中考数学精品文档——解题方法及提分突破训练:归纳法专题.docx
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1、解题方法及提分突破训练:归纳法专题不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明在初中数学教材中,经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力,发现、探索问题的能力。 一 真题链接1(2010中考变式题)如图为手的示意图,在各个手指间标记字母A,B,C,D.请你按图中箭头所指方向(即ABCDCBABC的方式)从A开始数连续的正整数1,2,3,4,当数到12时,对应的字母是_;当字母C第201次出
2、现时,恰好数到的数是_;当字母C第2n1次出现时(n为正整数),恰好数到的数是_(用含n的代数式表示)2(2011北京)在下表中,我们把第i行第j列的数记为ai,j(其中i,j都是不大于5的正整数),对于表中的每个数ai,j规定如下:当ij时,ai,j1;当i1)五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s与n的关系. n=2,s=3 n=3 s=6 n=4,s=9 图(1) 图(2) 图(3分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。故有s=3n-3.分析方法二:由图可知,每个图案上的五角星总数,随着各边上五角星的增多而增多,且
3、前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3,因此可猜想:s=,根据图(1)、图(2)中的条件就能求出k,b的值,再验证是否满足图(3)的条件。解:设s=,把n=2,s=3;n=3,s=6分别代入上式,得 解得 s=3n-3经检验:n=4,s=9也满足s=3n-3所求s与n的关系为s=3n-3例2 如图,中,A、A、A、A是边AC上不同的n个点,首先连接BA,图中有3个不同的三角形,再连接BA图中共有6个不同的三角形(1)连接到A时,请用n的代数式表示图中共有三角形的个数。( 2)若出现45个三角形,则共需连接多少个点? B 分析:通过观察图知,当AC上有1个点A时,连接点B,所
4、得三角形的个数为(2+1)个;当AC上有2个点A、A时,分别连接点B,所得三角形的个数为(3+2+1)个,当AC上有3个点A、A、A时,分别连接点B,所得三角形的个数为( 4+3+2+1)个; 由此可以推测出:当AC上有n个点A,A、AA时,分别连接点B,所得三角形的个数为(n+1)+n+(n-1)+ +3+2+1 个 解:(1)当连接到A 时,所得三角形总个数为: (n+1) +n+(n-1)+(n-2)+4+3+2+1 =(n+1)+1+(n+2)+(n-1+3)+= = (2)由题意,得=45 原方程化为:n+3n-88=0 即(n+11)(n-8)=0 n=8或n=-11 (负值不合题
5、意,舍去)答:当出现45个三角形时,共连接8个点。说明:从例1、例2可以看出,解此类题目常常是先考虑特殊情况,由特殊情况下的结果,推导出一般情况下的结果,它是从特殊到一般的归纳推理,因此必须要求学生对所得出的结论要做出合理性的验证.学生往往会因所选取的数值不具有全面的代表性,使得结论产生错误.如下面的例子就说明了这一点.如:这里学生忽略了a0的情况,导致最后的结论不正确.在初中数学的学习过程中,学生能够合理地运用数学不完全归纳法,能使所解决的问题变得简捷,并能够有效地提高探索发现问题的能力。为此,教师应鼓励学生从多层次多角度去分析、思考,敢于大胆进行猜想,并通过观察、判断、归纳等一系列探索活动
6、得出正确的结果。三 典题示例例1.如图,是用积木摆放的一组图案,观察图形并探索:第五个图案中共有 块积木,第n个图案中共有 块积木。解析:第一个图案有1块积木,第二个图案形有1+342的平方,第三个图案有1+3+593的平方,故第5个图案中积木有1+3+5+7+9255的平方个块,第n个图案中积木有n的平方个块。综观规律性中考试题,考察了学生收集数据,分析数据,处理信息的能力,考生在回答此类试题时,要体现“从特殊到一般,从抽象到具体”的思想,要从简单的情形出发,认真比较,发现规律,分析联想,归纳猜想,推出结论,一举成功。例2右图是一回形图,其回形通道的宽与OB的长均为1,回形线与射线OA交于点
7、A1,A2,A3,。若从O点到A1点的回形线为第1圈(长为7),从A1点到A2点的回形线为第2圈,依此类推。则第10圈的长为 。已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后,再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后,再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内,现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1,第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,。依此运动规律,则经过第11次运动后,动点P所在位置P11的坐标是 。解析:我们从简单的情形出发,从中发现规律,第1圈的长为1+
8、1+2+2+1,第2圈的长为2+3+4+4+2,第三圈的长为3+5+6+6+3,第四圈的长为4+7+8+8+4,归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+1079。例3. “已知下列等式: 1312; 132332; 13233362; 13233343102 ; 由此规律知,第个等式是 ”解析:这个题目,在给出的等式中,左边的加数个数在变化,加数的底数在变化,右边的和也在变化。所以,需要进行比较的因素也比较多。就左边而言,从上到下进行比较,发现加数个数依次增加一个。所以,第个等式应该有5个加数;从左向右比较加数的底数,发现它们呈自然数排列。所以,第个等式的左边是1323334353。再来
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