多元函数的极限与连续讲稿.ppt

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1、第一页，讲稿共四十三页哦10.1.1 多元函数的概念多元函数的概念 内容小结与作业内容小结与作业10.1.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续第二页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件1.点集的基本知识点集的基本知识10.1.1 多元函数的概念多元函数的概念定义定义10.1.1 设 x0 是空间 n 中的一点,0,称 n 中的点集,)00(|Uxxxx为点 x0 的 邻域邻域.其中点 x0 称为邻域的中心邻域的中心,为半径.即点 x0 的 邻域是n 中距离x0 不超过 的点的集合.点 x0 的去心去心 邻域邻域记为0,)000(|Uxxxx说明：说

2、明：若不需要强调邻域半径,则用 和0()U x00()Ux表示点 x0 的邻域和去心邻域.第三页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例如例如,在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域圆邻域)在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域球邻域)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx经常用点 P0 表示点 x0,点 P 表示点 x.(方邻域方邻域)0(,)(,)U Px y。0P方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy第四页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件设有点集 E 及一点 P:若存在点 P

3、的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点;则称 P 为 E的 边界点边界点.的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.第五页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件D 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集；若点集 E E,则称 E 为闭集闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称 D 是连通连通

4、的;连通的开集称为开区域,简称区域区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界边界,记作E;。第六页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例如，例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21第七页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件 整个平面是最大的开区域,点集 1),(xyx是开集，也是最大的闭区域；但非区域.11oxy 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域有界域,

5、否则称为无界域无界域.例如例如41),(22yxyx是有界闭区域;0),(yxyx是无界开区域.第八页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件引例引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV(,RTpRV为常数）)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTVcbacbacba,0,0,0),()()(cpbpappShr2.多元函数多元函数第九页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件火箭在空中飞行的速度与其在空间中的位置、时间及发动机的运行情况等多种因素有关卫星发射卫星发射第十页，讲

6、稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件定义定义10.1.2 设非空点集,nD (),.uf PPD或点集 D 称为函数的定义域定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域.特别地,当 n=2 时,有二元函数2(,),(,),zf x yx yD当 n=3 时,有三元函数3(,),(,),uf x y zx y zD 映射:fD 称为定义在 D 上的 n 元函数元函数,记作),(21nxxxfu二元和二元以上的函数都称为多元函数第十一页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件平面点集到实数集的对应关系平面点集到实数集的对应关系

7、xyo),(yxoz),(yxff),(yxfz 二元函数二元函数第十二页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例1 写出下列函数的定义域22(1)1zxy222arcsin(3)(2)xyzxy解解(1):22(,)1Dx yxy(2):由222|3|10 xyxy22224 xyxy 所求函数的定义域为222(,)24,Dx yxyxy2oyx2第十三页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例2 设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux),(vuf32)(

8、2vuu32)(vu,2xyu yxv),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy第十四页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例2 设,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf第十五页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件xzy例如,二元函数221yxz一般地,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,sin(),zxy又如空间的一张曲面 .12R),(yxxyzo

9、图形如图所示.图形为上半球面,的图形一般为3.二元函数的几何意义二元函数的几何意义第十六页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件截痕 方程为kL用截痕法研究曲面的形状：用平面 去截割曲面 ，kzC(,)zf x y :(,)kkzCLzf x y或 :(,)kkkzCLCf x y曲线 在xoy面上的投影曲线 的方程是klkL0 :(,)kkzlCf x y曲线 称为已知函数 的等值线或等高线kl(,)zf x yxzyo(,)zf x y第十七页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件第十八页，讲稿共四十三页哦高等数学分级

10、教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件对于三元函数也有等值面或等位面等概念.(,)uf x y z222(,)1,x y zxyz图形为4空间中的超曲面.三元函数)arcsin(222zyxu定义域为单位闭球0,:(,).kkuCf x y z第十九页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件10.1.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续定义定义10.1.3 设 n 元函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义,如果当自变量 x 无限趋于 x0 时,函数 f(x)的值无限接近于某个常数 a,则称 a 为当x x0 时函数 f(x)的极限,记作0l

11、im().faxxx0,0,当00|xx时,恒有|()|.fax0lim()faxxx即称上述极限为 n 重极限.第二十页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件当 n=2 时,极限定义可叙述为当 n=1 时,上述定义与一元函数极限定义一致.设函数 f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义,0,0,当22000 xxyy时,恒有|(,)|,f x ya则称 a 为当(x,y)(x0,y0)时函数 f(x,y)的极限,记作00(,)(,)lim(,)x yxyf x ya或00lim(,)xxyyf x ya第二十一页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学

