微分几何第二章.ppt

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1、微分几何第二章微分几何第二章现在学习的是第1页，共35页第二章内容概要第二章内容概要本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等、伏雷内公式、近似结构、基本定理等重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计算重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用、伏雷内公式的应用如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论讨论返回章首现在学习的是第2页，共35页2.1平面曲

2、线平面曲线 内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算重点：曲率与相对曲率的计算返回章首现在学习的是第3页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-伏雷内标架伏雷内标架 设平面曲线设平面曲线 C:r=r(s)以弧长为参数以弧长为参数，则其切向量，则其切向量 a a (s)=r (s)是一个单是一个单位向量，位向量，即即 a a (s)a a (s)=1 两边求导数得两边求导数得 a a (s)a a (s)=0，所所以以 a a (s)垂直于垂直于 a a (s)，这说明，这说明 a a (s)是曲线的法向量是曲线的法向量

3、 令令 b b =a a /|a a|，则对于每一个，则对于每一个 s，r(s);a a (s),b b(s)构成平面曲线构成平面曲线 C 上上的一个幺正标架，我们称之为曲线的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的上的伏雷内标架伏雷内标架返回章首现在学习的是第4页，共35页由导数的定义我们可知由导数的定义我们可知 b b 总是指向曲线弯曲的总是指向曲线弯曲的那一侧那一侧Ca a(s)a a(s+Ds)a a(s+Ds)()()()sssssDD2.1 平面曲线平面曲线-b b 的指向的指向返回章首现在学习的是第5页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-伏雷内公式伏雷内公式 由由 b b 的定义有

4、的定义有 a a (s)=|a a(s)|b b (s)令令 k k(s)=|a a (s)|，则有则有a a (s)=k k(s)b b (s).我们把我们把 k k (s)叫曲线叫曲线 C 在在 r(s)处的处的曲率曲率 定理定理.（伏雷内公式伏雷内公式）我们有我们有 a a =k kb b ,b b =k ka a .以上伏雷内公式叫平面曲线的以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式基本公式返回章首现在学习的是第6页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-曲率计算公式曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零3/22|().1()yxyk如果曲线方

5、程为如果曲线方程为 y=y(x)，取取 x 为参数为参数，则曲线则曲线的参数表示为的参数表示为 r=(x,y(x)，其曲率为，其曲率为3/222|()()()()|().()()x t y tx t y ttx ty tk定理定理.设曲线设曲线 C:r(t)=(x(t),y(t)，则其曲率为，则其曲率为返回章首现在学习的是第7页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-例子例子 例例.求椭圆求椭圆 (x2/a2)+(y2/b2)=1 的曲率的曲率3/22222si()nco.sabtatbtk解解：椭圆可参数化为椭圆可参数化为 r(t)=(a cost,b sint)，参参数方程为数方程为 x=ac

6、ost,y=bsint，所以有，所以有x=asint,x=acost,y=bcost,y=bsint.代入曲率公式得代入曲率公式得返回章首现在学习的是第8页，共35页练习题练习题1求曲线求曲线 y=sinx 的曲率的曲率2求曲线求曲线 x=acos3t,y=asin3t 的曲率的曲率返回章首现在学习的是第9页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-标准伏雷内标架标准伏雷内标架 前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 r(s);a a (s),b b(s)但伏雷内标架不一定是平但伏雷内标架不一定是平面正标架（即它们关于平面上的标准基的分面正标架（即它们关于平面上的标

7、准基的分量的行列式不一定为正数）但我们总可以量的行列式不一定为正数）但我们总可以在曲线上选取一单位法向量在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使使 r(s);a a(s),n(s)构成正标架，这个标架叫平面曲构成正标架，这个标架叫平面曲线的线的标准伏雷内标架标准伏雷内标架a a b b a a n 返回章首现在学习的是第10页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-相对曲率与伏雷内公式相对曲率与伏雷内公式 因因 a a /n，所以可令所以可令 a a (s)=k kr(s)n(s)我我们称们称 k kr 为曲线的为曲线的相对曲率相对曲率 注意：相对曲率可正可负注意：相对曲率可正可负 定理定理.我们有

8、下述形式的伏雷内公式：我们有下述形式的伏雷内公式：a a =k krn,n =k kra a .返回章首现在学习的是第11页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-相对曲率计算公式相对曲率计算公式3/22.1()ryyk3/222.()()rx yx yxyk 如果曲线由如果曲线由 y=y(x)给出，则相对曲率为给出，则相对曲率为kr =x y y x ；特别地，当用自然参数时，特别地，当用自然参数时，相对曲率为相对曲率为定理定理.在一般参数下，相对曲率为在一般参数下，相对曲率为返回章首现在学习的是第12页，共35页1求曲线求曲线 x=t2,y=t3 的相对曲率的相对曲率2求曲线求曲线 y=2px

