第八章 平面问题的复变函数解.doc

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1、第八章 平面问题的复变函数解一.内容介绍 通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。 本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。求解分析步骤为 1. 分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示； 2. 探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式； 3. 利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化； 4. 将边界条件转化为柯西积分

2、，求解级数系数，从而使得问题求解。 如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。二.重点 1. K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等； 2. 无限大多连域的K-M函数形式； 3. 保角变换与曲线坐标； 4. 椭圆孔口与平面裂纹问题。知识点双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式应力分量的单值条件多连域的K-M函数无穷远应力与K-M函数位移分量的曲线坐标表达保角变换公式与K-M 函数柯西积分确定K-M 函数孔口应力裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式位移分量的复变函数表达形式位移分量的单值条件无限大多连域中K-M 函数的一般形式保角变换和曲线坐标应

3、力分量的曲线坐标表达式利用孔口边界条件确定K-M 函数椭圆孔口的保角变换裂纹短轴为零的椭圆切应力作用的裂纹前缘应力附录2 复变函数概要复变函数通过复平面描述平面问题，兼有直角坐标和极坐标的优点。同时复变函数的一些性质，例如映射、保角变换和柯西积分等均有利于弹性力学问题的边界条件转化和求解。因此复变函数成为弹性力学问题求解的重要工具。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。参考资料1 复变函数的定义 2 解析函数-复变函数的可导性 3 保角变换 4 复变函数的积分8. 1 应力函数的复变函数表示学习思路： 弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题

4、求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。 本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。 上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数 和y(z)表示。 和y(z)称为克罗索夫穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。学习要点： 1. 双调和方程的复变函数表达形式； 2. 双调和函数的复变函数形式；在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示，有其它定义。 设应力函数U（x，y

5、）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。 对于复变函数z =x+ i y，取其共轭，则 =x- i y。因此z和均为x，y的函数。 复变函数z可以写作z=r eij，其共轭 =r e-ij，因此z和又可以表示为坐标r 和j 的函数。 同理，x，y 也可以表示为z和的函数，有 因此，应力函数也可以表示为复变函数z和的函数，有 注意到 应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和的求导运算，有 将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式 双调和方程的复变函数表达式为对于应力函数U（z）的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式 乘以2，并对作积分，

6、可得。 对再作一次积分，可得 。 对z作一次积分，可得 。 对z再作积分一次，可得 应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的，即 或者 因此应力函数可以用两个待定函数表示为，或者 上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。公式将双调和函数通过两个复变函数和c(z)表达。和c(z)称为克罗索夫穆斯赫利什维利函数，简称K-M 函数，均为单值解析函数。 Re为表示复变函数实部的符号。8. 2 应力分量的复变函数表示学习思路： 应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作

7、是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。 这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。 本节引入复变函数，和。这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。上述函数均称为K-M函数。学习要点： 1. K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示； 2. 应力分量表达式：对于无体力的弹性力学问题。如果选取的应力分量满足 则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M 函数描述的。因此，应力分量也必须通过K-M 函数表达。根据公式，有 将上述两式相加，可以得到 将

8、上式分别对x和y求一阶导数，可得其中， 上述公式的第一式减去第二式乘以 i，可得即 将公式的第一式加上第二式乘以 i，可得 取其共轭，则上述公式推导中，引入和。公式是用单值解析函数 和y(z) 表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。8. 3 位移的复变函数表示学习要点与思路： 本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M 函数表达弹性体位移。 对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。一般的讲，不需要专门分析位移。但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。 在位移的

9、复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M 函数对x，y坐标的偏导数。积分确定位移表达式，并且根据物理方程的第三式，确定弹性体的刚体位移，写出K-M 函数表达的位移复变函数表达形式。学习要点： 1. K-M 函数表达的位移偏导数表达式； 2. 积分确定位移分量； 3. 位移分量的复变函数表达形式 对于平面应力问题，根据物理方程和几何方程的前两式，可得其中 设。由于K-M 函数为解析函数，其连续可导，应满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，即 由于 ，取其共轭 。因此可得即 将上式代入公式，可得将公式分别对x和y积分，可得 根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理 ，上式可以写作 将位移表达式代入上式，则 整理可得 根据柯西-黎曼条件，公式左边第一项为零，所以 因此， g(x)=w x+ v0, f(x)=-w y+ u0。这一结果说明：g(x)和f(y)表示刚体位移，因此对于变形分析，可以略去不计。即公式可以表示为将上述两式 相加，则可得K-M 函数表示的位移分量。有 整理可得或者写作 上述分析表明，如果已知K-M 函数和y(z) 时，则平面应力状态下的位移分量也是确定的。 对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比 做对应的替换则可。