概率与数理统计第二.ppt

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1、概率论与数理统计 关于概率与数理统计关于概率与数理统计第二第二现在学习的是第1页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的定义1）定义）定义 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，是任意实数，函数函数)(xXPxF 称为 X 的分布函数对于任意的实数 x1,x2(x1 x2)，有：21xXxP x1 x2 xXo0 xxX12xXPxXP ).()(12xFxF 现在学习的是第2页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数例 1 设随机变量 X 的分布律为:Xpk61 -2 1 22131解：当 x-2 时，

2、是是不不可可能能事事件件 xX01xX2-2x)(xXPxF 2）例 子.0 P求 X 的分布函数.现在学习的是第3页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数,12时时当当 x满足 Xx 的 X 取值为 X=-2,)(xXPxF x1X2-2x,21时时当当 x 满足 Xx 的 X 取值为 X=-2,或 1，)(xXPxF Xpk61-2 1 22131.312 XP.613112 XXP或或现在学习的是第4页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数同理当,2时时x.1212)(XXXPxXPxF或或或或 .2,1,21,21,12,31

3、,2,0)(xxxxxF-2 0 1 2 x1现在学习的是第5页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数分布函数 F(x)在 x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其跳跃值为 pk=PX=xk.说 明：Xpk61-2 1 22131-2 0 1 2 x1现在学习的是第6页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.解：（1）若 x 0,则 是不可能事件，于是xX .0)(

4、)(PxXPxF（2）由由题题意意，若若,20 xX,02xkxXP 现在学习的是第7页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数时时于是，于是，20 x)(xXPxF （3）若 ,则 是必然事件，于是xX 2 x.1)(xXPxF.40,4/12xxXPk 即即得得与与上上式式对对比比由由已已知知得得取取,120,2 XPx00 xXPXP .42x 现在学习的是第8页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 .2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF0 1 2 31F(x)x现在学习的是第9页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的

5、分布函数二、分布函数的性质1）性质：分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以 看出，分布函数 F(x)具有以下基本性质：).()(1212xFxFxx 时，时，即当即当（1）F(x)是一个单调不减的 函数 0 1 2 31F(x)现在学习的是第10页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数（2）.1)(lim)(;0)(lim)(,1)(0 xFFxFFxFxx且且（3）.)(),()0(是是右右连连续续的的即即xFxFxF -1 0 1 2 3 x1现在学习的是第11页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2）用分布函数计算某些事件

6、的概率 0 aFaF bXaP 0 aFbFaXP1limnaXPn)0()1(limaFnaFnaXPaXPaXPbXaPaXP)(xXPxF 的分布函数，则是随机变量设X bXaP aFbF bXP aXP 现在学习的是第12页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数用分布函数计算某些事件的概率（续）aXPbXPbXaP aFbF 0 aXPbXPbXaP 00 aFbFbXPbXP101bF现在学习的是第13页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数例 3 xxxxxxxF3132121121321020021XP3XP1XP3XP

7、试求：42 XP31 XP的分布函数为设随机变量 X现在学习的是第14页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数解：0aFaFaXP0aFaXP3XP 3F13XP03 F12111XP 011FF61213221XP211F4341142 XP 204FF1211211131 XP0103FF125211211现在学习的是第15页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数例例4 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有 xBarctgxAxF、试求常数BA BarctgxAxFxxlimlim0BA2

8、p BarctgxAxFxxlimlim1BA2p现在学习的是第16页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数例 4（续）解方程组解方程组 1202BABAp pp p得解，p p121 BA现在学习的是第17页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数例5 设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度1，另半圆周上均匀刻0，1）诸数字，求陀螺旋转后停下时触及桌面上的点的刻度 X 的分布函数。解：的的半半圆圆上上”，“触触点点落落在在刻刻度度为为 1 A,”“触触点点落落在在另另外外半半圆圆上上 A,2/1)(,2/1)(APAP|AxXP,1 x ,

9、0.1 x,1现在学习的是第18页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数)(xXPxF|)(|)(AxXPAPAxXPAP .1,1,10,2/,0,0 xxxx|AxXP,0 x,0,10 x,x.1 x,1现在学习的是第19页，共86页概率论与数理统计 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 aXP 本节小结：1）分布函数的定义及性质；2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是 0 aFaF现在学习的是第20页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布现在学

