弹性力学空间轴对称问题有限元法.ppt

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1、弹性力学空间轴对称问题有限元法现在学习的是第1页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z(z轴轴)现在学习的是第2页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述轴对称问题轴对称问题物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线线(z(z轴轴)，则物体的位移、应变、应力也都对称于这一轴线，则物体的位移、应变、应力也都对称于这一轴线。现在学习的是第3页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的

2、描述一、柱坐标系一、柱坐标系 由于轴对称性质，采用由于轴对称性质，采用柱坐标系（柱坐标系（r、z ）分析分析轴对称问题轴对称问题xrcosyrsinzz r现在学习的是第4页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述a:a:通过对称轴的任一平面都是对通过对称轴的任一平面都是对称平面称平面b:b:子午面子午面通过对称轴的任一通过对称轴的任一平面（平面（r-zr-z平面）平面）c:c:如果以对称轴为如果以对称轴为z z轴，则位移轴，则位移、应变、应力都仅为、应变、应力都仅为r r、z z的函数的函数而与而与无关无关 空间的三维问题化为平面的二维问题，即空间域回空间的

3、三维问题化为平面的二维问题，即空间域回转体简化为定义在回转体的某个子午面平面域上的转体简化为定义在回转体的某个子午面平面域上的物体。物体。现在学习的是第5页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述二、基本变量二、基本变量 (1)(1)位移矢量位移矢量 rzuu(r,z)uw(r,z)u或(2)(2)应变应变 Trzrz(3)(3)应力应力 环向位移环向位移 u u=0=0 即在子午面（即在子午面（rzrz面）面）上的点无离面位移。上的点无离面位移。0rzTrzrz0zr现在学习的是第6页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述

4、三、基本方程三、基本方程 （1 1）平衡微分方程）平衡微分方程 设微元体上作用有体力设微元体上作用有体力 Tzrfff)(00zrzrzzrrzrrfrrzfrzr现在学习的是第7页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程三、基本方程 （2 2）应变与位移的关系）应变与位移的关系几何方程几何方程 有有ur，即轴对称的径向位移会引起环向应变，即轴对称的径向位移会引起环向应变 0100rrzzrL0100rzrzurruurrwwzzuwzrzr Lu现在学习的是第8页，共45页3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方

5、程三、基本方程 （2 2）应力应变关系）应力应变关系 物理方程物理方程 10111011111 210111 20002 1rrzzrzrzED123E 112A;A;A12 1112 (E(E是杨氏模量，是杨氏模量，为泊松比为泊松比)111131121AA0A1A0AAA10000AD现在学习的是第9页，共45页00zrzrzzrrzrrfrrzfrzr0100rzrzurruurrwwzzuwzrzr Lu3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程三、基本方程 10111011111 210111 20002 1rrzzrzrzED(10(10个未知函数在

6、域内的控制方程个未知函数在域内的控制方程)现在学习的是第10页，共45页四、边界条件四、边界条件 3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述uussuwus su u 表示位移边界点的集合表示位移边界点的集合位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件 00n00nrzfllf 表面力分量表面力分量,rzff、rkl是边界外法线与是边界外法线与夹角的余弦，夹角的余弦，n n是边界外法线与是边界外法线与夹角的余弦，夹角的余弦，现在学习的是第11页，共45页*TTTVsVdvdSdvu fut 因为：dzrdrddvdsrddS上式先对积分，化为在子午面上的以下积分22

7、2TTTsrdrdsrdufut在位移中求解时，虚功方程等价于力边界条件与平衡微分方程。在位移中求解时，虚功方程等价于力边界条件与平衡微分方程。3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述五、虚功方程五、虚功方程现在学习的是第12页，共45页22TTTPsrdrdrds Df ut u对稳定的线弹性体的平衡而言，真解使对稳定的线弹性体的平衡而言，真解使P取最小值，至少是取驻值取最小值，至少是取驻值。3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述弹性力学空间轴对称问题的描述六、总势能六、总势能 泛函泛函 12TTTVVSdvu fdvu fdS 现在学习的是第13页，共45页eeeeT

8、VdvKB DBeeeeT2rdrdz KB DBeeeTbVdvFN feeeTb2rdrdz FN feeeTqSdSFNfeeeTqS2rds FNf0eeeT0VBdv F0eeeT02Brdrdz F0eeeT0VB DdvF0eeeT02B Drdrdz F现在学习的是第14页，共45页 R1=0.3 R2=0.5 承受内压：1.0e8 Pa 受均匀内压的球体计算分析模型受均匀内压的球体计算分析模型 3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析受均匀内压的球体有限元模型受均匀内压的球体有限元模型 现在学习的是第15页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元

