常微分 线性微分方程的一般理论课件.ppt

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1、关于常微分 线性微分方程的一般理论现在学习的是第1页，共123页n 阶线性微分方程一般形式：阶线性微分方程一般形式：).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn其中其中),2,1)(nitai)(tf及是区间是区间bta上的连续函数。上的连续函数。称它为称它为 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程，而方程（，而方程（4.14.1）为）为 n 阶非阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程。).()()()(24 01111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn4.1.1 引言引言 n 阶微分方程一般形式：阶微分方程一般形式：0 ),()(

2、nxxxtF现在学习的是第2页，共123页方程（方程（4.1）的解的存在唯一性定理）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：上，且满足初始条件：定理定理1 1),2,1()(nitai及及)(tf都是区间都是区间bta则对于任一则对于任一,0bat 及任意的及任意的,)1(0)1(00nxxx方程（方程（4.14.1）存在）存在)(tx，定义于区间，定义于区间上的连续函数上的连续函数,bta)3.4()(,)(,)()1(0101)1(0000nnnxdttdxdttdxt唯一解唯一解如果如果).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn现在学习的

3、是第3页，共123页4.1.2 4.1.2 齐线性方程解的性质与结构齐线性方程解的性质与结构 定理定理2 2 （叠加原理）（叠加原理）如果如果)(,),(),(txtxtxk21则它们的线性组合则它们的线性组合 )()()(2211txctxctxckk的的解，这里解，这里kccc,21是任意常数。是任意常数。是方程（是方程（4.2）也是（也是（4.2）的的k个解，个解，例例)0(0222为常数wywdxyd有解有解wxycoswxysinwxCysin2wxCycos1wxCwxCysincos21).()()()(24 01111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn现在学习的

4、是第4页，共123页证明证明)2.4(0)()()(1111xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn)(2211)()()(nkktxctxctxc)1(22111)()()()(nkktxctxctxcta)()()()(2211txctxctxctakkn)()()(111111111xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn)()()(221121122xtadtdxtadtxdtadtxdcnnnnnn)()()(knknnknnknkxtadtdxtadtxdtadtxdc11110现在学习的是第5页，共123页问题问题：nk 时，若时，若)()()(2211tx

5、ctxctxcxnn能否成为方程（能否成为方程（4.2）的通解？）的通解？wxycos1wxycos52wxCwxCycos5cos21不一定不一定不包含解不包含解wxCysin2要使要使)()()(2211txctxctxcxnn为方程（为方程（4.2）的通解）的通解)(,),(),(txtxtxn21还需满足一定的条件。还需满足一定的条件。当当)(,),(),(txtxtxn21是齐线性方程的解，是齐线性方程的解，如在上例中如在上例中现在学习的是第6页，共123页函数线性无关和相关函数线性无关和相关定义在定义在bta)(,),(),(21txtxtxk上的函数上的函数，如果存在，如果存在k

6、ccc,21使得恒等式使得恒等式不不全为零的常数全为零的常数0)()()(2211txctxctxckk 对所有对所有bat,成立，成立，称这些函数是称这些函数是线性相关线性相关的，否则称是的，否则称是线性无关线性无关的。的。,cosxxsin如如),(在区间上线性无关上线性无关,cos2x1 ,sin2x),(在区间上线性相关上线性相关nttt ,12),(在区间上线性无关上线性无关),(ttctctccnn 02210要使得要使得则则0210ncccc现在学习的是第7页，共123页)()()()()()()()()()1()1(2)1(12121txtxtxtxtxtxtxtxtxkkkk

7、kk定义在定义在bta区间上的区间上的 k个可微个可微 k-1次的函数次的函数)(,),(),(21txtxtxk所作成的行列式所作成的行列式)(,),(),()(21txtxtxWtWk称为这些函数的称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式伏朗斯基行列式现在学习的是第8页，共123页 定理定理3 3)(,),(),(21txtxtxn在区间在区间bta上线性相关，上线性相关，,ba上它们的伏朗斯基行列式上它们的伏朗斯基行列式0)(tW。则在则在证明证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数由假设，即知存在一组不全为零的常数,21nccc0)()()(2211txctxctx

