多元函数极限与连续讲稿.ppt

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1、关于多元函数极限与连续第一页，讲稿共五十页哦4.1 4.1 空间解析几何简介空间解析几何简介4.1.1 4.1.1 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立4.1.2 4.1.2 空间两点间的距离空间两点间的距离4.1.3 4.1.3 常见的空间曲面常见的空间曲面第二页，讲稿共五十页哦4.1.1 4.1.1 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点o空间直角坐标系空间直角坐标系在空间任取一点在空间任取一点o，过，过点点o作三条相互垂直的作三条相互垂直的直线直线ox,oy,oz,规定单位规定单位长度，并按长度，并按右手规则右手规则4.1 4.1 空间解析几何简

2、介空间解析几何简介确定其方向确定其方向.第三页，讲稿共五十页哦7(-,-,-)(-,-,-)xy面面yz面面空间直角坐标系的空间直角坐标系的三个坐标面三个坐标面，将空间分成将空间分成zx面面xyoz2(-,+,+)(-,+,+)3(-,-,+)(-,-,+)5(+,+,-)(+,+,-)6(-,+,-)(-,+,-)8(+,-,-)(+,-,-)1(+,+,+)(+,+,+)4(+,-,+)(+,-,+),各卦限符号，如图所示各卦限符号，如图所示.第四页，讲稿共五十页哦注注1 1 引进空间直角坐标系的目的是为了研究空引进空间直角坐标系的目的是为了研究空注注2 2 对于空间中任意一点，都有唯一一

3、个三元对于空间中任意一点，都有唯一一个三元xyozPxyPxPyPzP空间的点空间的点有序数组有序数组(x,y,z).11间曲线与曲面间曲线与曲面.有序数组有序数组(x,y,z)与之对应与之对应.第五页，讲稿共五十页哦4.1.2 4.1.2 空间两点间的距离空间两点间的距离222121212.xxyyzz（）（）（）设设P 1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)为空间任意两点为空间任意两点.过过 P1P2分别作平行于坐标平面的平面，这六个平面构成分别作平行于坐标平面的平面，这六个平面构成一个以一个以P1 P2为对角线的长方体，如下图所示，则其为对角线的长方体，如下图所示，则其三条边长

4、分别为三条边长分别为|x1-x2|,|y1-y2|,|z1-z2|，由勾股定理，由勾股定理，得得P1与与P2间的距离间的距离为为第六页，讲稿共五十页哦),(zyxM xyzo(,0,0)Px(0,0)Q y(0,0,)Rz(,0)Ax y(0,)By z(,)Cxoz注注 特别地，点特别地，点P(x,y,z)到原点到原点O的距离为的距离为 222.xyz 第七页，讲稿共五十页哦由于由于1345321 36M M2222（）（）（），23751 2236M M2222（）（）（），1323.M MM M=6 证明：以点证明：以点M1(4,3,1)，M2(7,1,3)，M3即即M1 M2 M3 是

5、等腰三角形是等腰三角形.所以，所以，(5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形为顶点的三角形是等腰三角形.第八页，讲稿共五十页哦4.1.3 4.1.3 常见的空间曲面常见的空间曲面如果曲面如果曲面S与方程与方程F(x,y,z)=0之间存在这样的关系：之间存在这样的关系：（1）若点）若点M(x,y,z)在曲面在曲面S上，则点上，则点M的坐标的坐标（2）若一组数）若一组数x,y,z满足方程满足方程F(x,y,z)=0，则点，则点M(x,y,z)满足三元方程满足三元方程F(x,y,z)=0.M(x,y,z)就在曲面就在曲面S上上.称方程称方程F(x,y,z)=0为为。曲面曲面S 叫做方程叫做方程F(x

