BA。 （2）结合律 (AB)C=A(BC) （3）安排律 (A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC （4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB) （5）单位矩阵的作用 。另一部分的证明请同学们自己作。但对于某些特别的矩阵（方阵）满意AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。例10 设矩阵，求出全部与A乘积可交换的矩阵。 2.2.5方阵的幂 设A是一个矩阵，何时有意

8、义? 当且只当A为n阶方阵时，有意义。这时，对k2定义 称为A的k次幂。例11 数学归纳法证明 （2） 对于数，幂的运算有下列性质： （1）同底幂相乘，指数相加。即； （2）； （3） 对于方阵的幂有下列性质： （1）。 对于数，为什么 所以对于n阶方阵不肯定等于。 依据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的改变： 一般不等于。一般不等于。这些改变的缘由就在于矩阵乘法没有交换律。但对于某些特别的矩阵满意AB=BA，例如 n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，所以 请思索 例12 设求。 例13 设，求。 例14 设。 小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区分： (1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法

9、公式:如，不肯定等于等公式的改变； (2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵； (3)对于方阵，可能可能， (4)不肯定等于。 2.2.6矩阵的转置 一、定义 定义2.2.5设。将其行列互换，所得的矩阵记为称它为A的转置，即明显，mn阶矩阵A的转置是nm阶。 二、性质 1.； 2.； 3.； 现看下面的例 例15 设，求；问哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。 解 没有意义。有意义，且 所以 一般，则AB是mn阶的。是km阶，为nk阶，故不肯定有意义。但 有意义。可以证明 4.(反序律)。 三、对称阵和反对称阵 定义 设A为n阶实方阵。假如满意，则称A为实对称(反对称)阵。 例16 为

10、实对称阵；为反对称阵。例17 证明:随意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。 例18证明:设A,B都是n阶对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 扩展 改为 设A,B都是n阶反对称阵， 证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 2.2.7方阵的行列式 一阶方阵和一阶行列式都是数，但当n2以后，矩阵和行列式是两个不同的概念，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。 性质: 1.； 2.； 3.。于是简单看出，虽然AB不肯定等于BA，但。例19 证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。 2

11、.2.8方阵多项式 随意给定多项式和一个n阶方阵A。定义 称f(A)为A的方阵多项式。例20 设求f(A)。 小结 1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件)； 2.各种运算的性质(特殊是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点) 作业 p47 习题2.2 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 2.3方阵的逆矩阵 2.3.1逆矩阵的定义 定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的B不存在，则称A不行逆。定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。证 设都是A的逆矩阵。则。例1 ，验证A可逆，且。

12、只要看 简单看出，这时B也可逆，且。例2 不行逆。 解 设，则。故不行逆。 2.3.2n阶方阵可逆的充分必要条件 为探讨n阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念 定义 设，为的代数余子式，则称 为A的伴随矩阵，记为。 下面计算 类似地，有。若，有。于是有下面的定理。定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。证 充分性已经得证。只要证必要性。设n阶方阵A可逆，据定义知，存在n阶方阵B使得AB=BA=E 取行列式得，故，必要性得证。推论 设A，B均为n阶方阵，并且满意AB=E，则A,B都可逆，且。推论的意义是，不必验证两个乘积AB，BA，而只要验证一个即可。证 因为

13、AB=E，故，所以。故A，B都可逆。由 AB=E 两边左(右)乘，得，于是有。 2.3.3可逆矩阵的基本性质 设A，B为同阶可逆矩阵。常数k0。则 1.可逆，且。 2.AB可逆，。 3. 也可逆，且。 4.kA也可逆，且。 5.消去律 设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。 若a0，ab=ac则b=c。但 而 6.设A是n阶可逆方阵。定义 ，并定义。则有，其中k，l是随意整数。7.设 是 阶可逆方阵，则。 例3 设，问a，b，c，d满意什么条件A可逆？这时求 例4 推断矩阵 是否可逆？若可逆，求出它的逆矩阵。 例5 设A是n阶方阵，则。 例6 设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时