8、cnnbta （4.64.6）0)()()(0)()()(0)()()()1()1(22)1(1122112211txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn （4.74.7）使得使得依次对依次对 t 微分此恒等式，得到微分此恒等式，得到若函数若函数nccc,21的齐次线性代数方程组，的齐次线性代数方程组，关于关于现在学习的是第9页，共123页它它的系数行列式的系数行列式,)(,),(),(21txtxtxWn方程方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即0)(tWbta由线性代数理论由线性代数理论证毕证毕其逆定理是

9、否成立？其逆定理是否成立？例如：例如：10010)(21ttttx10010)(22ttttx即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定不一定现在学习的是第10页，共123页)(),(21txtxW10010)(21ttttx10010)(22ttttx10 020001 002022tttttt10 0001 00)()(2212212211ttcctctctxctxc021 cc 1,1t故故)(),(21txtx是线性无关的。是线性无关的。现在学习的是第11页，共123页如果方程如果方程(4.2)(4.2)的解

10、的解)(,),(),(21txtxtxn在区间在区间bta上线性无关，则上线性无关，则)(,),(),(21txtxtxWn任何点上都不等于零，即任何点上都不等于零，即0)(tWbta在这个区间的在这个区间的定理定理4设有某个设有某个,0tbta0，使得，使得0)(0tW考虑关于考虑关于nccc,21的齐次线性代数方程组的齐次线性代数方程组证明证明 反证法反证法0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011txctxctxctxctxctxctxctxctxcnnnnnnnnn（4.94.9）现在学习的是第12页，共123页其系数行列式其

11、系数行列式0)(0tW，故（，故（4.94.9）有非零解）有非零解nccc,21构造函数构造函数)()()()(2211txctxctxctxnnbta 根据叠加原理，根据叠加原理，是方程（是方程（4.2）的解，且满足初始条件）的解，且满足初始条件)(tx0)()()(0)1(00txtxtxn0 x由解的唯一性知由解的唯一性知)(tx0bta，即，即 0)()()(2211txctxctxcnn因为因为nccc,21不全为不全为0 0，与，与)(,),(),(21txtxtxn的假设矛盾。的假设矛盾。（4.104.10）另另 也是方程也是方程(4.2)(4.2)的解，的解，bta线性无关线性

12、无关证毕证毕也满足初始条件（也满足初始条件（4.10）现在学习的是第13页，共123页定理定理5 5 n 阶齐线性方程阶齐线性方程(4.2)(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解，个线性无关的解，0)(,),(),(00201txtxtxWn)(,),(),(21txtxtxn线性相关线性相关,0tbta0定理定理4定理定理3重要结论重要结论方程方程(4.2)(4.2)的解的解)(,),(),(21txtxtxn在区间在区间bta上线性无关上线性无关0)(,),(),(21txtxtxWnbta的充分必要条件是的充分必要条件是且任意且任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。证明证明

13、),2,1()(nitai在在 上连续，取上连续，取bta,0bat )(,)(,)()1(00)1(0000nnxtxxtxxtx则满足条件则满足条件存在唯一。存在唯一。现在学习的是第14页，共123页 0)(,0)(,1)(0)1(00txtxtxn )(1tx 0)(,1)(,0)(0)1(00txtxtxn )(2tx 1)(,0)(,0)(0)1(00txtxtxn )(txn 01)(,),(),(021 EtntxtxtxW)(,),(),(21txtxtxn线性无关。线性无关。即齐线性方程即齐线性方程(4.2)一定存在一定存在 n 个线性无关的解。个线性无关的解。)(),(,)

14、,(),(121txtxtxtxnn任取方程任取方程(4.2)的的n+1个解，个解，现在学习的是第15页，共123页)()()()()()()()()()()(1)(2)(1121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnn121121()()()12111()()()()()()0()()()nnnnn inn iiiniix tx txtx tx txta xtxta xt 任意任意 n+1个解都线性相关。个解都线性相关。现在学习的是第16页，共123页引理引理 方程(4.2)的解组在 上是线性无关(相关)的，当且仅当由它们构造的向量函数组在 上是线性无关(相关)axbaxb

