小样本最小二乘法.ppt

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1、小样本最小二乘法现在学习的是第1页，共43页一、古典线性回归模型的假定Ordinary Least SquareOLS最小二乘法（，）是线性回归模型最基本的估计方法。古典线性回归模型的假定如下：i1i12i2kikipopulationyxxxin假定2.1 线性假定 总体（）模型为：（1，）（2.1）1kinik regression coefficients为样本容量，表示观察值序号，表示解释变量个数。，为未知参数，即总体回归系数（）为扰动项，表示除了模型中的解释变量以外，影响被解释变量的其余因素。若有常数项，则令第一个变量恒为1现在学习的是第2页，共43页Data Generating

2、Process DGP 总体模型也称“数据生成过程”（，）一般小写字母表示列向量，大写字母表示矩阵。iiiyxin（2.1）简写成 （1，）（2.2）12n12n12nyyyyXxxxyX定义，数据矩阵，则（2.2）简写成 （2.3）假定2.2 严格外生性i1nExx0i1n，（2.4）iiiijkxCov(x)0jk这意味着扰动项 均值独立于解释变量的所有观察值，而不仅仅是同一期或同一个观察值，由均值独立，得出 与所有解释变量不相关，即，现在学习的是第3页，共43页 i E00定理，即扰动项的无条件期望为 ixixEE EXE00证明：根据迭代期望定理，XYE XY0XYx y 定义：若随机

3、变量，满足，则称，正交。（注意，而向量正交指的是向量的内积为0，0）定理：解释变量与扰动项正交 jkijkijkijkiCov xE xE xEE x证明：0，2.3rank Xk假定 不存在严格多重共线性，即数据矩阵列满秩，1r Xr XXXXkXX由公式，可得的秩为，即满秩矩阵，故存在。XX X或由前面练习可知，为列满秩可得为正定矩阵，而正定矩阵可逆现在学习的是第4页，共43页假定2.4 球型扰动项 即扰动项满足同方差、无自相关。22n2VarXEXI00 （2.5）211222x0 xxx0何谓“球型”，看二次型可知conditional heteroskedasticity若对角线元素

4、不相等，是为条件异方差（）0autocorrelation若非对角线元素不为，是为自相关（）即扰动项之间有相关关系现在学习的是第5页，共43页OLS二、的推导iiiiresidualeyx为未知总体参数，而 为其某个估计值，记第个数据的拟合误差（即残差，）为 iiiiiiiyxyyxe有两种表达方式，12neeeeyX残差用向量表示，n2ii=1Sum of Squared ResidualsSSRe所谓最小二乘法是寻找能使残差平方和（，）达到最小的那个现在学习的是第6页，共43页 n2ii=1SSRee eyXyXyXyXyyyXX yX XyyyXX X 因此残差平方和是 的二次函数，2

5、SSR为寻找的极值点，需要对 求导，为此先介绍向量求导法则k12kiii=1aaaaaa设有列向量，则12k12kaaaaaaaa 就有 （2.6）现在学习的是第7页，共43页12kAAAAA同理可验证 2 （2.7）对列向量求导，结果还是列向量，称为梯度向量。SSR2X y2X X0函数求极值的必要条件是 （2.8）X XX y 可得正规方程组：（2.9）1OLS X XX y 解出 的估计量（2.10）现在学习的是第8页，共43页OLSX yX X0由的条件（2.8）可得X yX0X e0 eXOLS表示残差向量 与解释变量 正交，这是的特征之一多元函数存在极小值的充分条件是函数对自变量列

6、向量求二阶导数所得的矩阵（海赛矩阵）为正定矩阵。2SSRX X 海赛矩阵为2前面已证其为正定矩阵。OLSyXeye yXfitted values估计量 求出后，被解释变量分解为 称为被解释变量的拟合值（）现在学习的是第9页，共43页yeyeXeX e00 而 也与 正交，因为故被解释变量是被分解成相互正交的两个部分。2i2n22ii=1Vare1sen-k关于扰动项的方差，由于扰动项 不可观测，故残差 视为 的实现值（相当于变量的抽样实现值）故使用如下统计量作为方差的无偏估计 （2.11）2212nE sn-knn-kneeekXe 0n-k可以证明为什么除以而非，称为自由度，因为 个残差须

