第三节 函数、方程及其应用.doc

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1、第三节 函数、方程及其应用第一部分 六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010上海文）17.若是方程式 的解，则属于区间 （ ）（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）答案 D【解析】 知属于区间（1.75，2）2.（2010湖南文）3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A. B. C. D. 答案 A3.（2010陕西文）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函

2、数yx（x表示不大于x的最大整数）可以表示为（A）y（B）y（C）y（D）y答案 B解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设，所以选B3.（2010浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若（1，），（，+），则（A）f()0，f()0 （B）f()0，f()0（C）f()0，f()0 （D）f()0，f()0解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题4.（2010山东文）（11）函数的图像大致是答案 A5.（2010山东文）（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件

3、）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件答案 C6.（2010山东文）（5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3答案 A7.（2010四川理）（4）函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是（A） （B） （C） （D）解析：函数f(x)x2mx1的对称轴为x 于是1 m2答案 A8.（2010四川理）（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A） （B） （C） （D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案 D9.（2010天津文）（10）设函

4、数，则的值域是（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。依题意知，10.（2010天津文）（4）函数f（x）= (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。因为f（0）=-10,所以零点在区间（0，1）上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。11.（2010天津理）（8）若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+

5、） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。12.（2010天津理）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0

6、）上。【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。13.（2010福建文）7函数的零点个数为 ( )A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。14.（2010湖北文）3.已知函数，则A.4B. C.-4D-【答案】B【解析】根据分段函数可得，则，所以B正确.二、填空题1.（2010上海文）14.将直线、（，）围成的三角形面积记为，则 。【答案】【解析】B 所以BOAC，=所以2.（2010湖南文）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到

7、200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g【答案】171.8或148.2【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为110（210110）0.618171.8或210（210110）0.618148.2【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。3.（2010陕西文）13.已知函数f（x）若f（f（0）4a，则实数a .答案 2【解析】f（0）=2，f（f（0）=f(2)=4+2a=4a，所以a=24.（2010重庆理）（15）已知函数满足：，则=_.解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n

8、-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= 5.（2010天津文）（16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】m0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。M1,解得m0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 答案 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两

9、个交点.所以实数a的取值范围是. 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答3.(2009山东卷理)（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距

10、离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。A B C x 解法一:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.解法二: （1）同上.（2）设,则,所以当且仅当即时取”=”.下

11、面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,则 ,因为0m1m242402409 m1m29160160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则因为1600m1m2400,所以49160160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的

12、单调性等问题.5. (2009湖南卷理)（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 （）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。6.（2009年上海卷理）有

13、时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。（1）证明 当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。证明 （1）当而当，函数单调递增，且0.3分故单调递减 当，掌握程度的增长量总是下降.6分（2）由题意可知0.1+15ln=0.85.9分整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分 7.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 描述

14、学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.证明 （1）当时，而当时，函数单调递增，且故函数单调递减 当时，掌握程度的增长量总是下降 (2)有题意可知整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分20052008年高考题一、选择题1.（2008年全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速

15、行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （ ）stOAstOstOstOBCD答案 A2.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）答案 D3.（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）AB CD答案 C4.某地一年内的气温（单位：）与时刻（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平

16、均气温为10 .令C（t）表示的时间段0，t的平均气温，C（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）答案 A解析 由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6 的某一段气温超于10，所以排除B，故选A。二、填空题5.（2006年上海春季2）方程的解 . 答案 26.（2007年上海4）方程 的解是 答案 7.（2006年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 答案 （

17、1，2）（3，402）三、解答题8.（2008年江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长 为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短解 本小题主要考查函数最值的应用（）设AB中点为Q，由条件知PQ 垂直

18、平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA=OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令得sin，因为，所以=.当时，是的减函数；当时，y是的增函数.所以当=时，(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上，且距离AB边km处。9.（2008年湖北卷20）.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化.现用表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第i月份（）,问一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水

19、量（取计算）.解 （1）当0t10时，V(t)=(-t2+14t-40)化简得t2-14t+400,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，V（t）4（t-10）（3t-41）+5050,化简得（t-10）（3t-41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.综上得0t4,或100时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，求证：f(0)=1；求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a

20、=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x35. （三明市三校联考）（本小题满分14分）已知函数。 （I）求函数的单调区间； （）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（）证明：上恒成立 解：（I）函数当时，则上是增函数 当时，若时有若时有