15、10a()00()(),.xxx dxwronskyW xW x eaxxb齐次线性微分方程解的行列定，式满足理现在学习的是第17页，共123页 定理定理6 6（通解结构通解结构）)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn 其中其中nccc,21是任意常数，是任意常数，且通解（且通解（4.11）是方程（是方程（4.24.2）的）的n个线性个线性无关的解，则方程（无关的解，则方程（4.24.2）的通解可表为）的通解可表为（4.114.11）包括包括方程（方程（4.24.2）的所有解。）的所有解。方程方程(4.2)(4.2)的一组的一组n n个线性无关解称为它

16、的一个个线性无关解称为它的一个基本解组基本解组。如果如果n 阶齐线性方程的所有解构成一个阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。维线性空间。现在学习的是第18页，共123页例例 已知方程已知方程 ，求它的基本解组？并写，求它的基本解组？并写出它的通解。出它的通解。0 xx分析：试探方法求其基本解组分析：试探方法求其基本解组。sin,costt12sincosxctct则原方程的通解为则原方程的通解为现在学习的是第19页，共123页 4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 性质性质1 1 如果如果)(tx是方程（是方程（4.14.1）的解，而）的解，而)(tx（4.24.2）的解，则）的解，

17、则)()(txtx性质性质2 2 方程（方程（4.14.1）的任意两个解之差必为方程（）的任意两个解之差必为方程（4.24.2）的解。）的解。是方程是方程也是方程（也是方程（4.14.1）的解。）的解。).()()()()(14 1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn).()()()()()(24 0111xtaxtaxtaxnnnn)()()()()()(xxtaxxtaxxtaxxnnnn111)()()()()()()()()()(xtaxtaxtaxxtaxtaxtaxnnnnnnnn111111 )(tf现在学习的是第20页，共123页是任意常数，且通解（是任

18、意常数，且通解（4.144.14）包括）包括定理定理7 7)(,),(),(21txtxtxn为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，)(tx是方程（是方程（4.14.1）的某一解，则方程（）的某一解，则方程（4.14.1）的通解为）的通解为)()()()(2211txtxctxctxcxnn其中其中nccc,21（4.144.14）设设方程（方程（4.1）的所有解。）的所有解。证明证明1)（4.14）一定是方程（）一定是方程（4.1）的解，且含有）的解，且含有n个独立个独立的任意常数，是通解。的任意常数，是通解。2)(tx是方程（是方程（4.14.1）的任一个解，则）的任一个

19、解，则)()(txtx是方程是方程（4.2）的解）的解nccc,21)()()()()(txctxctxctxtxnn2211)()()()()(txtxctxctxctxnn2211证毕证毕现在学习的是第21页，共123页 由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐线性方程由定理可知：要求解非齐线性方程，只需要知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用的基本解组。只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法常数变易法求得非齐求得非齐线性方程的解。线性方程的解。一阶非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？一阶

20、非齐线性微分方程求解中常数变易法的精神实质是什么？提问提问：为了寻找为了寻找 ，只要再找，只要再找n-1个限制条件即可，个限制条件即可，而这些条件在理论上是任意取的，当然以运算上而这些条件在理论上是任意取的，当然以运算上“方便方便”为前为前提。提。适当选取方法适当选取方法，就可得到一关于，就可得到一关于 的线的线性方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得性方程组，进而利用求解线性方程组的方法可求得 。12(),(),()nC t C tC t12(),(),()nC t C tC t12(),(),()nC t C tC t现在学习的是第22页，共123页设设)(,),(),(21txtxt

21、xn为方程（为方程（4.24.2）的基本解组，）的基本解组，)()()(2211txctxctxcxnn为（为（4.24.2）的通解。）的通解。)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn （4.154.15）（4.164.16）非齐线性方程非齐线性方程齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解非齐线性方程通解特解特解基解组基解组表示表示关键关键常数变易法常数变易法为（为（4.1）的解。）的解。现在学习的是第23页，共123页令令117.4）（118.4）（217.4）（218.4）（)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn)()()()()()(2211tc