9、2 的相对曲率的相对曲率练习题练习题返回章首现在学习的是第13页，共35页2.1 平面曲线平面曲线-在一点附近的结构在一点附近的结构 设曲线设曲线 C:r=r(s)则则 当当 k k(s)不为不为 0 时，曲线近似于抛物线时，曲线近似于抛物线 当当 k k(s)=0，但但 k k (s)不为不为 0 时，曲线近似时，曲线近似于一条近似立方抛物线（于一条近似立方抛物线（看证明看证明）返回章首现在学习的是第14页，共35页2.2空间曲线空间曲线 内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺

10、旋线等面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用切平面方程、伏雷内公式的应用返回章首现在学习的是第15页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-密切平面密切平面 过曲线过曲线 C 上一点上一点 P 处的切线和曲线上位于处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点点附近的另一点 Q 作一平面作一平面 s s(Q)当当 Q 沿曲线趋向于沿曲线趋向于 P 时时 s s(Q)的极限位置的极限位置 s s 称称为曲线为曲线 C 在在 P 点的点的密切平面密切平面 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线过曲线上一点可以作无数切平面（通过切

11、线的平面），而密切平面则是在的平面），而密切平面则是在 P 点附近最点附近最贴近于曲线的平面贴近于曲线的平面 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面线有无穷多个密切平面返回章首现在学习的是第16页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-密切平面方程密切平面方程000000000()()()()()()0.()()()Xx tYy tZz tx ty tz tx ty tz t用坐标把密切平面方程表示为：用坐标把密切平面方程表示为：(R r(t0),r(t0),r(t

12、0)=0.设曲线设曲线 C:r=(x(t),y(t),z(t)是光滑的，是光滑的，P 是曲线是曲线上一点，其参数是上一点，其参数是 t0设设 R=(X,Y,Z)是是 P 点的密点的密切平面上任意一点，则密切平面方程为：切平面上任意一点，则密切平面方程为：返回章首现在学习的是第17页，共35页例例.求螺旋线求螺旋线 r=(cost,sint,t)在点在点 P(1,0,0)处的密切平面方程处的密切平面方程解解：直接计算得直接计算得r(t)=(sint,cost,1),r(t)=(cost,sint,0).在给定点在给定点 P 处的参数处的参数 t=0，所以有所以有 r(0)=(1,0,0)，r(0

13、)=(0,1,1)，r(0)=(1,0,0)代入密切平面方程并整理得代入密切平面方程并整理得 Y+Z=02.2 空间曲线空间曲线-例子返回章首现在学习的是第18页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-基本向量与伏雷内标架基本向量与伏雷内标架 设有空间曲线设有空间曲线 C:r=r(s)，s 是弧长参数是弧长参数 单位单位切向量切向量 a a=r 单位单位主法向量主法向量 b b =a a /|a a|（设（设 r 不为零）不为零）单位单位副法向量副法向量 g g =a ab b 曲线曲线 C 的的伏雷内标架伏雷内标架 r;a a ,b b ,g g Ca ab bg grO返回章首伏雷内伏雷内标架

14、标架现在学习的是第19页，共35页法法密切密切从切从切CPb ba ag g主法向量和副法向量决定的平面是主法向量和副法向量决定的平面是法平面法平面切向量和副法向量决定的平面叫切向量和副法向量决定的平面叫从切平面从切平面切向量和主法向量决定的平面就是切向量和主法向量决定的平面就是密切平面密切平面2.2 空间曲线空间曲线-三棱锥三棱锥返回章首现在学习的是第20页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-基本向量的计算公式基本向量的计算公式 设设 C:r=r(t)由一般参数给出，则三个基本由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为向量的计算公式为 a a =r/|r|,g g =(r r)/|r r|,

15、b b =g g a a .返回章首现在学习的是第21页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-例子例子 例例.求螺旋线求螺旋线 r=(cost,sint,t)在点在点 P(1,0,0)处的三个基本向量处的三个基本向量解解：直接计算得直接计算得r(t)=(sint,cost,1),r(t)=(cost,sint,0).在给定点在给定点 P 处的参数处的参数 t=0，所以有所以有 r(0)=(0,1,1)，r(0)=(1,0,0)代入上面的基本向量计算公式得代入上面的基本向量计算公式得 11(0,1,1),(1,0,0),(0,1,1).22 返回章首现在学习的是第22页，共35页练习题练习题1求曲

16、线求曲线 x=acost,y=bsint,z=et 在在 t=0 点点的切线、主法线、副法线、密切平面、从的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方程切平面与法平面方程2证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关关返回章首现在学习的是第23页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-曲率与挠率曲率与挠率设设 C:r=r(s)是空间曲线，称是空间曲线，称 k k (s)=|a a (s)|为曲为曲线线 C 在点在点 r(s)处的处的曲率曲率，而而 a a 叫叫曲率向量曲率向量空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻画扭空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻画扭转的程度，

