椭圆的定义及性质.ppt

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1、关于椭圆的定义及性质现在学习的是第1页，共89页ABPPPPP|PA|+|PB|=500|AB|=200现在学习的是第2页，共89页现在学习的是第3页，共89页F1P(x,y)yoF2x12222byax现在学习的是第4页，共89页12222aybx现在学习的是第5页，共89页椭圆的标准方程椭圆的标准方程分类图示焦点坐标共性F1(-c,0)F2(c,0)长轴长:2a短轴长:2b焦距:2c (a2=b2+c2）F1(0,-c)F2(0,c)12222aybx12222byax现在学习的是第6页，共89页椭圆的几何性质椭圆的几何性质:()1.范围范围:|x|a|y|b 椭圆位于直线椭圆位于直线x=

2、a 和直线和直线y=b所围成的所围成的矩形区域内矩形区域内2.对称性：对称性：关于关于x轴和轴和y轴对称，轴对称，也关于原点中心对称也关于原点中心对称12222byaxF1oF2xA1A2B2B1现在学习的是第7页，共89页椭圆的几何性质椭圆的几何性质:()F1oF2x12222byaxA1A2B2B13.顶点和长短轴：顶点和长短轴：长轴：长轴：A1A2 短轴：短轴：B1B2 顶点：顶点：A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)4.离心率：离心率：ace 现在学习的是第8页，共89页椭圆的第二定义椭圆的第二定义:已知点已知点M(x,y)到定到定点点F(c,0)的距离和它到定

3、直线的距离和它到定直线 的的距离的比为常数距离的比为常数 (ac0)，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程cax2acM(x,y)oFx(这个方程是椭圆的一个标准方程，称这个定点F是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线，比值叫这个椭圆的离心率)现在学习的是第9页，共89页caxl2:M(x,y)oF2x结论：椭圆有两条和它的结论：椭圆有两条和它的 两个焦点相对应的准线两个焦点相对应的准线F1caxl2:现在学习的是第10页，共89页结论：椭圆有两条和它的两结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线个焦点相对应的准线12222aybxF1yoF2x与F2对应的准线方程：与F1对应的准线方程：cay

4、l2:cayl2:现在学习的是第11页，共89页例例1：求椭圆：求椭圆4x2+y2=2的准线方程的准线方程椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上，轴上，且且a2=2,b2=0.5,c2=1.5椭圆的两条准线方程为椭圆的两条准线方程为解：由已知有椭圆的标准方程为122122yx3622322cay现在学习的是第12页，共89页 ex1:椭圆的一个焦点到相应准椭圆的一个焦点到相应准 线的距离为线的距离为 ，离心率为，离心率为 ，则椭圆的短轴长为多少？则椭圆的短轴长为多少？4532现在学习的是第13页，共89页 eg1:椭圆椭圆9x2+25y2-225=0上一上一点到左准线的距离为点到左准线的距离为2.5,

5、则则P到到右焦点的距离是右焦点的距离是()(A)8 (B)(c)7.5 (D)7825椭圆的性质的应用：现在学习的是第14页，共89页 eg2:椭圆椭圆 的右焦点为的右焦点为F，设点设点A ,P是椭圆上一动点，是椭圆上一动点，求使求使 取得最小值时的取得最小值时的P的坐标，并求出这个最小值的坐标，并求出这个最小值14522yx)3,25(|5|PFAP现在学习的是第15页，共89页问题：平面内到两个定点问题：平面内到两个定点F1，F2的距离的差的距离的差是定值是定值|PF1|-|PF2|=2a的点的点P的轨迹是什么？的轨迹是什么？(1)若这个定值为若这个定值为0，它表示什么？，它表示什么？(2

6、)若这个定值若这个定值=|F1F2|，它表示什么？，它表示什么？(3)若这个定值若这个定值|F1F2|，它表示什么？，它表示什么？(4)若这个定值非零且若这个定值非零且|F1F2|不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边F1F2P现在学习的是第19页，共89页 理想化的问题：理想化的问题：一个出租汽车司机想从一个出租汽车司机想从A地点送一个乘地点送一个乘客到达目的地后，然后返回客到达目的地后，然后返回B点的家，点的家，已知已知A、B两点的距离为两点的距离为20公里假设司公里假设司机送客和返回家都是直线行驶，假设汽机送客和返回家都是直线行驶，假设汽车每