21、则上是增函数，在上是减函数 （4分）（）由（I）知，时递增，而不成立，故 又由（I）知，要使恒成立，则即可。由（8分） （）由（）知，当时有恒成立，且上是减函数，恒成立，即上恒成立 。（11分）令，则，即，从而，成立（14分）6. （玉溪一中期中理）（本小题12分）已知函数.（） 设.试证明在区间 内是增函数；（） 若存在唯一实数使得成立，求正整数的值；（） 若时，恒成立，求正整数的最大值.证明： （1） , 则 在内单调递增 解：（2） ，,由（1）可得在内单调递增, 即存在唯一根 解：(3) 由得且 恒成立,由（2）知存在唯一实数,使且当时， ， ，当时，,. 当时,取得最小值 , . 于

22、是， , ,故正整数的最大值为3. 题组一(1月份更新)1.（2009宣威六中第一次月考）已知函数在区间上是减函数，那么（ B ）A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 答案 B2.（2009枣庄一模）如果函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有（ ）ABCD答案 B3.（2009韶关一模）已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为 A恒为正值 B等于 C恒为负值 D不大于答案 A4.（2009玉溪一中期中）已知定义在上的函数的反函数为，且的反函数恰好为。若，则 答案 19915.（2009上海十四校联考）已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为 答案 16.（2009

23、上海八校联考）某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论：等式对恒成立；函数的值域为；若，则一定有； 函数在上有三个零点。其中正确结论的序号有_。（请将你认为正确的结论的序号都填上）答案 7.（2009青岛一模）已知函数且,求函数的极大值与极小值.解：由题设知令当时，随的变化，与的变化如下：0+0-0+极大极小，当时，随的变化，与的变化如下：-0+0-极小极大 ， 总之，当时，；当时，8.（2009宣威六中第一次月考）设函数=01。（1）求函数的单调区间、极值。（2）若当时，恒有，试确定的取值范围。解：（1）， 令得x=a或x=3a由表（）（）3（）0+0递减递增b递减可知：当时，函数f ()

24、为减函数，当时，函数f（）也为减函数：当时，函数f()为增函数。（2）由，得。01， +12，=在+1，+2上为减函数。max =(+1)=21, min=(+2)=44.于是，问题转化为求不等式组的解。解不等式组，得1。又01， 所求的取值范围是1。9.（2009上海闸北区）设，其中实常数（）求函数的定义域和值域；（）试研究函数的基本性质，并证明你的结论 解：（）函数的定义域为，当时，因为，所以，从而，所以函数的值域为（）假设函数是奇函数，则，对于任意的，有成立，即当时，函数是奇函数当，且时，函数是非奇非偶函数对于任意的，且，当时，函数是递减函数10.（2009重点九校联考）已知指数函数满足

25、：g(2)=4，定义域为的函数是奇函数。（1）确定的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：（1） （2）由（1）知：因为是奇函数，所以=0，即， 又由f（1）= -f（-1）知 （3）由（2）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式11.（2009日照一模）已知函数。（I）若函数在处有极值-6，求的单调递减区间；解：（I） 依题意有 即 解得 由，得 的单调递减区间是 （）由 得 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示： 由 得 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示： 由 得 点的坐

26、标为（0，-1） 设则表示平面区域内的点（）与点 连线斜率。 由图可知或， 即12.（2009玉溪一中期末）已知函数有极值，且曲线处的切线斜率为3。（）求函数的解析式；（）求在4，1上的最大值和最小值。解：（1）1分由题意，得4分所以，5分 （2）由（1）知，6分4（-4，-2）21+00+极大值极小值函数值11134在4， 1上的最大值为13，最小值为11。12分13.（2009枣庄一模）设函数 （1）当的单调性； （2）若函数的取值范围； （3）若对于任意的上恒成立，求的取值范围。解：（1）当令当的变化情况如下表：02-0+0-0+单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以上是增函数，在区间上是减函数 （2）的根。处有极值。则方程有两个相等的实根或无实根，解此不等式，得这时，是唯一极值。因此满足条件的 注：若未考虑进而得到，扣2分。 （3）由（2）知，当恒成立。当上是减函数，因此函数 12分又上恒成立。于是上恒成立。因此满足条件的2009年联考题一、选择题1.（2009泉州市）函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A.B.C.D.(1,2)答案 C2.（2009厦门二中）有解的区域是 （ ）A B CD答案 B3.（2009莆田一中）若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.答案 A4.（沈阳市回民中