6、,y,z)=0 的的。第九页，讲稿共五十页哦注注空间的曲线可以看作是两个曲面的交线，空间的曲线可以看作是两个曲面的交线，2(,)0.(,)0F x y zF x y z1因此因此通常可以表示为：通常可以表示为：0.AxByCzD第十页，讲稿共五十页哦柱面柱面 平行于定直线平行于定直线L并沿定曲线并沿定曲线C移动的直线所成移动的直线所成xyzoLC动直线称为柱面的动直线称为柱面的母线母线.的曲面，称为的曲面，称为柱面柱面，定曲线，定曲线C称为柱面的称为柱面的准线准线,第十一页，讲稿共五十页哦(,)zf x y=0=0可以证明：可以证明：(,)0F x y 设柱面设柱面的母线平行于的母线平行于z

7、轴，准线轴，准线C是是 x y 面上面上的一条曲线，其方程为的一条曲线，其方程为从柱面方程看从柱面方程看只含只含x,y而缺而缺z的方程的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标，在空间直角坐标系中表示母线平行于系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.(其他类推其他类推)第十二页，讲稿共五十页哦12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴,x12222 byax双曲柱面双曲柱面 /轴轴,zpzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴.y实例实例第十三页，讲稿共五十页哦柱面方程柱面方程 222Ryx xyz第十四页，讲稿共五十页哦二次曲面二次曲面二元二次方程所表示的曲

8、面称为二元二次方程所表示的曲面称为二次曲面二次曲面.例例2 2解：解：设设P(x,y,z)是球面是球面S上的任一点，由球面的上的任一点，由球面的求通过求通过P0(x0,y0,z0)为中心，以为中心，以R为半径的为半径的球面球面S的方程的方程.定义及两点间距离公式得定义及两点间距离公式得222000 xxyyzzR（）（）（）2222000.xxyyzzR（）（）（）经过原点的球面的方程为：经过原点的球面的方程为：2222.xyzR xyzo第十五页，讲稿共五十页哦 可以证明，经过适当地选取空间直角坐标系，可以证明，经过适当地选取空间直角坐标系，二次曲面有下面几种标准形式：二次曲面有下面几种标准

9、形式：2222()(0)ixyzRR 球面球面222222()1(0,0,0)xyziiabcabc椭球面椭球面222222()1(0,0,0)xyziiiabcabc单叶双曲面单叶双曲面第十六页，讲稿共五十页哦222222()1(0,0,0)xyzivabcabc 双叶双曲面双叶双曲面222222()0(0,0,0)xyzvabcabc二次锥面二次锥面2222()2(0,0)xyviz abab椭圆抛物面椭圆抛物面2222()2(0,0)xyviiz abab双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）第十七页，讲稿共五十页哦 以上曲面的图形形状，可通过对曲面方程以上曲面的图形形状，可通过对曲面

10、方程的定性分析（如对称性、有界性等）和的定性分析（如对称性、有界性等）和“截痕法截痕法”，即用坐标平面或平行于坐标平面的平面与曲面相交即用坐标平面或平行于坐标平面的平面与曲面相交所得交线，通过分析交线（称为截痕）的形状，确所得交线，通过分析交线（称为截痕）的形状，确定曲面的大致形状加以初步确定定曲面的大致形状加以初步确定.第十八页，讲稿共五十页哦例例3 3解：解：试作出单叶双曲面试作出单叶双曲面 的草图的草图.2222221xyzabc由方程可知：单叶双曲面的图形是一个关于由方程可知：单叶双曲面的图形是一个关于2222221xyzabcz h=原点、坐标轴、坐标平面均对称的无界对称原点、坐标轴

11、、坐标平面均对称的无界对称图形图形,用平行于用平行于xy平面的平面平面的平面 z=h 截曲面得，截曲面得，第十九页，讲稿共五十页哦综上可知，单叶双曲面的形状如下图所示：综上可知，单叶双曲面的形状如下图所示：xyo z其截痕是中心在其截痕是中心在 z 轴的椭圆，用平行于轴的椭圆，用平行于xz 平面平面,yz平面截曲面所得截痕均为双曲线平面截曲面所得截痕均为双曲线.第二十页，讲稿共五十页哦类似可得类似可得双叶双曲面双叶双曲面的形状如下图所示：的形状如下图所示：yzox第二十一页，讲稿共五十页哦xzy0 xzy022yxz 旋转抛物面旋转抛物面第二十二页，讲稿共五十页哦双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面