10、习的是第21页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度一.连续型随机变量的概念与性质定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 ，存在非负实函数 ，使得对于任意 实数 ，有则称 X 为连续型随机变量，其中函数 称为X 的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定!)(xfx)(xf)(xF现在学习的是第22页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 概率密度 f(x)具有以下性质：.0)(10 xf.1)(20 dxxff(x)0 x1说明:一一定定连连续续。不

11、不一一定定连连续续，但但)()(xFxf.1)()(Fdxxf现在学习的是第23页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度)(.)()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxx f(x)x01x2x).()()(40 xfxFxxf 处处连连续续，则则有有在在点点若若现在学习的是第24页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数不是概率！密度函数不是概率！注意 1由此可见根据性质4以及导数的定义，有xxxXxPxxFxxFxfxx )(lim)()(lim)(00充分小时充分小时于是，

12、当于是，当)0(xxxxfxxXxP )()(xxfxxXxP )()(现在学习的是第25页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的一个重要特点：，对对任任意意的的实实数数是是连连续续型型随随机机变变量量，则则设设aX 0 aXP有有密度函数的概率含义：注意2：概概率率密密度度。的的“疏疏密密”程程度度附附近近所所分分布布的的概概率率点点概概率率的的大大小小。它它反反映映了了内内的的落落人人区区间间的的大大小小决决定定 xxxxXxf,()(注意3：现在学习的是第26页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随

13、机变量及其概率密度证明：所以有：所以有：0 aXP)(aF)1(limnaFn )1()(naFaF aXnaP1aXP0现在学习的是第27页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度说 明由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的的密密度度函函数数为为若若已已知知连连续续型型随随机机变变量量xfX取取值值的的概概率率为为，也也可可以以是是无无穷穷区区间间

14、）上上间间；可可以以是是有有限限区区间间，闭闭区区间间，或或半半开开半半闭闭区区也也可可以以是是可可以以是是开开区区间间（在在任任意意区区间间则则,GGX GdxxfGXP现在学习的是第28页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例1设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其其它它020242xxxcxf解：由密度函数的性质；求求：常常数数 c 1 XP 1 dxxf的的分分布布函函数数X).3(现在学习的是第29页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 1（续）dxx

15、f1得得 20224dxxxc2032322 xxcc38 83 c所以，所以，11dxxfXP 221dxxfdxxf 2200dxxfdxxfdxxf现在学习的是第30页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 1（续）2122483dxxx213232283 xx21 xdttfxFx时时，当当0)3(00 xdt xdttfxFx时，时，当当20 xdttfdttf00 xdxxx022483 其其它它02024832xxxxf)3(4132xx 现在学习的是第31页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及

16、其概率密度例 1（续）12483202 dxxx xdttfxFx时，时，当当2 xdttfdttfdttf2200 2121)3(410032xxxxxxF 其其它它02024832xxxxf现在学习的是第32页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量 X xarctgxxFp p121的的密密度度函函数数试试求求 X解：，则则的的密密度度函函数数为为设设xfX xFxf xx2111p p例2现在学习的是第33页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率

17、密度例 3的的设设随随机机变变量量 X 其它其它021210 xxxxxf解：xxxxxxxxF21211221020022).(xfX的的密密度度函函数数试求试求 xFxf 现在学习的是第34页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量 X的密度函数的密度函数系数系数试求试求XBA)2(;,)1(:)1(解：解：例4 000)(22xxBeAxFx由分布函数的性质 ,01BAA有解得 ,11BA0)0()00(,1)(FFF现在学习的是第35页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概

18、率密度连续型随机变量及其概率密度 ，则则的的密密度度函函数数为为设设xfX)2(xFxf 例4（续）0001)(22xxexFx 00022xxxex现在学习的是第36页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 5 某电子元件的寿命（单位：小时）是以某电子元件的寿命（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.150 XPAP则则 150dxxf 1501002100dxx31 解：设 A=某元件在使用的前 150 小时内需要更换现在学习的是

19、第37页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 5（续）检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重的Bernoulli试验 令：Y=“5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元件数”则 322532312 CYPBP则则24380 B=5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时)31,5(BY现在学习的是第38页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度二.一些常用的连续型随机变量二.一些常用的连续型随机变量1均匀分布若随机变量的密度函数为 其其它它01bxaabxf 上上的的均均匀匀分分布