9、分析现在学习的是第16页，共45页单元结点的位移列阵记单元结点的位移列阵记为 Teiijjmmuwuwuw 一、单元位移模式一、单元位移模式 e1234561urwz uiieeeeijmjeeeeijmjmmuwN0N0N0uu0N0N0Nwwuw u3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析123urz 456wrz 现在学习的是第17页，共45页iieeeeijmjeeeeijmjmmuwN0N0N0uu0N0N0Nwwuw uieeeeijmjmeeuNNNN eeiieiN0(i,j,m)0NN eiiiiab rc zNi,j,m2A ijmmjijmimjarzr zb

10、zzi,j,mcrr 轮换3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第18页，共45页二、单元内的应变二、单元内的应变 0100rzrzurruurrwwzzuwzrzr Lureeeijmeeeeeijmzrz0r10N0N0N0r0N0N0N0zzr 3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第19页，共45页二、单元内的应变二、单元内的应变 reeeijmeeeeeijmzrz0r10N0N0N0r0N0N0N0zzr eiiiiab rc zNi,j,m2A eeiiiiNbNcr2Az2A、iiiiab rc zfi,j,mr 3.2 3.

11、2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第20页，共45页二、单元内的应变二、单元内的应变 ijmijmeeijmiijjmmieeeeeijmjmb0b0b0f0f0f010c0c0c2AcbcbcbBBBB iieiiiib0f01i,j,m0c2AcbB eB为单元应变转换矩阵为单元应变转换矩阵,子块子块 环状三角形单元不是常应变单元环状三角形单元不是常应变单元 iiiiab rc zfi,j,mr 3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第21页，共45页三、单元内的应力三、单元内的应力 eeeeeeDDBS ii1i1i1ii1ee3iiii1ii

12、2i2bf Ac Ab Afc AAi,j,mbfAc2Ac Ab ASDB eS为单元应力转换矩阵。其子块为为单元应力转换矩阵。其子块为 三角形环状单元也不是常应力单元三角形环状单元也不是常应力单元 iiiiab rc zfi,j,mr eeeemejemjiiSSS3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第22页，共45页三、单元刚度矩阵的计算三、单元刚度矩阵的计算 eeeeTVdvKB DBeeeeT2rdrdz KB DBeeeeeeeeeeiiijimjijjjmmimjmmKKKKKKKKKKeeTrsrs2rdrdzr,si,j,m KB DB其子块为其子

13、块为 3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第23页，共45页三、单元刚度矩阵的计算三、单元刚度矩阵的计算 eeTrsrs2rdrdzr,si,j,m KB DBiieiiiib0f01i,j,m0c2AcbB iiiiab rc zfi,j,mr 计算以上积分的方法有三种：导出精确的积分公计算以上积分的方法有三种：导出精确的积分公式；采用通常的数值积分公式；简单的近似积式；采用通常的数值积分公式；简单的近似积分。分。3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第24页，共45页三、单元刚度矩阵的计算三、单元刚度矩阵的计算 eeTrsrs2rdrd

14、zr,si,j,m KB DB单元中心坐标单元中心坐标 ijmijmrrrr3zzzz3iieiiiib0f01i,j,m0c2AcbB iiiiab rc zfi,j,mr iiiiac zfbi,j,mrr iieiiiib0f010c2AcbB3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第25页，共45页三、单元刚度矩阵的计算三、单元刚度矩阵的计算 eeTrsrs2rdrdzr,si,j,m KB DBeTrsrs2 rAr,si,j,m KB DBiieiiiib0f010c2AcbBijmrrrr33.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析现在学习的是第

15、26页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析三、单元刚度矩阵的计算三、单元刚度矩阵的计算 eeTrsrs2rdrdzr,si,j,m KB DBrss1rs1srs2rs1rs1rs2e3rs1rssrs2rsrs2bbf Afb Afc c Ab c Af c Ac b ArA2AA cbfb c Ac cb b AKiiiiac zfbi,j,mrr ijmrrrr3123E 112A;A;A12 1112 (E(E是杨氏模量，是杨氏模量，为泊松比为泊松比)现在学习的是第27页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效

16、结点力的计算 受自重作用受自重作用设设是物体比重，重力只有是物体比重，重力只有z z方向分量且与方向分量且与z z轴反轴反向，其体积力密度为向，其体积力密度为 rzf0ffeeeTb2rdrdz FN feeeTqS2rds FNfeb?F现在学习的是第28页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 受自重作用受自重作用eiijebiijjmmjmmL00LL002rLrLr Ld0LL00L FeeeTb2rdrdz FN fTijmA0r3r0r3r0r3r6 TijmijmijmA02rrr0r2rr0rr2r6 eeeijm

17、eeeeijmN0N0N00N0N0NN2iiiiiabrc zLNAee2iijAL d6AL L d12 rzf0ffi ijjm mLrL rL rr现在学习的是第29页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 惯性离心力作用惯性离心力作用 物体绕物体绕z z轴转动的角速度为轴转动的角速度为(rad/s)(rad/s)，是比重，是比重，g g是重力加速度，则惯性离心力为是重力加速度，则惯性离心力为 2r/g0 feb?F现在学习的是第30页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等