12、（马鞍面）同号）同号）q(p,2222Zqpyx xzyo第二十三页，讲稿共五十页哦4.2 4.2 多元函数的概念多元函数的概念4.2.1 4.2.1 平面区域的概念平面区域的概念4.2.2 4.2.2 二元函数的概念二元函数的概念第二十四页，讲稿共五十页哦4.2.1 4.2.1 平面区域的概念平面区域的概念1.1.邻域邻域设设P0(x0,y0)是是xoy面上的一定点，面上的一定点，d d是一正数是一正数,称称22200(,)|x yxxyyd（）（）为为点点P P0 0的的邻域邻域，记为记为U(P0,d d).以以P0为圆心，为圆心，d d为半径的圆的内部为半径的圆的内部4.2 4.2 多元

13、函数的概念多元函数的概念第二十五页，讲稿共五十页哦U(P0,d d)中除去中心中除去中心P0后所剩部分，即后所剩部分，即22200(,)|0 x yxxyyd（）（）为为点点P P0 0的的去心邻域去心邻域，记为记为0(,).U Pd。第二十六页，讲稿共五十页哦设设D是是xoy平面上的点集，平面上的点集，P是是xoy平面上的一点平面上的一点.若存在若存在 d d 0，使得，使得 ,则称点则称点P 是是D的的内点内点；(,)U PDd 若存在若存在 d d 0，使得，使得 ,则称则称P是是D的的外点外点；(,)U PDd 若若P的任何邻域内，既含有属于的任何邻域内，既含有属于D的点，又含有的点，

14、又含有 D的所有界点所成之集称为的所有界点所成之集称为D的的边界边界；若若P的任何邻域内均含有的任何邻域内均含有D中无穷多个点中无穷多个点,则称则称不属于不属于D 的点，则称的点，则称P 为点集为点集D 的的边界点或界点边界点或界点；P是是D的的聚点聚点.第二十七页，讲稿共五十页哦22,|12Dx yxy 例如，点集例如，点集注注内点必属于内点必属于D，外点必不属于，外点必不属于D，边界点和，边界点和2212xy的点都是的点都是D的内点；的内点；满足满足的点都是的点都是D的界点；的界点；222212xyxy或满足满足的点都是的点都是D的外点；的外点；221xy满足满足或或222xy的点都是的点

15、都是D的聚点的聚点.2212xy满足满足聚点可以属于聚点可以属于D，也可以不属于，也可以不属于第二十八页，讲稿共五十页哦也不是也不是R2的闭集的闭集.22,|12x yxy而而既不是既不是R2中的开集，中的开集，22,|12x yxy是是R2中的开集；中的开集；22,|12x yxy是是R2中的闭集；中的闭集；如果如果D的余集的余集Dc 为开集，则称为开集，则称D为为R2中的中的闭集闭集.2DR设设，如果，如果D中每一个点都是中每一个点都是D的内点，的内点，则称则称D是是R2中的中的开集开集；第二十九页，讲稿共五十页哦有界集与无界集有界集与无界集一个集合如果不是有界集，则称之为一个集合如果不是

16、有界集，则称之为无界集无界集.，则称，则称D是是R2中的中的有界集有界集.0,DUk2DR设点集设点集，如果存在常数，如果存在常数k0，使得，使得第三十页，讲稿共五十页哦点点P1与与P2，总存在，总存在D中的折线把中的折线把 P1与与P2连接起来，连接起来，2DR设设为一非空开集，如果对于为一非空开集，如果对于D中任意两中任意两则称则称D是连通的。连通的开集称为是连通的。连通的开集称为R2中的中的开区域开区域；开区域与其边界所构成的集合，称为开区域与其边界所构成的集合，称为闭区域闭区域.开区域与闭区域统称为开区域与闭区域统称为区域区域.第三十一页，讲稿共五十页哦22(,)|12x yxy和和(

