概率与数理统计ppt.ppt

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1、关于概率与数理统计PPT现在学习的是第1页，共33页 二 二维随机变量的分布 1 二维随机变量的联合分布定义2.5 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意的x，y，二元函数 F(x,y)=p(Xx,Yy)称为（X，Y）的分布函数。或称为 X与Y的联合分布函数 联合分布函数的几何含义：联合分布函数在点(x,y)处的函数值F(x,y)就表示随机点落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域(u x,x1时，F(x2,y)F(x1,y)对任意固定的 x，当 y2 y1时，F(x,y2)F(x,y1)现在学习的是第2页，共33页oxx1 x2 yy1 y2 (2)对任意的 x 和 y 都有：0 F(x,

2、y)10 )y,x()y,(limxFF0 )y,x(),x(limyFF1 )y,x(),(limyxFF(x,y)xyo (3)对 x 和 y，F(x,y)都是右连续的 (4)当 x1 x2，y1 y2 时，有 P(x1X x2,y1 0，则 2 1 ,|2,ipp)yYyYxyYxX)(jijjjiji P()X P()P(称为在Y=y j 条件下随机变量X的条件分布（或条件概率函数）同样，对于固定的 i，若 P(X=x i)0，则 2 1 ,1,jpp)xXyYxXxXyY)(iijijiij P()P()|P(称为在X=x i 条件下随机变量Y的条件分布（或条件概率函数）现在学习的是

3、第11页，共33页)XYXXY21,22|1 P()P()P(在 X=2的条件下,Y的条件分布为：=1/3例：（X,Y）的联合概率分布11YX01/121/61/61/61/6 1/1201/62332P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2 在Y=1时,X 的条件分布解：1 P(Y|X=2)Y 1/31/31/332)XYXXY22,22|2 P()P()P(=1/3)XYXXY23,22|3 P()P()P(=1/3求：在X=2时,Y 的条件分布 在Y=1的条件下,X的条件分布为1 P(X|Y=1)X 2/31/30324 随机变量X,Y的独立性离散型随机变量X,Y 独立的充要条件是对

4、一切 i,j=1,2,都有 pi j =pi（1）pj（2）如上例：随机变量 X,Y不相互独立。即：P(X=x i,Y=y j)=P(X=x i)P(Y=y j)(i,j=1,2,)因：P(X=1,Y=1)=0P(X=1)=1/4,P(Y=1)=1/4 P(X=1,Y=1)P(X=1)P(Y=1)现在学习的是第12页，共33页现在学习的是第13页，共33页定义2.7：设二维随机向量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)。如果存在非负可积函数 f(x,y)，使得2.6.3 二维连续型随机变量则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，或简称联合密度。x-y-d

5、xdy)y,x(fyx,)(F1 联合密度函数l 二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1)f(x,y)0 x,y R(2)1 -xoydxdy)y,x(fdxdy)y,x(f平平面面)y,x(fyx )(Fxy,现在学习的是第14页，共33页 ba)x()x(Gdy)y,x(fdxdxdy)y,x(fYX2 1 )(G,P给出联合密度 f(x,y)后，事件(X,Y)G的概率都可用二重积分表示，然后化为累次积分计算 OxyabG 1(x)2(x)当 G 为长方形时，badcdx)y,x(fdxdYcbXa)(,POxyabGcd将“”改为“”上式仍然成立。例：(均匀分布)设二维随机向量(X,

6、Y)具有概率密度：f(x,y)=c,(x,y)G 0,其他求：常数 c 解 平平面面xoydxdy)y,x(f Gdxdy)y,x(f Gcdxdy1 GcSGSc1 现在学习的是第15页，共33页例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：f(x,y)=ce-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他求：(1)常数 c;(2)联合分布函数 F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。解19131310303003003 ccdyedxecdyedxcdxdycedxdy)y,x(fyx)yx()yx(OxyG11x+y=1c=9 xydudv)v,u(fy,x)F(

7、xy)vu(dudve003 9(2)当 0 x +,0 y +时)F(y,x xy)vu(dvedu003 9当 x,y 不都大于0 时0 xydudv)v,u(fy,x)F(=yxeeyx0 ,0 ,)1)(1(33其其他他 ,0)F(y,x)e)(e(yx3311 xyvudvedue003 3 33(x,y)xyo现在学习的是第16页，共33页 dxdy)y,x(fY,XGGP)(求：(1)常数 c;(2)联合分布函数 F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：f(x,y)=ce-3(x+y),0 x +,0 y +