20、布，服服从从区区间间则则称称随随机机变变量量baX记作 X U a,babx)(xfab 1现在学习的是第39页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证 则则有有：是是其其密密度度函函数数，上上的的均均匀匀分分布布，区区间间设设xfbaX ；，有有对对任任意意的的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 确确是是密密度度函函数数其其它它 01bxaabxf由此可知，现在学习的是第40页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布的概率背景：lccdxxflcX

21、cP)(.1abldxablcc 类似地，我们可以定义XXabxll0clc 上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布；，区间ba上的均匀分布，区间ba现在学习的是第41页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 的的位位置置无无关关区区间间长长度度成成正正比比，而而与与该该子子值值的的概概率率与与该该子子区区间间的的取取上上的的任任意意一一个个子子区区间间上上，在在区区间间随随机机变变量量上上的的均均匀匀分分布布，则则，服服从从区区间间如如果果随随机机变变量量baXbaX 是是等等可可能能的的上上取取值值，在在区区间间量量这这时时，可可以以认认为为随随

22、机机变变baX 均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。现在学习的是第42页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度均匀分布的分布函数 xbbxaabaxaxxF10abxF(x)01 其其它它01bxaabxf的分布函数为则上的均匀分布，服从区间若随机变量XbaX现在学习的是第43页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例例6 6：设公共汽车站从上午：设公共汽车站从上午7 7时起每隔时起每隔1515分钟来一班车分钟来一班车,如果如果某乘客到达此站

23、的时间是某乘客到达此站的时间是 7:00 7:00 到到7:307:30之间的均匀随机之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过变量试求该乘客候车时间不超过5 5分钟的概率分钟的概率解：解：设该乘客于设该乘客于7 7时时 X 分到达此站分到达此站其密度函数为其密度函数为 其它其它0300301xxf上的均匀分布，服从区间则300X现在学习的是第44页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 6（续）令：B=候车时间不超过5分钟 30251510 XPXPBP则则 30251510301301dxdx31 现在学习的是第45页，共86页概率论与数理统

24、计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 7 上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间设设随随机机变变量量63 试试求求方方程程 02442 xx有实根的概率有实根的概率解：的的密密度度函函数数为为随随机机变变量量 其它其它06391xxf现在学习的是第46页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 7（续）有有实实根根方方程程设设：02442xxA 024442 PAP则则 021 P 21 或或P 62139191dxdx9492 32 现在学习的是第47页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型

25、随机变量及其概率密度2指数分布如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 00011xxexfx 的的指指数数分分布布参参数数为为服服从从为为常常数数，则则称称随随机机变变量量其其中中X 0 现在学习的是第48页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证 是是其其密密度度函函数数，则则有有：的的指指数数分分布布，参参数数为为设设xfX 00dxxfdxxfdxxf 011dxex 1由此可知，由此可知，01xe 确是一密度函数确是一密度函数 00011xxexfx 现在学习的是第49页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机

26、变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度指数分布的分布函数函数为函数为的分布的分布指数分布，则指数分布，则服从参数服从参数若随机变量若随机变量XX 01001xexxFx)(1,0tFtXPt te 指数分布的应用：指数分布常作为各种“寿命”分布的近似分布，如：“灯泡的寿命”，“动物的寿命”，“电话问题中的通话时间”，“随机服务系统中的服务时间”都常假定服从指数分布。注意:现在学习的是第50页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度指数分布的重要性质：设X服从指 数分布，则,0,0 tstXP sXtsXP 若把X解释为寿命，则上式表明：如果已知某

27、人活了 s 年，则他至少再活 t 年的概率与年龄s 无关，所以人们风趣地称指 数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”-即把过去的年龄忘记了。sXPtsXP te 现在学习的是第51页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分分钟钟之之间间的的概概率率钟钟到到分分话话间间，求求你你需需等等待待好好在在你你前前面面走走进进公公用用电电如如果果某某人人刚刚为为参参数数的的指指数数随随机机变变量量是是以以（单单位位：分分钟钟）间间设设打打一一次次电电话话所所用用的的时时201010 X解：的的密密度度函函数数为为X 00010110 xxexfx现

28、在学习的是第52页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 8（续）2010 XPBP则则令：B=等待时间为1020分钟 201010101dxex201010 xe 21 ee2325.0 现在学习的是第53页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度3正态分布xp(x)0的密度函数为如果连续型随机变量X xexfx22221ssp，为参数，其中0s正态分布记作2s，NX2服从参数为则称随机变量 X的，s现在学习的是第54页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密