7、满足 个正规方程，所以自由度减少为现在学习的是第10页，共43页2ssstandard error of the regression称 为回归方程的标准误差（）OLS三、的几何解释Xye yXXy yXe现在学习的是第11页，共43页所谓做回归分析，是指将被解释变量分解成两部分，其一是由解释变量来解释的部分（即拟合值或模型值），其二是由众多次要因素决定的残差部分。yXeye yXXXXX若模型设定为线性模型，则可表为 于是模型拟合值 是 之列向量的线性组合，也即属于由 的列向量所生成的空间（列空间）yye做回归分析自然希望模型的解释力度越大越好，也即中的 部分尽量大，从而残差 尽量小。向量的

8、大小由长度或模来衡量。现在学习的是第12页，共43页12nn2ii=1aaaaanormaa aa定义：设向量，定义 的模（）或长度为 （2.12）aba bcosab定理（余弦法则）：两个向量、之间的夹角 满足 （2.13）夹角 反映两向量的相关程度eyX目标是残差向量尽量小，也即尽量小yyeXe向量间满足头尾相连的加法准则（如图所示）即 现在学习的是第13页，共43页e那么在什么情况下最小呢？eX几何知识告诉我们这将在 与 列空间正交（垂直）的情形下实现eXX则 与 列空间中的一切向量（包括）正交a bcos2ab由向量正交定义或余弦法则（0）Xe0X yX0 X yX X00X yX X

9、0假定，X XX y1X XX yXyXprojection因此，线性组合被称为 在 的列空间的正交投影（）现在学习的是第14页，共43页yXyXOLS可见 到 的投影就是 对 回归的拟合值111PX X XX yXXX XX yX X XXyPy先设 1PyXPX X XX可见可以将 视作一个算子或函数，作用于（左乘）后生成投影，故称矩阵 为投影矩阵111MIX X XXeyXyX X XXyIX X XXyMy先设 而残差 现在学习的是第15页，共43页MyeMresidual maker可见将作用于（左乘）后即可生成残差向量，故称为残差制造者（）MyyX也是投影矩阵，左乘 相当于把 投影

10、到与列空间正交的补空间中去22PPPPMMMM请验证，投影矩阵必有两个性质：幂等、对称对称性将保证投影是正交的，而幂等性使二次投影保持不变2P yP PyP XXPyM，也一样MPPM请验证0Xey上式表明 列空间与残差 所在空间是正交的，输入 可知现在学习的是第16页，共43页yPyMy显然有 投影残差 yyyPPyyMMyyyee 运用上式，勾股定理也成立222yye即下面的表达式很有用e eyM MyyMyyee y残差平方和e ee yyXyyyX yyyyX MX0Pe0故有 与eMyM XMXMMMX0可以把残差表为总体扰动项 的函数 因为现在学习的是第17页，共43页SSRe e

11、MMM MM也可把残差平方和表为 的函数ny nyny R有 个观测值，相当于独立抽样，故均为自由的，故属于 维空间，。XXXk而 在列满秩的基础上由 的列向量生成的列空间的维数就是列向量的个数，故 的列空间的维数几 何 知 识：线 性 空 间 的 维 数 等 于 相 互 正 交 的 子 空 间 的 维 数 之 和nknk即，enk即残差向量 所在空间的维数 2e enksnk故的自由度为 ，除以 现在学习的是第18页，共43页四、拟合优度nnnnn22222iiiiiii=1i=1i=1i=1i1nii1yyyyyyyyeOLSeye 若模型包含常数项，则被解释变量的离差平方和可分解为（的结

12、果有0，0）n2ii=1n2ii1 yye为回归平方和，是可由模型解释的部分为残差平方和，是不能由模型解释的部分nn22ii2i=1i1nn22iii=1i=1 yyeR1yyyy定义：拟合优度现在学习的是第19页，共43页coefficient of determination也称判定系数（）22RR越大，则说明拟合程度越好。若增加解释变量则必然只增不减，但却会损失自由度，为此可通过对自由度相对平均化来对解释变量过多进行惩罚。n2i2i1n2ii=1en-kR1yyn-1故定义校正拟合优度 2R缺点是有可能为负若回归模型中不包含常数项，则离差形式的平方和分解公式不成立（为什么？）nii1e0

13、因为现在学习的是第20页，共43页 n2ii1nn22iii1i1 yyyyeyeyy2yee e yye eyeye0若回归模型中不包含常数项，则有被解释变量平方和的分解公式 因为2222uc2RUncentered R y yye eR1yyyyy可定义非中心（）12ucyX X XX yRyy可证（练习）LM此结果在第四章在推导检验时会用到现在学习的是第21页，共43页OLS五、最小二乘法（）的小样本性质11OLSX XX yy、线性估计量：估计量 是 的线性组合1EXEX XX y X2、无偏性：先看条件期望11EX XX XXEX XXX1XXXEXEX0 由于有严格外生性严格外生性