8、0,其他解：(3)dyedx)yx(39 1033313103413313edx)ee(dxeex)x(xOxy1y=1-x1x1-x 0 0 1 现在学习的是第17页，共33页 设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为 f(x,y)，则其边缘分布函数为 dtds)t,s(f)yY,X()y(yY PF)Y,xX()x(X PF dsdt)t,s(fx若记 dy)y,x(f)x(fX则显然 fX(x)0，并且对任意实数 x，都有f X(x)是 X的密度函数，称 fX(x)是(X,Y)关于X 的边缘密度函数。xXXds)s(f)x(F 把 dx)y,x(f)y(fY称为(X,Y)关于Y的边缘密度

9、函数。2 边缘密度函数求：边缘密度函数 例：设(X,Y)具有概率密度：f(x,y)=9e-3(x+y),0 x，y 0时 dy)y,x(f)x(fX 039dye)yx(03333dyeeyxxe33 fX(x)=3e-3x,0 x +0,其他 fY(y)=3e-3y,0 y R时 dy)y,x(f)x(fX当 x R时 dy)y,x(f)x(fX 222221xRxRdyR 2222RxR )x(fXRxRxR2222 0 x R)y(fYRyRyR2222 0 y R现在学习的是第19页，共33页 二维正态分布 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度为)y()y)(x()x()(e)y,

10、x(f2222 212 1 2121 22121 221121 其中 1,2,10,20,|1均为常数，则称(X,Y)服从参数为 1,2,1,2,的二维正态分布，记作(X,Y)N(1,2,12,22,)。可求出边缘密度函数为：2121 2)(121),()(xedyyxfxfX2222 2)(221),()(yedxyxfyfY表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。X N(1,12)Y N(2,22)现在学习的是第20页，共33页)y(f)y(f)y,x(f)y|x(fYY0(称为在Y=y 条件下X 的条件分布（或条件密度函数）。3 条件密度函数)x(f)x(f)y,x(f)x|y(fX

11、X0(称为在X=x 条件下Y的条件分布（或条件密度函数）。设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为 f(x,y)，边缘密度函数为fX(x),fY(y)现在学习的是第21页，共33页解：RxRRx ,2222 0 其他)(xfX例：设(X,Y)f(x,y)=2222 1RyxR求：条件密度函数 f(x|y)，f(y|x)0 其他RyRRy ,2222)(yfY 0 其他对于满足 y 0，则：)y(f)y,x(f)y|x(fY 0 其他222222 ,21yRxyRyR )(),()|(xfyxfxyfX 0 其他222222 ,21xRyxRxR对于满足 x 0，则：现在学习的是第22页，共33

12、页4 连续型随机变量的独立性 设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为 f(x,y)，边缘密度函数为fX(x),fY(y)，若f(x,y)=fX(x)fY(y)，则X,Y独立例：设(X,Y)f(x,y)=2222 1RyxR判断X，Y是否独立 0 其他解：RxRRx ,2222 0 其他)(xfXRyRRy ,2222)(yfY 0 其他f(x,y)fX(x)fY(y)，则X，Y不独立例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：f(x,y)=9e-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他 fX(x)=3e-3x,0 x +0,其他 fY(y)=3e-3y,0 y +0,其他f(x,y)=fX

13、(x)fY(y)，则X,Y独立现在学习的是第23页，共33页例：因为随机变量 X 与 Y 独立，所以对任意实数 x,y 都有设随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，其密度函数为求：(X,Y)的联合密度函数。21212)(121)(xexfX22222)(221)(yeyfY解：)()(21 212)(22)(12222212122222121 212121)()(),(yxyxeeeyfxfyxfYX (X,Y)N(1,2,12,22,0)此例说明：若X N(1,12)，Y N(2,22)，且X 与Y 独立，则(X,Y)N(1,2,12,22,0)；若(X,Y)N(1,2,12,22,

14、0)，则X 与Y 独立。所以，二维正态随机变量 X 与Y 独立的充要条件是 =0。现在学习的是第24页，共33页2.6.5 二维随机变量函数的分布 若存在二元函数 z=g(x,y)，使得对二维随机变量(X,Y)的每一取值(x,y)，随机变量Z 的相应取值为 z=g(x,y)，则称随机变量Z是随机变量(X,Y)的函数，记作Z=g(X,Y)。由(X,Y)的分布求出 Z=g(X,Y)的分布呢？例：Z=X+Y结论：当随机变量 X 与 Y 独立，边缘分布唯一确定联合分布.定理2.3)y(f)x(f)y,x(fYX 当随机变量 X 与 Y 独立，则g(X)与h(Y)独立.现在学习的是第25页，共33页 例