17、,y)|+0 xx y都是都是R2中的开区域中的开区域.22(,)|12x yxy和和()|0 x,y x+y 都是都是R2中的闭区域中的闭区域.第三十二页，讲稿共五十页哦定义定义4-1 4-1 二二元函数元函数,记为记为,zf x y设设D为平面上非空点集，若存在对应法则为平面上非空点集，若存在对应法则 f,使使(,P x y）得对得对D中每一个点中每一个点按照对应法则按照对应法则 f，对，对应唯一一个应唯一一个 z，则对应法则，则对应法则 f 为定义在为定义在D上的上的 zf P或“点函数点函数”.这样可使多元函数这样可使多元函数,一元函数在形式上一元函数在形式上保持一致保持一致.第三十三

18、页，讲稿共五十页哦称为函数称为函数 f 的的值域值域.函数函数 f 的的定义域，定义域，z 称为因变量称为因变量,D称为称为xy，称为称为自变量，自变量，其中其中1212(,(,.nnyf x xxx xxD）,）,f Df x yx yD类似地可以得到类似地可以得到 的定义：的定义：二元与二元以上函数统称为二元与二元以上函数统称为.当当n=1时，就是我们以前所学的一元函数；时，就是我们以前所学的一元函数；第三十四页，讲稿共五十页哦二元函数的定义域二元函数的定义域 与一元函数一样，在讨论用解析式表示的函数与一元函数一样，在讨论用解析式表示的函数时，其定义域是一切使该解析式有意义的平面点的时，其

19、定义域是一切使该解析式有意义的平面点的集合集合.若函数所表示的是某一实际问题，则自变量的若函数所表示的是某一实际问题，则自变量的取值范围要符合实际取值范围要符合实际.下面我们将举例说明下面我们将举例说明.二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域围成平面区域的曲线称为该区域的边界围成平面区域的曲线称为该区域的边界.第三十五页，讲稿共五十页哦例例4 4解解:要使函数有意义，要使函数有意义，x,y必须满足：必须满足：20 xy21-xyo11-1-12lnzxy2=1-求函数求函数的定义域的定义域D，并，并画出画出D的示意图的示意图.2Dxxy2(,y)|1故

20、定义域故定义域其图形如下图所示其图形如下图所示.第三十六页，讲稿共五十页哦在直角坐标系中，取在直角坐标系中，取x为横坐标，为横坐标，y为纵坐标，为纵坐标，(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D称为称为二元函数二元函数z=f(x,y)的图形的图形，它通常是一张曲面，该曲面在它通常是一张曲面，该曲面在z为竖坐标，则空间中点集为竖坐标，则空间中点集z=f(x,y)的定义域的定义域 D.xy平面上的投影就是函数平面上的投影就是函数 第三十七页，讲稿共五十页哦第三十八页，讲稿共五十页哦定义定义4-24-2设二元函数设二元函数 f(x,y)定义在平面点集定义在平面点集D上上,P0(x0,y0)记为

21、记为或或0lim()PPf PA00,),)lim(,)x yxyf x yA（为为D的聚点，的聚点，A为一常数为一常数.如果当动点如果当动点P(x,y)在在D内内沿任意路径趋于点沿任意路径趋于点P0(x0,y0)时，函数时，函数 f(x,y)无限趋于无限趋于常数常数A，则称，则称A是是f(x,y)当当P(x,y)P0(x0,y0)时的时的极限极限.第三十九页，讲稿共五十页哦注注1 1注注2 200lim(,)xxyyf x yA亦可写成亦可写成通常称之为通常称之为二重极限二重极限.若在若在D内当内当P沿着两条不同的路径趋向于沿着两条不同的路径趋向于P0动点动点P在在D内趋向于定点内趋向于定点