14、是必要条件 xxEE EXE然后得出无条件期望1AX XX为推导简便计，记 现在学习的是第22页，共43页111X XX yX XX XX XXA 123VarXX X、的方差矩阵VarXVarXVar A XAVarX A111222nAI AX XXX XXX X证明的关键是球型扰动项假定，否则将使用稳健标准差4OLSBest Linear Unbiased EstimatorBLUE、高斯马尔可夫定理：估计量是最佳线性无偏估计量（，）最佳是指方差最小现在学习的是第23页，共43页nAA预备定理：若 阶对称矩阵 是半正定的，则 的主对角线元素均为非负（练习）（使用反证法）OLSVarXVa

15、rX证明：已证估计量 是线性无偏估计量，设 是任意一个线性无偏估计量，需要证明VarXVarXVarXVarX即证为半正定矩阵，也即的主对角线元素小于等于的主对角线元素。k n1CCyAyAX XXDCA因为 是线性估计量，故存在常数矩阵使得。而，其中。令，CyDA yD XDXD则有 现在学习的是第24页，共43页EXE DXDXDXDEXEXDX利用 的无偏性，有 DX0DX0比较两边，得，由于 不确定，故必有DXDD故 DDADA 2122VarXVarXVarDAXDA VarXDADADADX0AD0DA0DDAADDX X注：由 得 和现在学习的是第25页，共43页11222Var

16、XVarXDDX XX XDDDD 由于为半正定矩阵故高斯马尔可夫定理成立OLSBLUEOLS注意，若没有球型扰动项假定，则估计量不是有其他更优的线性无偏估计，参见第五章广义225E sX、方差的无偏估计：22e eME sXEXEXn-kn-k1EMXEMXn-kn-k证明：，故只要证明即可 Atrace A证明中需要“迹”运算，定义方阵 的迹为主对角线元素之和，记做现在学习的是第26页，共43页 trace ABtrace Atrace Btrace ABtrace BAtrace kAk trace A可以证明以及，EMXE traceMXE traceMX（）（）22trace E M

17、Xtrace MItrace M注：球型扰动项1n11nktrace Mtrace IX X XXtrace Itrace X X XXntrace X X X Xntrace In-k 回代即得现在学习的是第27页，共43页12VarXsX XVariance-Covariance Matrix Estimated因此，的方差协方差矩阵的无偏估计为，t六、对单个系数的 检验2nXXXN 0I假定2.5：在 给定的情况下，的条件发布为正态分布即，扰动项实际上是众多次要影响因素和测量误差之和，根据中心极限定理可知扰动项应近似服从正态分布，这是上面假定的理论基础。0iiiinull hypothe

18、sisH0对单个回归系数进行假设检验，原假设（）：，其中 为给定常数，通常 现在学习的是第28页，共43页1iialternative hypothesisH备择假设（）：iiiWald test直观上来说，的估计值 距离 较远，则应拒绝原假设，否则就接受原假设，这类检验称为“沃尔德检验”（）112nX XXAXN 0IX XXAXEX0 由于，而 为 的线性函数，故 服从正态分布。且有1122VarXXXXN 0XX及，故，0ii1112iiiiii12iiiHiXN 0X XX XX XiiX X在原假设：成立下，第 个分量，其中为的（，）元素，为 的方差。现在学习的是第29页，共43页2

19、iii12iizN 01X X若已知，则检验统计量，22st而若未知，则需以 代替，于是引出 统计量 n22n1xN 0IxAx Axrank AAIx xn预备定理：若，这意味着 的各分量相互独立，且 为幂等矩阵，则二次型服从自由度为的分布。若 ，则，此特殊情形是熟知的 0iiiiiiiii12iiitHttt n-kSESEsX Xestimated standard error定理（统计量的分布）：在假定2.12.5均满足，且原假设“：”也成立的情况下，统计量。其中是 的估计标准误差 现在学习的是第30页，共43页 2ZN 01YkZYZt kkY k证明：上章学过，若，而且 与相互独立

20、，则，其中 为自由度。这是总体思路iii212iie ezqX X令，2iizN 01qn-kzq已知，下面将证明：（1）（2）与 相互独立iztt n-kqn-k于是根据 分布定义，就有ii12iit n-ksX X也即现在学习的是第31页，共43页22e eMqM（1）（二次型）2nnN 0IN 0I因为，故有，M10已知为幂等矩阵，而幂等矩阵的特征值或 或，1X MXrank Mtrace Mn-k（）故非零特征值的个数即为秩。故有21Mqn-k由预备定理 可得，1n11nn12n2nXXk Xk XXXXn预备定理：对于 个随机变量，若任意线性组合都服从一维正态分布，则 服从维正态分布