7、车每行驶行驶一公里耗费一元，乘客每一公里耗费一元，乘客每乘坐乘坐一公里付费二元，请问这个司机怎样一公里付费二元，请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地，他才可能至考虑接受乘客的目的地，他才可能至少能收益少能收益15元？元？（假设不考虑职业道德）现在学习的是第20页，共89页分析：为了把问题简单化，我们先研究 司机刚好只收益15元的情形AB(目的地)2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15（注意:|PA|-|PB|=1515时呢？现在学习的是第22页，共89页定义：平面内与两个定点定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的距离的差的的绝对值绝对值等于常数等于常数2a(|F1F

8、2|)的点的轨迹的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线。这两个定点F1、F2叫做双曲线叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距距2c。(oa0,则有：则有：和和 有公共的焦点，它们的有公共的焦点，它们的实轴长实轴长和和虚虚轴长轴长正好对换正好对换 和和 有公共的渐进线，它们的有公共的渐进线，它们的实轴实轴和和虚轴虚轴正好对换。我们称它们为共轭双曲线正好对换。我们称它们为共轭双曲线12222nymx12222mynx12222nymx12222mxny现在学习的是第33页，共89页例例4：请判断以下方程表示什么样的：请判断以下方程表示什么样的曲线？并指

9、出它们的焦点在哪个坐标曲线？并指出它们的焦点在哪个坐标轴上。轴上。13922kykx现在学习的是第34页，共89页双曲线的渐近线方程练习：双曲线的渐近线方程练习：例例5.求出下列双曲线的渐近线的方程。求出下列双曲线的渐近线的方程。12422yx14222xy369422 yx现在学习的是第35页，共89页与双曲线的渐近线有关的结论：与双曲线的渐近线有关的结论：(1)求双曲线求双曲线 的渐近线方的渐近线方程时，只需将上式右边的程时，只需将上式右边的1换成换成0即可即可(2)双曲线双曲线 表示任意以表示任意以 为渐近线的双曲线系为渐近线的双曲线系 (k0)12222byaxkbyax2222022

10、22byax现在学习的是第36页，共89页双曲线的渐近线方程：双曲线的渐近线方程：12222byaxxaby现在学习的是第37页，共89页例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴，例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴，有一条渐近线方程为有一条渐近线方程为2x+3y=0,并且过定点并且过定点(2,2)求这个双曲线的方程求这个双曲线的方程.(2,2)现在学习的是第38页，共89页解法一：如图解法一：如图,双曲线的两条渐近线把坐标双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分，点平面分成四部分，点(2,2)刚好在上部分，故刚好在上部分，故有这条双曲线的焦点在有这条双曲线的焦点在y轴上，设它的标轴上，设它

11、的标准方程为准方程为12222bxay现在学习的是第39页，共89页由 双 曲 线 的 标 准 方 程 为由 双 曲 线 的 标 准 方 程 为知它的渐近线方程为：知它的渐近线方程为：12222bxayxxbay32ab23得现在学习的是第40页，共89页又已知点又已知点(2，2)在双曲线上，则有：在双曲线上，则有：14422baab23解得：9202a52b故所求的双曲线的方程为：1592022xy现在学习的是第41页，共89页解解2：据题意：双曲线的渐近线方程为：据题意：双曲线的渐近线方程为：xy32即032xykxy22)3()2(不妨设所求的双曲线的方程为：将点(2,2)的坐标代入上式

12、：95)32()22(22k故所求的双曲线的方程为：1592022xy现在学习的是第42页，共89页证明：双曲线证明：双曲线 上任一点上任一点到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这个定值。个定值。证明：由已知，它的渐近线方程为证明：由已知，它的渐近线方程为12222byax0byax它们的标准方程为 bxay=0设(x0,y0)是双曲线上的任意一点，则有：222222220222002200|cbabayaxbbaaybxbaaybx现在学习的是第43页，共89页.p示意：如图，过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M、N，则有：MN222|cbaPNP

13、M现在学习的是第44页，共89页问题：|PM|+|PN|有最值吗？何时有，是多少？.pMN222|cbaPNPM现在学习的是第45页，共89页已知双曲线已知双曲线 右支上一点右支上一点P到它的右焦点的距离为到它的右焦点的距离为10，则，则P到双曲线的左准线的距离是多少？到双曲线的左准线的距离是多少？.P(x,y)F2F1xyMN1366422yx现在学习的是第46页，共89页回顾回顾:椭圆的焦点半经公式及求法：椭圆的焦点半经公式及求法：12222bxay(2)设P(x,y)是椭圆 上的任意一点，则|PF1|和|PF2|的值为aey12222byax(1)设P(x,y)是椭圆 上的任意一点，则|