12、高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例3 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),(yxf220,xy当时22yx 222yx,总有要证要证 第二十二页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例4 设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证证故0),(lim00yxfyx,0 20),(22yxyxfyx 222 yx,2 220 xy当时,11sinsinyxxy总有 2

13、要证要证第二十三页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解 设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.(,)f x y故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于000(,),P xy时不存在.例例5 讨论函数函数第二十四页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件yxyxxx200limxxxx320l

14、im)(lim320 xxx,1例例6.讨论yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解：解：,yxx取所以极限不存在.333,0,ln(1),xyxy利用yxxyxyx)1ln(lim00第二十五页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解 设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.(,)f x y故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同

15、方式趋于000(,),P xy时不存在.例例5 讨论函数函数第二十六页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1例例6.讨论yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解：解：,yxx取所以极限不存在.333,0,ln(1),xyxy利用yxxyxyx)1ln(lim00第二十七页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件求多元函数极限的常用方法：求多元函数极限的常用方法：1.利用函数极限的运算性质；2.利用不等式缩放或使用夹逼定理；3.利用变量替换化简或化为

16、已知极限，对含有三角函数或幂指函数的二重极限可考虑它是否能通过变形或变量代换化为一元函数中的重要极限；4.利用初等变形，如分母有理化、对指数函数取对数等.第二十八页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例7.计算332200lim.xyxyxy解：解：cos,sin,xy令则3333220000limlim(cossin)0.xxyyxyxy例例8.求00sin,0,lim(,),(,),0,0.xyxyxf x yf x yxyxy当其中当解：解：sin|,0,|(,)|,0,0.xyyxf x yxyxy当当00lim(,)0.xyf x y第二十九页

17、，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例9.计算2200lim().xyxyxy解：解：所以2200limln().xyxyxy先求其对数的极限2222|ln()|ln0(0),xyxyrrr2200limln()0.xyxyxy故2200lim()1.xyxyxy第三十页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例10.求222lim().xxyxyxy解：解：由于,.此题底数的极限不存在 但可用夹逼定理计算222210()()2xxxyxy21lim()0.2xxy故222lim()0.xxyxyxy0,0 xy注意到

18、时第三十一页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例11 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1(4limrrr此函数定义域不包括 x,y 轴222,rxy令则62)cos1(4rr6402limrrr2cos1r42r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx第三十二页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件 二重极限),(lim00yxfyyxx00lim lim(,)yy xxf x y及不同

19、.1.当重极限存在时，累次极限可能都不存在，可能一个存在而另一个不存在.),(limlim00yxfyyxx与累次极限例如例如,11(,)()sinsin,f x yxyxy显然它在(0,0)点累次极限不存在.00lim(,)0 xyf x y第三十三页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例如例如,1sin,0,(,)0,0,xyyf x yy此时但0000lim(,)limlim(,)0,xyxyf x yf x y00limlim(,)xyf x y不存在.2.当重极限不存在时，累次极限可能都存在且相等,也可能都存在但不相等，还可能一个存在而另一个不存

20、在.第三十四页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0它在(0,0)点二重极限不存在.00limlim(,)0.xyf x y例如例如,(,),0,yf x yxx此时但00lim(,)xyf x y与00limlim(,)yxf x y都不存在.第三十五页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件00lim(,),xxyyf x yA3.设重极限存在且0lim(,)xxf x y0yy当 时,存在,则00lim lim(

21、,);yy xxf x yA当 时,存在,则0lim(,)yyf x y0 xx00lim lim(,).xxyyf x yA),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy1 1,例如例如,2222(,),xyf x yxy显然 不存在.00lim(,)xyf x y第三十六页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件定义定义10.1.4 设 n 元函数 f(x)在 x0 的某邻域内有定义,如果00lim()(),ffxxxx则称 f(x)在 x0 处连续.否则称为不连续,此时称 x0 为间断点.当 n=2 时,二元函数连续的定义可叙述为设函数

22、 f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy或0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy则称二元函数 f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上连续.第三十七页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例如例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如又如,函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故(0,0)为其间断点.在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第三十八

23、页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件 例例12.证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续.证证:(,)(0,0),x y 在处),(yxf为初等函数,故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得第三十九页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,0)1(K)()2(Pf,Mm(),;f PKPD使在 D 上可取得最大值 M 及最小

24、值 m;(3)对任意，DQ();f Q使(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:第四十页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件.11lim00yxyxyx解解 原式)11(1)1(lim200yxxyyxyx21例例13.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例14.求函数的连续域.解解02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2第四十一页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件内容小结与作业内容小结与作业1.区域v 邻域v 区域连通的开集v Rn空间.2.多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nRAPfPP)(lim0,0,0 00PP当时,有)(APf3.多元函数的极限第四十二页，讲稿共四十三页哦高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件感谢大家观看感谢大家观看第四十三页，讲稿共四十三页哦