14、，A为对称矩阵。 例7 设n阶方阵A满意，求和的逆矩阵。 例8 设A是三阶 矩阵，其行列式，求行列式的值。 例9 设n阶方阵A满意，证明。 例10 设n阶方阵A满意，其中m为正整数，求出的逆矩阵。 例11 设A为n阶可逆阵，证明： （1）（2） 小结 1.n阶方阵A可逆的充分必要条件是。2.A的伴随矩阵的定义及重要公式(1)，(2)当时。3.重要结果 若n阶方阵A，B满意AB=E，则A，B都可逆，且。4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系) 2.4分块矩阵 2.4.1分块矩阵的概念 对于行数列数较高的矩阵A，为运算便利，常常采纳分块法处理。即可以用若干条横线和竖线将其分成若干

15、个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例1 对34阶矩阵，可以采纳许多方法分块。 如:分成 ，这时可记为，其中 也可以分成 ； 称为列分块矩阵。例2 对于，可按下面方法分块 ，记成 其中， 2.4.2分块矩阵的运算 1.加减法 同型矩阵A，B采纳相同的分块法，有 则 2.分块矩阵的数乘 设，则。3.分块矩阵的转置 例3 一般，假如 4.分块矩阵的乘法 设矩阵A的列数=B的行数，假如对A，B适当分块，使 。则 其中。所谓适当分块是指保证上述出现的全部乘法都有意义。例4 设A为mk阶矩阵，B为kn阶矩阵，则AB为mn阶矩阵。若把矩阵B分成 2.4.3几个特别的分

16、快矩阵的运算 （1）准对角矩阵 方阵的特别分块矩阵 形如 的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积 则 （3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。可逆，且。例5 求的逆矩阵。 （4）准上（下）三角矩阵的行列式 。可以证明 例6 设A，D是随意可逆矩阵，验证 例7 求矩阵的逆矩阵。 小结 分块的原则，保证运算有意义。 2.5矩阵的初等变换和初等矩阵 2.5.1矩阵的初等变换 一、背景 例1 解线性方程组 解 (2)+(1)(1)；(3)+(1)(1)；(4)+(2)(1)得 (3)+(-1)(2)；(4)+(-1)(2)得 (2)+(-2)(3)得

17、 (1)+(-1)(2)+(-3)(3)得 上述解方程的过程可改为只对方程的增广，以为增广矩阵的方程组的解即为矩阵做相应的行变换来实现。 。定义2.5.1（线性方程组的初等变换） 称下列三种变换为线性方程组的初等变换。（1）两个方程互换位置； （2）用一个非零的数乘某一个方程； （3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。明显，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。 二、矩阵初等变换的定义 定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、其次、第三种行（列）初等变 （1）对调矩阵中随意两行（列）的位置； （2

18、）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）； （3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。 把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。定义2.5.3假如一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为AB。等价具有反身性 即对随意矩阵A，有A与A等价； 对称性 若A与B等价，则B与A等价 传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。 三、矩阵的行最简形式和等价标准形 简洁地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等

19、价标准形。 例2 对矩阵A作初等行变换，其中。 阶梯形矩阵的定义：满意 （1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方； （2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行 指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行） 行最简形式 以称满意（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。例3（1）是阶梯形；（2）这不是阶梯形。如上例中最终所得的矩阵。 若允许再作初等列变换可接着得 这最终的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。 定理2.5.2任何矩阵都可

20、以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。 例4 将矩阵化成行最简形式和标准形。 2.5.2初等方阵 定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。以三阶方阵为例 第一种： 其次种： 第三种: 明显，初等阵都是非奇异阵。留意 所以初等阵的逆矩阵为同类的初等阵。初等矩阵与初等变换之间有亲密的联系。例5 对于 定理2.5.3设A是一个mn阶的矩阵，则 （1） 对A做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A； （2） 对A做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初