29、度x0标准正态分布 为标准正态分布为标准正态分布，我们称，我们称，若若1010N s s 数数为为标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函 xexx2221p p x xdxexxx2221p p数数为为标标准准正正态态分分布布的的分分布布函函现在学习的是第55页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证 是其密度函数，则有：是其密度函数，则有：，设设xfNX2s s xexfx021222s s s sp p下面验证：下面验证：121222 dxedxxfxs s s sp p现在学习的是第56页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随

30、机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)验证：验证：121222 dxedxxfxs s s sp p首先验证：首先验证：12122 dxedxxxp p p p222 dxex或验证：或验证：现在学习的是第57页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)p p2222 dxexdydxeeyx 2222dydxeyx 222 dyedxedxeyxx2222222为此，我们只需证明：现在学习的是第58页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)0

31、2202222rdreddxerxp p 0222rep pp p2 p222 dxex因此因此则有，作极坐标变换：sincosryrx现在学习的是第59页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度密度函数的验证(续)下面验证：下面验证：121222 dxexs s s sp p s sp ps sp ps s s s dxedxexx2222122121则则有有1 dueu2221p p s sp ps s 2222 dxexssdxduxu则，作变换：现在学习的是第60页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概

32、率密度密度函数的验证(续)综上所述，综上所述，xexfx22221s s s sp p 是是一一个个密密度度函函数数确确本本条条件件，因因此此满满足足密密度度函函数数的的两两项项基基xf现在学习的是第61页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度正态分布密度函数的图形性质 我我们们有有：由由高高等等数数学学中中的的知知识识，数数对对于于正正态态分分布布的的密密度度函函 xexfx22221s s s sp p hXPXhPhx ，有有这这表表明明：对对于于任任意意的的对对称称，曲曲线线关关于于直直线线0 x0hh)(xp现在学习的是第62页，共86页

33、概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度正态分布密度函数的图形性质x0hh 越小越小落在该区间中的概率就落在该区间中的概率就越远时，随机变量越远时，随机变量离离间间同样长度的区间，当区同样长度的区间，当区对于对于的值就越小这表明，的值就越小这表明，越远，越远，离离取到最大值取到最大值时，时，当当Xxfxfxpx s sp p 21 )(xp现在学习的是第63页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度正态分布密度函数的图形性质x0hh)(xf 轴轴为为渐渐近近线线以以曲曲线线处处有有拐拐点点；在在曲曲线线Oxxfyxx

34、fy s s 所所确确定定完完全全由由参参数数图图形形的的位位置置因因此此其其形形状状轴轴平平行行移移动动，但但不不改改变变图图形形沿沿的的的的值值，则则固固定定，而而改改变变若若 s sxfyxxf 现在学习的是第64页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 的取值越分散的取值越分散形越平坦，这表明形越平坦，这表明的图的图越大时，越大时，当，当附近的概率越大；反之附近的概率越大；反之落在落在图形越陡，因而图形越陡，因而越小时，越小时，可知，当可知，当的最大值为的最大值为的值，的值，固定，而改变固定，而改变若若XxfyXxfyfxf s s s s

35、s sp p s s 210 x1)(xf现在学习的是第65页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度正态分布的重要性质：xp(x)01则则设设),1,0(NX则则设设),(2s s NX2100 XPXP21 XPXP现在学习的是第66页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起

36、决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布现在学习的是第67页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度标准正态分布的计算 ，则其密度函数为，则其密度函数为，如果随机变量如果随机变量10 NX ,2122xexp p 其分布函数为其分布函数为态态分分布布表表，教教科科书书上上列列出出了了标标准准正正 xdtedttxxtx2221p p 现在学习的是第68页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度标准正态分

37、布的计算（续）x0)(xx-x)(1)(xx xXPxx 我们可直接查表求出对于0:0，我们有公式如果x xtxdtedttx2221pxuduex2221p，得，作变换dudtutxudue22211pxudue2221p x 1现在学习的是第69页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度一般正态分布的计算 )1,0(:2NXYNXs s s s ，则则，设设引引理理 :yXPyYPyFY s s 证明证明 ytdtes s s s s sp p22221，代入上式，得，代入上式，得，则，则作变换作变换s ss s dtdutu yuYdueyF2