22、txtctxtctxnn02211)()()()()()(tctxtctxtctxnn)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn )()()()()()(2211tctxtctxtctxnn0)()()()()()(2211 tctxtctxtctxnn)()()()()()(txtctxtctxtcxnn2211)()()()()()(txtctxtctxtcxnn 2211现在学习的是第24页，共123页117.4n）（118.4n）（02222121)()()()()()()()()(tctxtctxtctxnnnnn)()()()()()()1()1(22)1(11

23、)1(txtctxtctxtcxnnnnnn )()()()()()()()(22)(11)(txtctxtctxtcxnnnnnn)()()()()()()(2)(21)(1tctxtctxtctxnnnnnn）（18.4)()()()()()()()()()(tftctxtctxtctxnnnnn1212111n）（17.4（4.16）118.4）（218.4）（118.4n）（n）（18.4代入方程（4.1）现在学习的是第25页，共123页117.4）（02211)()()()()()(tctxtctxtctxnn217.4）（02211)()()()()()(tctxtctxtctxn

24、n117.4n）（02222121)()()()()()()()()(tctxtctxtctxnnnnn)()()()()()()()()()(tftctxtctxtctxnnnnn1212111n）（17.40)(,),(),(21txtxtxWn方程组有唯一的解，设为方程组有唯一的解，设为),2,1()()(nittcii),2,1()()(nidtttciii)()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn （4.16）现在学习的是第26页，共123页dtttxdtttxdtttxxnn)()()()()()(2211),2,1(0 nii特解特解通解通解)()()(txt

25、xtxnn 2211dtttxdtttxdtttxxnn)()()()()()(2211非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构结构:通解与自身的一个特解之和。通解与自身的一个特解之和。现在学习的是第27页，共123页3、非齐线性方程的求解步骤、非齐线性方程的求解步骤求对应齐线性方程的一个基本解组；求对应齐线性方程的一个基本解组；用常数变易法求非齐线性方程的通解。用常数变易法求非齐线性方程的通解。求非齐线性方程的一个特解；求非齐线性方程的一个特解；求对应的齐线性方程的一个基本解组；求对应的齐线性方程的一个基本解组；写出非齐线性方程的通解。写出非齐线性方程的通

26、解。把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给出把对应齐线性方程的通解中任意常数看成待定函数，给出n个限制个限制条件即可求解。条件即可求解。现在学习的是第28页，共123页例例1 1 求方程求方程txxcos1 基本解组为基本解组为tcos，tsin的通解，已知它对应齐线性方程的的通解，已知它对应齐线性方程的解解ttcttcxsin)(cos)(210sin)(cos)(21ttcttctttcttccos1cos)(sin)(21解得解得1)(2 tc11cosln)(ttc原方程的通解为原方程的通解为 tttccossin)(122)(ttcttttttxsincoslncossin

27、cos21令令现在学习的是第29页，共123页()yx例例 设设是是二二阶阶齐齐次次线线性性微微分分方方程程()()0yp x yq x y()()axbp xq x的的一一个个解解，其其中中和和是是上上的的连连续续函函数数，则则方方程程的的通通解解为为()1221()()p x dxyxCCedxx例例 求求解解微微分分方方程程的的通通解解2222222111d yxdyyxdxx dxx 现在学习的是第30页，共123页例例2 2 求方程求方程2txx t 于域于域0t解解 对应的齐线性方程为对应的齐线性方程为txx1 上的所有解。上的所有解。得得 Atx BAtx221txtx 1221

28、)()(ttctcx0)()(221tcttcttc t)(22易见有基本解组易见有基本解组2 ,1t这里这里 A、B 为任意常数。为任意常数。设设 为方程的解为方程的解 2221)(ttc13161)(ttc322131ttx 故得原方程的通解故得原方程的通解（21,为任意常数为任意常数)0 xx tdttxxd1现在学习的是第31页，共123页作业作业：P.131，第，第1，2，3（3，5），），4，5，6，7题题练习题练习题220d xxdt，并求方程，并求方程ttee ,的的基本解组为基本解组为1 1 验证验证的通解。的通解。22cosd xxtdt 2 2 求方程求方程ttxx2si

29、n4 方程的方程的基本解组为基本解组为tt2sin ,2cos，的通解，已知它对应齐的通解，已知它对应齐线性线性思考题思考题常数变易法中待定函数的条件如何选择？常数变易法中待定函数的条件如何选择？现在学习的是第32页，共123页 关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，但是，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是没没有普遍解法的有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求