21、等变换相应的n阶初等矩阵右乘A； 推论1 方阵经初等变换其奇异性不变。定理2.5.4对于随意的mn阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 证 因为mn阶矩阵A，总可以经过有限限次的初等行变换和初等列变换化成标准型，又因为初等变换和矩阵乘法的关系，简单证明此定理。推论2n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。因为否则，其等价标准形不行逆。定理2.5.5n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。证 充分性是明显的。下面证必要性。“”已知A为n阶可逆阵，则A与等价，故存在有限个n阶初等阵，即 ，亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。推论3随意可逆阵A（非奇异阵

22、）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。证因为A可逆，故存在可逆阵使得，从而存在有限个初等阵使得，故。所以A只经过有限次的初等行变换就能化成单位阵。 2.5.3用初等变换法求逆矩阵 因为随意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即 则 这表明，当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法: 写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为。 例6 求方阵的逆矩阵。 2.5.4用初等变换法求解矩阵方程 一元一次方程的标准形 ax=b（a0） 矩阵方程的三种标准形 AX=BXA=B （3）AXB=C则解法：对第

23、一类 作分块矩阵对A作初等行变换，当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是。例7求解矩阵方程 解 ： 所以。 对于其次类的可先转化为第一类的 ，即由两边转置得 按上例的方法求出进而求出X 例8求解矩阵方程 思索 如何解方程 AXB=C 设 Y=XB，得方程AY=C，解出Y，进一步解方程XB=Y （这时Y为已知。） 小结 本节主要内容: 1.矩阵初等变换的定义； 2.初等矩阵的定义和性质:（1）初等矩阵必可逆；（2）初等矩阵之积为可逆阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成有限个初等矩阵之积。3.初等变换的性质 （1）定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初

24、等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。（2）定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。（3） 定理2.5.3设A是一个mn阶的矩阵，则 对A做一次初等行（列）变换，就相当于用一个m（n）阶的与这个初等变换相对应的初等矩阵左乘（右乘）A； （4）定理2.5.4对于随意的mn阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得。（5）对n阶方阵A，初等变换不变更其奇异性。 习题类型: 1.娴熟驾驭用行变换将矩阵化为阶梯形，行最简形和用初等变换化成标准形的方法； 2.娴熟驾驭用

25、初等变换法求逆矩阵和求解矩阵方程 作业 p69 1,2（1）（3）（5）,3（2）（3）（4）,4 2.6矩阵的秩 先介绍矩阵的k阶子式的概念 给定矩阵 A的每个元素都是它的一阶子式， 定义2.6.1 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r（A），有时也记为 秩（A）。 事实上，假如A有一个r阶子式不等于零，而全部r+1阶子式都等于零，则r（A） 例1求矩阵的秩。 上述求秩的方法很繁，是否有更简便的方法求矩阵的秩。例2明显的秩等于r。例3，则r（A）=2。定理2.6.1 初等变换不变更矩阵的秩。推论设A为mn阶矩阵，P，Q分别为m，n阶可逆矩阵，则 r（PA）=r（A），r（AQ）

26、=r（A），r（PAQ）=r（A）。例4求矩阵的秩。 此例说明可以用初等变换法求矩阵的秩（只要经初等变换化成阶梯形，其秩就等于非零行的个数）。例5求矩阵的秩。 一般，假如n阶方阵A的秩等于它的阶数，则称该矩阵是满秩的，否则称它为降秩的。明显，n阶方阵A满秩的充分必要条件是A可逆。（可逆阵的各种说法：可逆，非异，满秩）。小结这一节主要是驾驭矩阵秩的概念和用初等变换法求矩阵的秩。说明2.7的内容放到第四章讲。作业 p75 习题2.6 1（2）（3）（4）,3 其次章总结 1.矩阵运算有意义的充分必要条件；矩阵运算的定义； 2.矩阵运算的性质，特殊是比较矩阵运算性质与数的运算性质的相同点和不同点，特殊是不同点； 3.方阵可逆的充分必要条件以及推断方阵可逆的方法； 4.矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，用初等变换法求逆矩阵和矩阵方程的解； 5.矩阵的秩的概念和求矩阵秩的方法。