平面的法向量与平面的向量表示课件.ppt

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1、关于平面的法向量与平面的向量表示第1页，此课件共33页哦一、复习引入l定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。mnA性质：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行。(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。l第2页，此课件共33页哦二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面 ，如果向量 的基线与平面 垂直，则 叫做平面 的法向量或说向量 与平面 正交。nnnn m由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。abc由于垂直于同一平面的两条直线平

2、行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。m模为1的法向量，叫做单位法向量，记作 显然0 n0|nnn第3页，此课件共33页哦二、概念形成概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。abn已知：是平面 内的两条相交的直线，且 求证：,a b,na nbn第4页，此课件共33页哦 正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。第5页，此课件共3

3、3页哦待定系数法第6页，此课件共33页哦例题例1：已知点 ，其中求平面 的一个法向量。)0,0,(aA),0,0(cC)0,0(bB0 abcABCn解：由已知得),0,()0,(caOAOCACbaOAOBAB ),(zyxnABC 的一个法向量为设平面 0),0,(),(0)0,(),(czaxcazyxACnbyaxbazyxABn则xcazxbay ,解得abzacybcx ,则令),(abacbcn cazbayx ,1则令),1(caban 有何关系？第7页，此课件共33页哦二、概念形成概念3.平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。设A是空间任意

4、一点，为空间任意一个非零向量，适合条件 的点 M 的集合构成什么样的图形？n0AMnnA AM MM M1 1M M2 2我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。0AMn称此为平面的向量表达式。第8页，此课件共33页哦二、概念形成概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直2 n1 n设 分别是平面 的法向量，则有12,n n,12/nn或 与 重合1 n12120 nnnn第9页，此课件共33页哦 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA平面A1FD1。二、概念形成概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直例子ABCDA1

5、B1C1D1E EF F利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。第10页，此课件共33页哦射影：已知平面 和一点A，过点A作 的垂线 与 交于点 ，则 就是点A在平面 内的正射影，也可简称射影。二、概念形成概念5.用法向量证明“三垂线定理”预备知识：AlA AAABl斜线在平面上的正射影：设直线 与平面 交于点B，但不和 垂直，那么直线 叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足。ll斜线在平面上的正射影：在直线 上任取一点A，作A点在平面 内的射影 ，则平面内直线 叫做斜线 在该平面内的射影。lAA BlA AA第11页，此课件共33页哦已知 是平面 的斜线，

6、是 在平面 内的射影,直线 且lA BlaaA B二、概念形成概念5.用法向量证明“三垂线定理”三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。BlA AAa求证：al第12页，此课件共33页哦 P O A la 第13页，此课件共33页哦证明：如图,已知:,POAOllOA 射射影影且且求证：lPA 在直线l上取向量 ,只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即P PA A.为 P O A la 0,0a POa OA 第14页，此课件共33页哦 P O A la 逆定理第15页，此课件共33页哦 (2)三

7、垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 垂直，则它也和这条斜线垂直 (3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的 垂直射影射影第16页，此课件共33页哦第17页，此课件共33页哦第18页，此课件共33页哦 例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C是平面BDC1的法向量 思路点拨根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理证明BDA1C，C1DA1C.第19页，此课件共33页哦 精解详析在正方体中，AA1平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD内的射影，又AC

8、BD，所以BDA1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1.第20页，此课件共33页哦1正三棱锥PABC中，求证：BCPA.证明：在正三棱锥PABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是PA在底面ABC内的射影，且BCAO，所以BCPA.第21页，此课件共33页哦小结1.直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量：3.平面的向量表示：4.两平面平行或重合、垂直的充要条件 6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理 第22页，此课件共33页哦o再见第23页，此课件共33页哦例.在空间直角坐标系内，设平面

9、 经过 点 ，平面 的法向量为 ，为平面 内任意一点，求 满足的关系式。),(000zyxP),(CBAe),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解：由题意可得 0PMe000(,)(,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得：第24页，此课件共33页哦PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO数式板书第25页，此课件共33页哦 例1已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量思路点拨第26页，此课件共33页哦第27页，此课件共33页哦平行与垂直关系的向量表示（1）平行关系设直线

10、l，m的方向向量分别为 ，平面 ，的法向量分别为 ，abuvml/线线平行/l线面平行/面面平行baba/0uauavuvu/新知探究第28页，此课件共33页哦 （2）垂直关系设直线l，m的方向向量分别为 ，平面 ，的法向量分别为 ，abuvml 线线垂直l线面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua/（3）用向量处理平行问题 用向量处理垂直问题第29页，此课件共33页哦第三章 空间向量与立体几何人教B版数学三、应用举例利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面的法向量平行(或共线)。第30页，此课件共33页哦第三章 空间向量与立体几何人教B版数学第31页，此课件共33页哦第三章 空间向量与立体几何人教B版数学第32页，此课件共33页哦第三章 空间向量与立体几何人教B版数学感谢大家观看第33页，此课件共33页哦