30、解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程常常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。求得它的通解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程

31、为更以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具。深刻地理解物理现象提供有力的工具。4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法现在学习的是第33页，共123页复值函数与复值解复值函数与复值解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程常系数齐次线性微分方程和欧拉方程非齐次线性微分方程的解法：非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法比较系数法和拉普拉斯变换法应用分析：应用分析：质点振动质点振动现在学习的是第34页，共123页4.2.1 引子引子:复值函数和复值解复值函数和复值解1、复数及其相等的定义。、复数及其相等的定义。2、有关定

32、义有关定义：复值函数的连续、可导性等。：复值函数的连续、可导性等。现在学习的是第35页，共123页)(lim)(lim)(lim000tittztttttt如果如果 ，就称，就称 在在 连续连续。)(tz)()(lim00tztztt0t如果对于区间如果对于区间 中的每一实数中的每一实数t，有复数，有复数 与它对应，其中与它对应，其中 和和 是在区间是在区间 上定义的实函数，上定义的实函数，i是虚单位，就说在区间是虚单位，就说在区间 上给定了一个复值函数上给定了一个复值函数 。如果。如果实函数实函数 ，,当当t趋于趋于 时有极限时有极限,就称复值函数就称复值函数 当当t趋于趋于 时有极限，并且

33、定义时有极限，并且定义bta)()()(tittz)(t)(tbta)(t)(t0t)(tz0t)(tzbta现在学习的是第36页，共123页复值函数在区间上连续的定义：复值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一点都即表示在区间上每一点都连续。连续。注：注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续。现在学习的是第37页，共123页如果如果 极限存在，就称极限存在，就称z(t)在在 点有导数（可微点有导数（可微）,且记此极限为且记此极限为 或者或者 。00)()(lim0tttztztt0tdttdz)(0)(0tzdttdidtt

34、ddttdz)()()(000显然显然 在在 处有导数相当于处有导数相当于 ,在在 处有导数，且处有导数，且)(tz0t)(t)(t0t现在学习的是第38页，共123页1212()()()()dz tdz tdzz tz tdtdtdt11()()dz tdzc z tcdtdt121221()()()()()()dz tdz tdzz tz tz tz tdtdtdt线性性线性性乘积性乘积性现在学习的是第39页，共123页)sin(cos)(titeeettiKt设设 是任意一复数，这里是任意一复数，这里 是实数，而是实数，而 为实变量为实变量。iKt,基本性质基本性质)(2121)(乘积t

35、KtKtKKeee)(微分KtKtKedtde)(高阶微分KtnnKtneKdted重要性质重要性质现在学习的是第40页，共123页5、复值解的定义复值解的定义)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnn定义于定义于 区间上的实变量复值函数区间上的实变量复值函数 称为方程称为方程（4.1）的复值解。如果）的复值解。如果bta)(tzx bta对于对于 恒成立恒成立。现在学习的是第41页，共123页定理定理8：方程（方程（4.2）的复值解的实部和虚部也是对应方程（）的复值解的实部和虚部也是对应方程（4.2）的解）的解。定理定理9：复方程的复值解的实部和虚部也是方程

36、对应的实方程和虚方程的解复方程的复值解的实部和虚部也是方程对应的实方程和虚方程的解。6、两个重要定理两个重要定理现在学习的是第42页，共123页问题问题：常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果如果？常数变易法常数变易法(至少至少)比较系数法比较系数法Laplace变换法变换法有无其它方法？有无其它方法？?欧拉指数法欧拉指数法现在学习的是第43页，共123页4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程常系数齐线性方程欧拉（欧拉（Euler）待定指数函数法）待定指数函数法 特征根是单根的情形特征

37、根是单根的情形 有复根的情形有复根的情形 特征根是重根的情形特征根是重根的情形 应用应用欧拉方程欧拉方程1、框架、框架现在学习的是第44页，共123页2、常系数齐线性方程、常系数齐线性方程1111 0(4.19)nnnnnnd xdxdxL xaaa xdtdtdt其中其中 是常数。此时，称（是常数。此时，称（4.19）为）为n阶常系数齐线性方程。阶常系数齐线性方程。),2,1(niai若齐线性方程（若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：现在学习的是第45页，共123页3、欧拉（、欧拉（Euler）待定指数函数法）待定