18、效结点力的计算 惯性离心力作用惯性离心力作用 2r/g0 feii2jebiijjmmjmmL00LL0r/g2rLrLr Ld0L0L00L FeeeTb2rdrdz FN feeeijmeeeeijmN0N0N00N0N0NN2iiiiiabrc zLNAe2iiijjmm22ij mLrLrLr LdA9r2rrr302e222222bij mjm imi jA 9r2rrr0 9r2rr r0 9r2rrr015 g Fi ijjm mLrL rL rr现在学习的是第31页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 受均布压力

19、受均布压力 rzrz面上的压力矢量面上的压力矢量 rij0ijzcosfpsinf ijij边外法线与边外法线与r r轴夹角为轴夹角为 ijjiijijijijijzzcoslrrsinl eeeTqS2rds?FNf现在学习的是第32页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 受均布压力受均布压力 rij0ijzcosfpsinf 由于是在由于是在ijij边上，则形函数矩阵为边上，则形函数矩阵为 eeeTqS2rds?FNfijeijL0L0000L0L00Ni ij jrL rL rijii ij jijijlLL rL r d

20、s2rr6现在学习的是第33页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 受均布压力受均布压力 rij0ijzcosfpsinf ijeijL0L0000L0L00Ni ij jrL rL rii ij jijijijL L rL r dll2rr6ijeeTq0ijijcos2prdlsin NFijijjiij0ijij2rr002rrzzr2r0prr0r2r30000 T0ijjiijijijjiijijp2rrzz2rrrrr2rzzr2rrr0 03eeeTqS2rds FNf现在学习的是第34页，共45页3.2 3.2

21、三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 热应变作为初应变热应变作为初应变 若单元结点的温度升高为，则单元的平均温升为若单元结点的温度升高为，则单元的平均温升为 ijmeTTTT3单元热应变为单元热应变为 e11T10 单元等效结点力单元等效结点力 eeeTb2rdrdz FB D现在学习的是第35页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 热应变作为初应变热应变作为初应变 e11T10 eeeTb2rdrdz FB DeeeeTb ii11iii11e3ii112eiii2rdrdz1AA01b

22、f0cA1A0112ATrdrdz00cbAA1012A000A0bfETri,j,m1 2c FB D 子块为子块为ii,r(以代替代替r)现在学习的是第36页，共45页3.2 3.2 三结点环状单元分析三结点环状单元分析四、等效结点力的计算四、等效结点力的计算 热应变作为初应变热应变作为初应变 eeeTb2rdrdz FB DiiiejjjmmmbfcbfET ri,j,m1 2cbfc 现在学习的是第37页，共45页本章小结：本章小结：(1)(1)由于轴对称性质由于轴对称性质,轴对称问题可简化为二维问题处理轴对称问题可简化为二维问题处理,只分析其一子午面只分析其一子午面,并在子午面离散并

23、在子午面离散.(2)(2)与平面问题中的三结点三角形平面单元不同，在本章对与平面问题中的三结点三角形平面单元不同，在本章对轴对称问题的分析中，采用的单元类型为三结点三角形环状轴对称问题的分析中，采用的单元类型为三结点三角形环状的实体单元，采用的坐标系为柱坐标系的实体单元，采用的坐标系为柱坐标系.在单刚及等效载荷的在单刚及等效载荷的计算中采用的近似积分方式是相当简单也相当有效的，且三计算中采用的近似积分方式是相当简单也相当有效的，且三结点三角形环状实体单元不是常应变单元或常应力单元。结点三角形环状实体单元不是常应变单元或常应力单元。(3)(3)轴对称问题有限元法中轴对称问题有限元法中,刚体位移仅

24、为轴向移动刚体位移仅为轴向移动.现在学习的是第38页，共45页膨胀节膨胀节 例子：例子：现在学习的是第39页，共45页总应力云图 总位移云图 现在学习的是第40页，共45页例例:某立式压力容器如图所示，其设计压力某立式压力容器如图所示，其设计压力p=10MPa，在常温下工作，材料为，在常温下工作，材料为16Mn，弹性模量，弹性模量E=210GPa,泊松比为泊松比为0.3，筒体内径筒体内径D1=3400mm，壁厚，壁厚t1=110mm，球形封头内半径，球形封头内半径R2=1720mm，t2=70mm，筒体削边长度，筒体削边长度l=270mm，忽略自重，忽略自重，对容器筒体与封头的连接区进行应力分析对容器筒体与封头的连接区进行应力分析。现在学习的是第41页，共45页PLANE82轴对称单元轴对称单元现在学习的是第42页，共45页现在学习的是第43页，共45页应力强度云图 整体结构的应力强度云图整体结构的应力强度云图 现在学习的是第44页，共45页现在学习的是第45页，共45页