21、。现在学习的是第32页，共43页12n1m12n1mX XXnYYX XXYY预备定理3：若 服从 维正态分布，设，分别是 的线性函数，则也服从多维正态分布。iii12iii2 zqeX Xzqe是 的函数，而 是 的函数。因此，为了证明 与 相互独立，只要证明 与 相互独立即可。AeMe由于 ，均是多元状态扰动项 的线性函数，故根据预备定理3可得，的联合分布也是多元正态分布eCove0因此为了证明 与 相互独立，只要证明，即可现在学习的是第33页，共43页CoveCovAMCov AM，2E AME AE MAEMAM 1122XXXMXXMXMX 00（）F七、对假设检验的 检验 0HRr

22、rmRmkrank RmRr对回归方程的所有参数的检验，可以统一表为：其中 为 维列向量，为矩阵，即行满秩，表示 中没有多余的方程02k102kHH比如最常见的假设检验“：0”为常数项。再比如格兰杰因果检验，再比如面板分析中的变系数检验“：”等现在学习的是第34页，共43页0HRr0直观上看，由于 是 的估计量，因此若成立，则应该比较接近于 向量，因此可以使用如下的沃尔德检验 0112FHRrFRrR XXRRrmFF mn-ks定理（统计量的分布）在假定2.12.5均满足，且原假设：也成立的情况下，则 统计量，2.1421122112se en-kFRrR X XRRrmw mFqn-ke

23、en-kwRrR X XRRr证明：由于，可将 写成其中，现在学习的是第35页，共43页 221 wm2 qn-k3 wq下面将证明：已在前面证明 与 相互独立w mFF mn-kqn-k则根据 分布的定义有，124mxNxxm预备定理：若 维随机向量 服从正态分布，其中为非退化矩阵（满秩），则二次型 01vRr HvRrRRR3vmE v0令 在成立的情况下，。由于 为正态分布，故根据预备定理，为 维正态分布，且现在学习的是第36页，共43页 12Var vVar RRVarRR X XR其方差为 1121214wRrR X XRRrvVar vvmRR X XR根据预备定理，注：由于 行满

24、秩，故可逆 3 wqeewq是 的函数，而 是 的函数，由于 与 相互独立，故 与 相互独立现在学习的是第37页，共43页F八、统计量的似然比原理表达式Restricted OLSRLSF使用约束条件下最小二乘法（，简记）可以得到 统计量的另一方便表达式。min SSRmin yXyXs.t.RrrmRmkr Rm考虑有约束的最小二乘问题：其中 为 维列向量，为矩阵，行满秩 LyXyXRrm引入拉格朗日函数，（2.15）其中 为 维拉格朗日乘子列向量现在学习的是第38页，共43页k 1L2Xy 2XXR0，一阶条件（2.16）m 1LRr0，及 （2.17）其中、表示极值点（即 与 的最优值）

25、1OLSOLSR X X为了确定约束估计量与无约束估计量 之间的关系，在方程（2.16）两边同时左乘先求11112R X XX y2RR X XR0X XX yRr2R2rR X XR0 （2.18）将 及 代入上式，得 现在学习的是第39页，共43页112 R X XRrR由上式解出 （2.19）1111XXXXR R XXRrR将上式代入（2.16），并在方程两边同时左乘得 （2.20）OLSOLSOLSrRrROLSRr这就是约束估计量，可见约束与无约束之差 是的线性函数，而衡量的是无约束估计量 偏离约束条件 的程度若 恰好满足这些约束，则现在学习的是第40页，共43页eeeyXyXXe

26、X记 为无约束情况下的残差向量，为有约束情况下的残差向量，则 e eeXeXeeXeeXXXOLSXe0eeXX （根据无约束的性质：）（2.21）现在学习的是第41页，共43页111X XRR X XRrR根据（2.20）式有：（2.22）11e ee eRrR XXRRr将上式代入（2.21）式有：（2.23）112211FRrR X XRRrmFe en-kRrR X XRRrmF mn-ke e n-k可得 统计量，现在学习的是第42页，共43页e ee emFFe e n-k将（2.23）代入上式可得，这正是似然比原理的 统计量表达式11e ee eRrR X XRRr理解此问题的关键在于（2.23）式e ee emFe e n-kLikelihood ratio test有时更容易计算。这种通过比较“条件极值”与“无条件极值”而进行的检验，通称为“似然比检验”（），参见第四章现在学习的是第43页，共43页