38、221p p y yXPs s 现在学习的是第70页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度一般正态分布的计算（续）函函数数是是标标准准正正态态分分布布的的分分布布其其中中，y).()-b(bXPa ,s s s s aba有有故对任意的故对任意的 )(xXPxFX)(s s s s s s xxXP则则设设),(2s s NX现在学习的是第71页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例9 ；，试试求求：，设设随随机机变变量量212110 XPXPNX解：1221 XP84134.097725.0 135

39、91.0 1221 XP 112 84134.0197725.0 81859.0 现在学习的是第72页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 ；，试试求求：，设设随随机机变变量量0625192 XPXPXPNX解：)1()5(51FFXP )321()325(311 1311 162930.084134.0 47064.0 例10现在学习的是第73页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 62162 XPXP 6261 XP 841 XP)324()328(1 221 212 0455.097725.0

40、12 例10(续)现在学习的是第74页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 010 XPXP)320(1 3217486.032 例10(续)现在学习的是第75页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 至至少少应应为为多多少少？则则若若使使，设设随随机机变变量量dXPdNX,99.0805.02 解：8099.0 XP)5.080(1d .1635.81 d例11 5.0805.0ddXP 5.0805.01ddXP)5.080(d99.0)327.2(327.25.080 d现在学习的是第76页，共

41、86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度?0,3.04222 XPXPNX则则且且，设随机变量设随机变量s s解：)2(1)20(0s ss s XP)0()2(s s2.08.010 XP例12 423.0 XP5.0)2(s s,8.0)2(s s现在学习的是第77页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 13的概率的概率不超过不超过个月的月降水量都个月的月降水量都起连续起连续的正态分布求从某月的正态分布求从某月）（单位：（单位：，某地区的月降水量服从某地区的月降水量服从cmcm5010440 s s

42、解：2440，则则：该该地地区区的的月月降降水水量量设设：NXX 月月降降水水量量不不超超过过再再设设：cmA50 50 XPAP则则：)44050(现在学习的是第78页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度例 13（续）5.2 99379.0 cmP5010个个月月降降水水量量都都不不超超过过连连续续所所以以，1099379.0 9396.0 现在学习的是第79页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分位点。分位点。为标准正态分布的上为标准正态分布的上则称点则称点满足条件满足条件若若设设 zzzNX,

43、10,PX ),1,0(0 x)(x 0.05z 5.00，查表可知，查表可知当当 z1z)(11 zzXPzXP 1)(z:,的的方方法法求求已已知知 z,645.1 005.0z.57.2)95.005.01)(z(0.05 现在学习的是第80页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分位点。分位点。为标准正态分布的上为标准正态分布的上则称点则称点满足条件满足条件若若设设 zzzNX,10,PX ),1,0(0 x)(xz1z)(11 zzXPzXP 1)(z:,的的方方法法求求已已知知 z.57.2,645.1z 995.00.95 z可知可知

44、现在学习的是第81页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的的密密度度函函数数为为如如果果连连续续型型随随机机变变量量 X 0001xxexrxpxrr 为参数为参数，其中其中00 r ，记记作作：分分布布的的，服服从从参参数数为为则则称称随随机机变变量量rXrX 4.-分布.现在学习的是第82页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度-函 数函数的定义：函数的定义：01dxexrxr ，函函数数的的定定义义域域：0 函数的性质：函数的性质：rrr 1 ，p p 2111 ！为为自自然然数数，则则如如果果

45、1 nnn现在学习的是第83页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 ，得，得，则由，则由如果如果111 r 000 xxexfx 的的指指数数分分布布这这正正是是参参数数为为 说明：！得得，由由如如果果1 nnnr 000!11xxexnxpxnn 布布之之一一它它是是排排队队论论中中重重要要的的分分分分布布，我我们们称称此此分分布布为为 Erlang现在学习的是第84页，共86页概率论与数理统计 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度为自然数，则有为自然数，则有，其中，其中，如果如果nnr212 0002212122xxexnxpxnn 的分布之一的分布之一它是数理统计学中重要它是数理统计学中重要分布，记作分布，记作的的为为我们称此分布为自由度我们称此分布为自由度nn22 说明：现在学习的是第85页，共86页概率论与数理统计 感谢大家观看现在学习的是第86页，共86页