38、指数函数法引子：一阶微分方程解形式的启示引子：一阶微分方程解形式的启示 yay有指数形式的解：有指数形式的解：atyce对于对于n阶齐线性方程（阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？下面用试探法进行）是否也有类似形式的解？下面用试探法进行讨论讨论。提问提问现在学习的是第46页，共123页假如有下面形式（假如有下面形式（4.20）是方程（）是方程（4.19）的解）的解(4.20)txettnnnntntnntnntnteFeaaaeadtdeadtedadtedeL)()(1111111于是有：于是有：111()0(4.21)nnnnFaaa要（要（4.20）是方程（）是方程（4.2）的

39、解的）的解的充要条件充要条件为为：称（称（4.21）是方程（）是方程（4.19）的）的特征方程特征方程，它的根称为，它的根称为特征根特征根。现在学习的是第47页，共123页求解常系数线性微分方程问题求解常系数线性微分方程问题转化为求解一个代数方程问题。转化为求解一个代数方程问题。现在学习的是第48页，共123页设设 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的n个彼此不相等的根，个彼此不相等的根，则相应地方程（则相应地方程（4.16）有如下）有如下n个解个解：n,2112,(4.22)nttteee可以证明这可以证明这n个解在区间上个解在区间上线性无关（线性无关（？），从而组成方程（，从而组成方程

40、（4.19）的）的基本解组基本解组。如果如果 均为实数，则均为实数，则(4.22)是方程是方程(4.19)的的n个线性无个线性无关的实值解，而方程关的实值解，而方程(4.19)的的通解通解可表示为可表示为:),2,1(niitnttnecececx2121其中其中 为任意常数。为任意常数。nccc,21现在学习的是第49页，共123页例例1 求方程求方程 的通解的通解。0452244xdtxddtxd解：解：(单实根单实根)特征方程为特征方程为：425402,2,1,14321ttttexexexex242321,ttttececececx242321特征根特征根：通解通解：对应的对应的基本解

41、组基本解组：现在学习的是第50页，共123页设有单复根设有单复根 ，此时，由定理，此时，由定理8，可以求得实值解，可以求得实值解：i1tetettsin,cos现在学习的是第51页，共123页例例2 求方程求方程 的通解的通解01018156)3()4(yyyyy01018156234iiii2,2,1,14321xeyxeyxeyxeyxxxxsin,cos,sin,cos242321)sincos()sincos(43221xcxcexcxceyxx解：解：(复单根复单根)特征方程为特征方程为：特征根特征根通解通解对应的基本解组对应的基本解组现在学习的是第52页，共123页3.3 特征根是

42、重根的情形特征根是重根的情形设特征方程有设特征方程有k重根重根 ，由代数学基本知识有，由代数学基本知识有：10)(,0)()()(1)(1)1(11kkFFFF下面分三步来讨论基本解组的构成下面分三步来讨论基本解组的构成：01先讨论先讨论12,1kttt，此时，有线性无关的函数组此时，有线性无关的函数组：01讨论讨论把这种情况通过变换把这种情况通过变换 化为第一种情况化为第一种情况。tyex1再构成线性无关的函数组再构成线性无关的函数组：1111112,tttktetet ete现在学习的是第53页，共123页特征根特征根 的重数分别为的重数分别为：m,321;,32imkkkk则有线性无关的

43、则有线性无关的函数组函数组：1111122222121212,mmmmmtttkttttkttttktetet eteetet eteetet ete现在学习的是第54页，共123页对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是譬如假设是k重特征根重特征根 ，则，则 也是也是k重特征重特征根，仿根，仿1一样处理，将得到方程（一样处理，将得到方程（15）的）的2k个实值解：个实值解：ii2121cos,cos,cos,cossin,sin,sin,sintttkttttktet tet t ettetet tet