14、PF1|和|PF2|的值为aex现在学习的是第47页，共89页.F1F2.P(x,y)MN分析：如图，过点P向两准线引垂线交两准线于点M、N，根据双曲线的第二定义：exaaccaxePMPF)(|21现在学习的是第48页，共89页.F1F2.P(x,y)MNexaacxcaePNPF)(|22同理：现在学习的是第49页，共89页同理：当焦点在y轴上时：.F1F2.P(x,y)MNxy|PF1|=a+ey|PF2|=a-ey现在学习的是第50页，共89页如下图提示：你能推出焦点在如下图提示：你能推出焦点在x轴轴上的双曲线的焦半经公式吗？上的双曲线的焦半经公式吗？.P(x,y)F2F1xyMN现在

15、学习的是第51页，共89页若它的焦点在若它的焦点在x轴上，则有轴上，则有|PF1|、|PF2|为为exa若它的焦点在y轴上呢？则有|PF1|、|PF2|为eya现在学习的是第52页，共89页双曲线中三角形PF1F2中的边和角.P(x,y)F2F1xy正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系。现在学习的是第53页，共89页.P(x,y)F2F1xy1221,FPFFPF不妨设现在学习的是第54页，共89页(1)余弦定理：.P(x,y)F2F1xy)cos(|2|212221221PFPFPFPFFF)cos(|2|212221PFPFPFPF)cos(1|2|)|(|212

16、21PFPFPFPF现在学习的是第55页，共89页(2)正弦定理：.P(x,y)F2F1xy)sin(|sin|sin|2121FFPFPF)sin(|sinsin|2121FFPFPF即现在学习的是第56页，共89页(3)三角形的面积公式：.P(x,y)F2F1xy)sin(|212121PFPFSFPF现在学习的是第57页，共89页实例1：点P是双曲线 上的一点，F1、F2是焦点，,求 的面积1366422yx321 PFF21FPF.pF1F2xy现在学习的是第58页，共89页圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义平面内到定点的距离和到定直线的距离的比是平面内到定点的距离和到定直线的距离的

17、比是定值定值e的点的轨迹是：的点的轨迹是：(1)当当0e1 时表示一个双曲线时表示一个双曲线(3)当当 e=1 时表示什么呢？时表示什么呢？平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线的轨迹叫抛物线至此，椭圆、双曲线、抛物线的定义就统一起至此，椭圆、双曲线、抛物线的定义就统一起来了，这三种曲线统称为圆锥曲线。来了，这三种曲线统称为圆锥曲线。现在学习的是第59页，共89页 平面内到定点的距离和它到定直线的距平面内到定点的距离和它到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线离相等的点的轨迹叫抛物线抛物线的标准方程：以后我们约定这个定点到定直线的距离为P.F

18、LK讨论：怎样建立坐标系所得方程简单？现在学习的是第60页，共89页建系方式一：以后我们约定这个定点到定直线的距离为P.FLK讨论：怎样建立坐标系所得方程简单？Oxy如图：以过焦点且垂直于准线的直线为x轴，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。则F点的坐标为 准线的方程为)0,2(pF2:pxl现在学习的是第61页，共89页.FLKOxy设点M(x,y)是所求的曲线上的任意一点，过点M作MD垂直直线L交L于点D，则有根据定义有：|MD|=|MF|.M(x,y)D22)2(|)2(|ypxpxpxy22它叫抛物线的一种标准方程它的焦点坐标和准线方程是？现在学习的是第62页，共89页抛物线

19、的标准方程有四种：pxy22pxy22pyx22pyx22请分别画出它们的草图，并指出它们的焦点坐标、准线方程你还记得上式中P的几何含义吗？现在学习的是第63页，共89页.FLKOxypxy22焦点的坐标为：)0,2(pF2:pxl准线的方程为.M(x,y)D现在学习的是第64页，共89页.FLKOxypxy22焦点的坐标为：)0,2(pF 2:pxl准线的方程为.M(x,y)D现在学习的是第65页，共89页pyx22焦点的坐标为：)2,0(pF2:pyl准线的方程为.FLKOxy.M(x,y)D现在学习的是第66页，共89页pyx22焦点的坐标为：)2,0(pF2:pyl准线的方程为.FLK

20、Oxy.M(x,y)D现在学习的是第67页，共89页例1:(1)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求它的标准方程.FLKOxy现在学习的是第68页，共89页(2)已知抛物线的标准方程为已知抛物线的标准方程为 y=x2,求求它的焦点坐标和准线方程它的焦点坐标和准线方程.FLKOxy现在学习的是第69页，共89页例例2：探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的：探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口的直经为一部分，灯口的直经为60cm，灯深为，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置。求抛物线的标准方程和焦点的位置。.FOxyAB现在学习的是第70页，共89页抛物线的几何性质：抛物线的几