22、P0的方式是任意的，的方式是任意的，即在即在D内沿任意路径趋向于内沿任意路径趋向于P0，f(P)均以均以A为为极限极限.时，时，f(P)的极限不同，或者沿着某一路径的极限不同，或者沿着某一路径趋向于趋向于P0时，时，f(P)的极限不存在，则称的极限不存在，则称f(P)在在P P0时时极限不存在极限不存在，或称之为，或称之为发散发散.第四十页，讲稿共五十页哦222220000lim(2)limxxyyxyx yxyxy（1）22222 22,)(0,0),)(0,0)limlim1x yx yy kxy kxxykxkxyxk xk（当当k取不同值时，其极限不同，故原式极限取不同值时，其极限不同

23、，故原式极限(1)当当(x,y)沿射线沿射线 y=kx 趋于趋于(0,0)时，有时，有判断下列极限是否存在判断下列极限是否存在,若存在求出其值若存在求出其值.不存在不存在.返回返回第四十一页，讲稿共五十页哦22212x yxxy222xyxy(2)由由得得102x ，由此，当由此，当(x,y)(0,0)时，时，22200lim0.xyx yxy故故第四十二页，讲稿共五十页哦(,)(6,0)(,)(6,0)sinlimlim6.x yx yxyxyyy(1)当当(x,y)(6,0)时，时，xy 0，sin xy xy，求下列极限求下列极限.(,)(1,0)ln(1)limx yxyy(1)(,)

24、(6,0)sinlimx yxyy(2)因此因此第四十三页，讲稿共五十页哦(,)(1,0)(,)(1,0)ln(1)ln(1)limlimx yx yxyxyxyxy(,)(1,0)(,)(1,0)ln(1)limlim1.x yx yxyxxy(2)由乘积的极限运算法则得由乘积的极限运算法则得第四十四页，讲稿共五十页哦定义定义4-34-3设二元函数设二元函数z f(x y)在点在点 P0(x0 y0)的某邻域的某邻域),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则称函数则称函数f(x,y)在点在点P0(x0 y0)处处连续连续，否则称，否则称函函内有定义，如果极限内有定义，如果

25、极限数数f(x,y)在点在点P0(x0 y0)处处间断（不连续）间断（不连续）.第四十五页，讲稿共五十页哦 如果二元函数如果二元函数f(x,y)在区域在区域D内每一点处都连续内每一点处都连续,形是一张连续的曲面形是一张连续的曲面.二元连续函数的和、差、积和商（分母不二元连续函数的和、差、积和商（分母不则称则称 f(x,y)在在 D内连续内连续，此时，此时 z=f(x,y)在在D内的图内的图为零）及复合函数是连续的为零）及复合函数是连续的.第四十六页，讲稿共五十页哦二元初等函数就是由二元初等函数就是由x,y的基本初等函数经的基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算，并能用一个统一的过有限次四则运

26、算和复合运算，并能用一个统一的解析式来表示的函数解析式来表示的函数.一切二元初等函数在其定义域一切二元初等函数在其定义域的区域内处处连续的区域内处处连续.第四十七页，讲稿共五十页哦当当(x,y)=(0,0)时，由例时，由例5中中(1)知知 f(x,y)在在试讨论函数试讨论函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx yxyf x yx y的连续性的连续性.当当(x,y)(0,0)时，时，f(x,y)为初等函数为初等函数，故故函数在函数在(x,y)(0,0)处的点连续处的点连续.(0,0)处不连续处不连续.第四十八页，讲稿共五十页哦有界闭区域上连续二元函数具有以下有界闭区域上连续二元函数具有以下性质：性质：(1)最值定理最值定理 在有界闭区域上连续的二元函数，必有最大值在有界闭区域上连续的二元函数，必有最大值在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介和最小值和最小值.于最大值与最小值之间的任何值于最大值与最小值之间的任何值.(2)介值定理介值定理#第四十九页，讲稿共五十页哦感谢大家观看感谢大家观看第五十页，讲稿共五十页哦