17、我们引进挠率的概念转的程度，我们引进挠率的概念我们把我们把 t t 叫曲线的叫曲线的挠率挠率，这里这里|,0;|,0.t 返回章首现在学习的是第24页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-伏雷内公式伏雷内公式 定理.（伏雷内公式）a a =kb b,b b =ka a +tg g,g g =tb b.返回章首现在学习的是第25页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-曲率与挠率计算公式曲率与挠率计算公式2(,).|t r r rrr挠率：挠率：3|.|krrr曲率：曲率：用一般参数表示的曲率与挠率计算公式用一般参数表示的曲率与挠率计算公式返回章首现在学习的是第26页，共35页2.2 空间曲线空间曲线

18、-曲率与挠率为零的曲线曲率与挠率为零的曲线 曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线线 曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线面曲线返回章首现在学习的是第27页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-曲率和挠率计算举例曲率和挠率计算举例 解解：直接计算得：直接计算得：r=(asinq q,acosq q,b),r=(acosq q,asinq q,0),r=(asinq q,acosq q,0),|r|=(a2+b2),rr=(absinq q,abcosq q,a2),|rr|=(a2b2+a4)1/2,(r,r,r)=a

19、2b,所以有所以有 k k=a/(a2+b2),t t=b/(a2+b2).例例：求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 r=(acosq q,asinq q,bq q)的曲率和的曲率和挠率挠率返回章首现在学习的是第28页，共35页练习题练习题1求曲线求曲线 r(t)=(acosht,asinht,at)的曲率和挠的曲率和挠率，这里率，这里 a 02求曲线求曲线 r(t)=(a(3t t3),3at2,a(3t+t3)的曲的曲率和挠率，这里率和挠率，这里 a 03求求 a、b，使曲线，使曲线 r(t)=(acosht,asinht,bt)上上每一点的曲率和挠率相等每一点的曲率和挠率相等返回章首现在学习的是第

20、29页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-一般螺旋线一般螺旋线定理定理.设有曲线设有曲线 C:r=r(s)，（假定，（假定 kt kt 0）则下列条件等价：则下列条件等价：C 是一般螺线；是一般螺线；C 的主法向量与固定方向垂直；的主法向量与固定方向垂直；C 的副法向量与固定方向成定角；的副法向量与固定方向成定角；C 的曲率与挠率之比是常数的曲率与挠率之比是常数如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为该曲线为一般螺线一般螺线看证明看证明返回章首现在学习的是第30页，共35页证证：由伏雷内公式得由伏雷内公式得 r =a a =k kb b，r =(k

21、kb b )=k k 2 a a +k k b b +k k t t g g ,r =3k k k k a a +(k k k k 3 k k t t 2)b b +(k k t t )+t t k k )g g .所以，所以，(r ,r ,r )=k k 5 (t t /k k ),由此即得结论由此即得结论例例.曲线曲线 r=r(s)是一般螺线的充分必要条件是是一般螺线的充分必要条件是(r,r,r )=02.2 空间曲线空间曲线-例子返回章首现在学习的是第31页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-曲线在一点附近的结构曲线在一点附近的结构 空间曲线在一点附近的形状（设空间曲线在一点附近的形状（

22、设 ktkt 0）：在法平面上的投影为半立方抛物线；在法平面上的投影为半立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在从切平面上的投影为立方抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；在密切平面上的投影为抛物线；从不穿过从切平面；从不穿过从切平面；b b 总是指向凹入的方向总是指向凹入的方向a ab bg g返回章首现在学习的是第32页，共35页a ab bg gg ga ab ba ag gb b法平法平面面从从切切平平面面密切平面密切平面2.2 空间曲线空间曲线-曲线在一点附近的结构曲线在一点附近的结构现在学习的是第33页，共35页练习题练习题1求曲线求曲线 x=et cost,y=et sint

23、,z=et 在在 t=0 处的切线方程处的切线方程2求曲线求曲线 x=t,y=t2,z=t3 经过已知点经过已知点 M0(2,1/3,6)的密切平面方程的密切平面方程.返回章首现在学习的是第34页，共35页2.2 空间曲线空间曲线-基本定理（唯一性）基本定理（唯一性）定理定理.（唯一性唯一性）设设 C:r=r(s)与与 C0:r0=r0(s)是两条正则的空间曲线（是两条正则的空间曲线（s 属于区间属于区间 I 是曲线是曲线 C 的弧长参数）如果对区间的弧长参数）如果对区间 I 中的每个中的每个 s，有，有 k k (s)=k k0(s)，t t (s)=t t0(s)，那么，存在一个等距变换那么，存在一个等距变换 T:R3R3，使，使 r0=T r，并且，并且 T 所对应的正交矩阵所对应的正交矩阵 T 的的行列式为行列式为 +1，也就是说这样的两条曲线可也就是说这样的两条曲线可以经过一个运动使它们重合以经过一个运动使它们重合返回章首现在学习的是第35页，共35页