21、何性质：(1)范围：范围：(一一)(二二)(三三)(四四)(2)对称轴及顶点对称轴及顶点(一一)(二二)(三三)(四四)(3)离心率离心率 抛物线的离心率恒为抛物线的离心率恒为1现在学习的是第71页，共89页抛物线的焦半径公式抛物线的焦半径公式:(一)(二)(三)(四)设M(x,y)是以下抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，则焦半经EF的长度为：当抛物线的方程为y2=2px时,则|MF|=2px当抛物线的方程为y2=-2px时,则|MF|=2px 当抛物线的方程为x2=2py时,则|MF|=2py当抛物线的方程为x2=-2py时,则|MF|=2py 现在学习的是第72页，共89页例例3：过抛

22、物线：过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任意作一条任意作一条直线交抛物线于直线交抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以A、B为直经的圆和这个抛物线的准线相切。为直经的圆和这个抛物线的准线相切。.FLKOxyABM现在学习的是第73页，共89页过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F的弦长公式：设的弦长公式：设直线直线AB与抛物线的对称轴的夹角为与抛物线的对称轴的夹角为，则则有有.FOxyAB2sin2|pAB 现在学习的是第74页，共89页特殊情形：当=90，即AB和对称轴垂直时：.FOBA|AB|=2|AF|=2p2sin2|pAB 符合此时称线段AB为抛物线的通经现在学习的是第75页

23、，共89页x.FOyBA设直线AB的斜率为k(k0),则直线的点斜式方程为)2(pxky联立方程：pxy22)2(pxky04)2(22222pkpxkxkpkkxx222124221pxx|1|212xxkAB2122124)(1xxxxk现在学习的是第76页，共89页2222221|ppkkkABx.FOyBA2212kkp2212tgtgp222sin2sec2ptgp现在学习的是第77页，共89页x.FOyBA还有新的方法：设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)1212pxy2222pxy两式相减得：)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyyk|B

24、FAFAB又pxxpxpx212122现在学习的是第78页，共89页|BFAFAB又pxxpxpx21212222222212222kkppkkPpkkx.FOyBA现在学习的是第79页，共89页例例4：过抛物线：过抛物线y2=2px的焦点的一条的焦点的一条直线与抛物线的两个交点的横坐标分直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是别是x1、x2,纵坐标分别是纵坐标分别是y1、y2,求证求证:4)1(221pxx221)2(pyyx.FOyBA分析：当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时。现在学习的是第80页，共89页例例5：PQ是过抛物线的焦点的一条弦，通是过抛物线的焦点的一条弦，通过点过点P和抛

25、物线的顶点的直线交准线于点和抛物线的顶点的直线交准线于点M，求证：直线求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.FOyQPM分析：不妨设抛物线的标准方程为y2=2px设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为2p下面只需证：ym=y2(x2,y2),而且易知点M的横坐标为现在学习的是第81页，共89页x.FOyQPM解：不妨设抛物线的标准方程为y2=2px设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为2p(x2,y2),而且易知点M的横坐标为设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为)2(pxky联立方程：pxy22)2(pxky)2(22pkypy0222pykpy221pyy现在学

26、习的是第82页，共89页又因为点又因为点P、O、M在一条直线上，则有：在一条直线上，则有：2000011pyxyxyMMMx.FOyQPM1212pxy又OPkypxy111212ypyM得由221pyyym=y2即MP垂直于这条抛物线的对称轴现在学习的是第83页，共89页测试：测试：(1)求过点求过点A(-2,-4)的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程(2)过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6,求|AB|的长。现在学习的是第84页，共89页直线和抛物线的交点的个数：直线和抛物线的交点的个数：请你讨论一下过点请你讨论一下过点(-1,

27、0)的直线和抛物线的直线和抛物线y2=6x的交点个数，并得出相应的结论所对应的直的交点个数，并得出相应的结论所对应的直线的斜率的范围线的斜率的范围x.FOy现在学习的是第85页，共89页讨论双曲线讨论双曲线 和直线和直线y=kx+m(k0)的交点的个数，的交点的个数，（利用图形和解析式的结合）（利用图形和解析式的结合）12222byax现在学习的是第86页，共89页mkxybayaxb0222222现在学习的是第87页，共89页思考：直线思考：直线 l与椭圆相交于与椭圆相交于P、Q两点，且线段两点，且线段PQ的中点的中点为为M，如下图试用这，如下图试用这P、Q点的坐标表示点的坐标表示(1)直线直线l的斜率的斜率k，(2)直线直线OM的斜率的斜率kOM(3)|PQ|oxM(x0,y0)Q(x2,y2)P(x1,y1)y现在学习的是第88页，共89页感谢大家观看现在学习的是第89页，共89页