44、t ettet现在学习的是第55页，共123页例例3 求方程求方程 的通解的通解022244xdtxddtxd01224特征方程：特征方程：解：复重根的情形解：复重根的情形对应的基本解组对应的基本解组：ttxtxttxtxsin,sin,cos,cos4321ttccttccxsin)(cos)(4321通解：通解：特征根特征根：i21、是是2重根重根。现在学习的是第56页，共123页4、欧拉方程、欧拉方程定义：形如定义：形如111110(4.23)nnnnnnnnnd ydydyxaxa xa ydxdxdx的方程被称为的方程被称为欧拉方程欧拉方程。欧拉方程的求解方法欧拉方程的求解方法是通过

45、变换变为常系数齐线性方程，因而求解问是通过变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决。引进变换：题很容易解决。引进变换：xtextln,11110(4.24)nnnnnnd ydydybbb ydtdtdt得到得到常系数齐线性微分方程：常系数齐线性微分方程：利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即可完成欧拉方利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即可完成欧拉方程的求解。程的求解。现在学习的是第57页，共123页tdydy dtdyedxdt dxdt22222()()tttd yddyd ydyeeedxdtdtdtdt及及由数学归纳法，不难证明由数学归纳法，

46、不难证明1111()kkkktkkkkd yd ydydyedxdtdtdt其中其中 都是常数都是常数。11,k事实上，由事实上，由 ，有，有,lntxe tx注注：如果：如果 ，则用，则用 所得结果一样，为方便，所得结果一样，为方便，设设 ，但最后结果应以，但最后结果应以 代回。代回。0 x 0 x lntxtxe 现在学习的是第58页，共123页于是对应于欧拉方程（于是对应于欧拉方程（4.23）的齐线性方程有形如）的齐线性方程有形如 的解，的解，从欧拉方程有形如从欧拉方程有形如 的解。若的解。若 以代入欧拉方程，以代入欧拉方程，得到其对应的特征方程：得到其对应的特征方程：tey xyKxy

47、 1(1)(1)(1)(2)0(4.25)nK KKnaK KKna 方程（方程（4.25）的）的m重实根重实根0KK，对应于方程（，对应于方程（25）的）的m个解个解xxxxxxxmKKKK12ln,ln,ln,0000方程方程4.25的的m重复根重复根iK，对应于方程（对应于方程（4.23）的）的2m个实值解个实值解)lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin()lncos(ln,),lncos(ln),lncos(11xxxxxxxxxxxxxxxxmm欧拉方程的解欧拉方程的解现在学习的是第59页，共123页例例5 求解方程求解方程0222ydxdyxdxydx解：分析原方程为

48、欧拉方程，于是有解：分析原方程为欧拉方程，于是有：得到确定的代数方程：得到确定的代数方程：01)1(KKK方程的通解为方程的通解为xxccy)ln(21其中其中 是任意常数。是任意常数。21,cc121 KK特征根为二重实根：特征根为二重实根：Kxy 寻找方程的形式解，寻找方程的形式解，法一法一：利用欧拉方程求解过程进行求解；：利用欧拉方程求解过程进行求解；法二法二：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：现在学习的是第60页，共123页例例6 求解方程求解方程02530543223456解：分析可知，这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，解：分析可知，这个

49、方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，于是由于是由欧拉待定指数欧拉待定指数方法求解。方法求解。0253054322233445566xdtdxdtxddtxddtxddtxddtxd特征方程为：特征方程为：或或0)1(4)1(222特征根为：特征根为：)(1)(216,54,3,2,1二重二重i现在学习的是第61页，共123页于是可以写出这个方程的一个基本解组为：于是可以写出这个方程的一个基本解组为：ttttttteettetettete,;2sin,2sin,2cos,2cos于是可以写出这个方程的通解为于是可以写出这个方程的通解为：tttttttececttectecttectecx654

50、3212sin2sin2cos2cos其中其中 是任意常数是任意常数。654321,cccccc现在学习的是第62页，共123页4.2.3 非齐次线性微分方程的解法：非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法比较系数法和拉普拉斯变换法求特解求特解考虑常系数非齐线性方程考虑常系数非齐线性方程1111()(4.26)nnnnnnd xdxdxL xaaa xf tdtdtdt其实，该方程（其实，该方程（4.26）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解）的求解问题，即比（问题，即比（4.26）更一般的微分方程（）更一般的微分方程