15、：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量 X 与 Y 分别表示其长与宽的测量值。已知(X,Y)的联合分布如表 6，求土地的面积 Z 的概率函数。因为 Z=XY，所以 Z 的可能取值是 20,20.4,21,21.42。解：于是，Z 的概率函数如表 7 所示。20 20.4 21 21.420.2 0.3 0.4 0.1ZP表7 P(Z=20)=P(X=5,Y=4)=0.2 Y X5 4 4.20.2 0.4表65.1 0.3 0.1 P(Z=20.4)=P(X=5.1,Y=4)=0.3 P(Z=21)=P(X=5,Y=4.2)=0.4 P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.1

16、1 二维离散型随机变量函数的分布现在学习的是第26页，共33页 例：已知(X,Y)的联合分布如表 求Z=X+Y 的概率函数。因为 Z=X+Y，所以Z 的可能取值是 1,2,3,4,5解：于是，Z 的概率函数如表所示。1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZP表7 P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232 P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.15+0.1+0.02=0.

17、27 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38 P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=0现在学习的是第27页，共33页 例：若随机变量 X 与 Y 相互独立，它们都取非负整数值，概率函数分别为 P(X=k)=a k (k=0,1,2,)P(Y=k)=b k (k=0,1,2,)求 Z=X+Y 的概率函数。解：)ir,i(),r()r,()r,()r(ri 0 1 1 00YXYXYXYXZ),()(0 irirri YXPZP)ir()i(ri 0 YPXP(r=0,1,2,)此即求独立离散型随机变量和的分布的公式，称为离散型独立随机变量和的卷积公式，

18、亦称为褶积公式。=a 0br+a 1br-1+a r b0现在学习的是第28页，共33页 例：设随机变量 X 与 Y 相互独立，XB(n,p)，YB(m,p)求 Z=X+Y 的分布。因为 XB(n,p)，YB(m,p)，所以有解：所以，Z=X+Y B(n+m,p)niqpCiXPiniin,2 ,1 ,0 ,)(mn,r,qpCCCqpqpCqpC)irY,iX(P)rZ(Prmnrrmnririirminrmnrirmirirminiinri 2 1 0 000 mjqpCjYPjmjjm,2 ,1 ,0 ,)(特别当X,Y独立,且 X B(1,p),Y B(1,p)，即服从同一0-1分布。

19、则X+Y B(2,p)。结论：(97页)相互独立的服从同一0-1分布的随机变量的和服从 二项分布。现在学习的是第29页，共33页例：设 XP(1)与 YP(2)，且 X 与 Y 独立 求 Z=X+Y的概率函数。由于泊松分布的随机变量 X 与 Y 可取所有非负整数，故其和Z=X+Y 也只取所有非负整数。对任一非负整数 r，有：解：这是参数为 1+2 的泊松分布。即 Z=X+YP(1+2)。riri)ir(P)i()ir,i()r(00 YXPYXPZP2102 1 2 1 2 1 2102 1 2 0 1 ,re!r)(!re)!ir(!i!r)e)!ir()e!i()(rri)(iriirri

20、i 这说明两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和仍服从泊松分布，其参数为这两个分布的参数之和。这个事实，通常被称作泊松分布具有可加性。(97页)现在学习的是第30页，共33页2 二维连续型随机变量函数的分布 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f (x,y)，Z=g(X,Y),求Z的密度函数h(z)。方法 zG)Y,X(zdxdy)y,x(f)G)Y,X(P)z)Y,X(g(P)zZ(P)z(H)z(H()z(h 现在学习的是第31页，共33页 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f (x,y)，Z=X+Y,求 Z 的密度函数。解：zyxdxdy)y,x(f)z()z

21、()z(YXPZPFZ则：特别地，当随机变量 X 与 Y 相互独立时，有密度的卷积公式。f Z=f X*f Y 叫做 f X,f Y 卷积。dx)xz,x(f)z(fZ dxxzfxfzf)()()(YXZ dyyfyzfzf)()()(YXZ 或：dy)y,yz(f)z(fZ例:设 X 与 Y 独立,都服从 N(0,1)分布,求Z=X+Y的密度函数。解：,21)(22xexf X yeyfy ,21)(22 Ydyeedy)y(f)yz(f)z(fy)yz(222221 YXZ dtdx)xt,x(fdt)xt,x(fdxdy)y,x(fdxzzxz2222221)(ze 即：Z=X+YN(0,2)(97页)一般地，若 XN(1,12)，YN(2,22)，且 X 与 Y 相互独立，则aX+bY+c N(a 1+b 2+c,a2 12+b2 22)。现在学习的是第32页，共33页感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页