无穷积分的性质与收敛判别.ppt

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1、关于无穷积分的性质与收敛判别现在学习的是第1页，共38页一、无穷积分的性质:无穷积分有三类(),af x dx(),bf x dx()f x dx()af x dx皆可化为讨论.(),af x dx因此,本节将只对进行研究所得结论适合所有的无穷积分.现在学习的是第2页，共38页:()lim()xaaxf t dtf t dt由无穷积分定义,于是 我们可以把函数极限的性质转化为无穷积分的性质.由函数极限的柯西收敛准则:lim(),xF x存在0,0,:,:Mx xxM xM 有()().F xF x应用于无穷积分定义,有:有有穷极限现在学习的是第3页，共38页证()()d,),()duaaF u

2、f xx uaf xx设设则则lim().uF u收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在极极限限由由函函数数极限的柯西准则,此等价于()daf xx收敛的充要条件是:0,Ga 1221()d()d()d.uuuaauf xxf xxf xx 12,u uG当当时时(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 定理11.112120,()(),Gau uGF uF u 现在学习的是第4页，共38页1221()d()d()d.uuuauaf xxf xxf xx 性质11212()d()d,aafxxfxxkk 若若与与都都收收敛敛为任意常数,则 1122()()dak fxk fxx即根据反常积分定义,

3、容易导出以下性质1 和性质2.,也也收收敛敛 且且1122()()dak fxk fxx1122()d()d.aakfxxkfxx 现在学习的是第5页，共38页()d()d(),abf xxf xxba 与与()d()d()d.baabf xxf xxf xx 同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散，且且性质2,fa u若若在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积,则则证明:,ua,:由定积分的区间可加性 有()()()()ubuaabf x dxf x dxf x dx,()af x dx 于是lim()uauf x dx存在lim()ubuf x dx存在()bf x dx/现在学习的是第6

4、页，共38页h(x)在任意 a,u上可积,且()d()daaf xxg xx和和()d.ah xx都都收收敛敛,则则收收敛敛证 因为()d()daaf xxg xx和和收敛,由柯西准则的必要性,210,GauuG 例1),),()()(axxgxhxf,f(x),g(x),若现在学习的是第7页，共38页2211()d,()d,uuuuf xxg xx 222111()d()d()d,uuuuuuf xxh xxg xx 再由柯西准则的充分性,()d.ah xx证证得得收收敛敛即即21()d.uuh xx()()(),f xh xg x又又因因为为所所以以现在学习的是第8页，共38页若无穷积分(

5、)d,()daaf xxf xx收收敛敛 则则称称以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.何有限区间 a,u上可积,()d,af xx且且收收敛敛 则则()daf xx 亦亦必必收收敛敛,并并且且()d()d.aaf xxf xx性质3(绝对收敛的无穷积分必收敛)若 f 在任绝绝对对收收敛敛.现在学习的是第9页，共38页210,GauuG 当当时时21()d,uuf xx 因此2211()d()d.uuuuf xxf xx 再由柯西准则的充分性,()daf xx推推知知收收敛敛.()dlim()d()d.uaaauf xxf xxf xx又对任意()d()d,uuaaf xxf xx于于是

6、是,ua证()d,af xx收收敛敛由柯西准则的必要性,对因现在学习的是第10页，共38页1sind()xxx ax因因此此绝绝对对收收敛敛.收敛的无穷积分()daf xx不一定是绝对收敛的.()d|()|d,aaf xxf xx若若收收敛敛而而发发散散 则则称称()daf xx条条件件收收敛敛.例21sind(0)()xxax ax的收敛性.判别解sin1,()xx axx x而而3 211dxx收收敛敛,由于现在学习的是第11页，共38页,),()d.uauaf xxM二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理(非负函数无穷积分的判别法)设定义在 上的非负函数 f 在任何,)a ,a u 上上可

7、可积积 则则()daf xx收敛的充要条件是:0,M使使现在学习的是第12页，共38页lim().uF u条条件件是是存存在在12()0,f xuu由由于于当当时时，2121()d()d()d0,uuuaauf xxf xxf xx证()()d,uaF uf xx()daf xx则则收收敛敛的的充充要要设,),()d.uauaf xxM有有增函数的收敛判别准则,lim()uF u存存在在的的充充要要条条从而 F(u)是单调递增的(,).ua由单调递(),)F ua 件件是是在在上上有有界界,0,M即即使使现在学习的是第13页，共38页()(),),f xg xxG非负函数 f,g 在任何有限区

8、间a,u上可积,且定理11.2(比较判别法)设定义在 上的两个,)a 存在 满足,Ga()d,()daaf xxg xx 当当发发散散时时亦亦发发散散.()d,()daag xxf xx则则当当收收敛敛时时亦亦收收敛敛;现在学习的是第14页，共38页证()dag xx若若收收敛敛,0,),Mua则则()d.uag xxM()d()d.uuaaf xxg xxM因因此此由非负函数无穷积分的判别法,()daf xx收收敛敛.第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.现在学习的是第15页，共38页516d1xx收收敛敛.例3 判别516d1xx 的收敛性.解6 51dxx由由于于收收敛敛,因因此

9、此6 56511.1xx显然现在学习的是第16页，共38页22()d()daafxxgxx明明:若若和和收收敛敛,则则()()d.af x g xx收收敛敛设 f(x),g(x)是 上的非负连续函数.证 ,)a 例4 2222()()11d()d()d222aaafxgxxfxxgxx()()d.af x g xx收收敛敛,因因此此收收敛敛证22()()()(),2fxgxf x g x而而由于 现在学习的是第17页，共38页推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 a,u 上可积,且()lim.()xf xcg x)i(0()d()daacf xxg xx若若，则则与与收收敛敛性性相相同同;(

10、ii)0,()d()daacg xxf xx若若则则由由收收敛敛可可得得收收敛敛;(iii),()d()daacg xxf xx 若若则则由由发发散散可可得得发发散散.现在学习的是第18页，共38页证 ()(i)lim0,()xf xcGaxGg x由由故故存存在在使使有有(),()2f xccg x即 3()()().22ccg xf xg x()d,()d2aacf xxg xx若若收收敛敛 则则可可得得收收敛敛,从从而而()d()d,aag xxg xx收收敛敛.反反之之,若若收收敛敛 可可得得3()d()d.2aacg xxf xx收收敛敛,从从而而收收敛敛现在学习的是第19页，共38

11、页()(ii)lim0,()xf xGaxGg x由由存存在在使使有有()(),),()daf xg xxGg xx即即因因此此由由收收敛敛()d.af xx可可推推得得收收敛敛()1,()f xg x()(iii)lim,()xf xGaxGg x由存在使有由存在使有()(),),()daf xg xxGg xx即即因因此此由由发发散散()d.af xx可可推推得得发发散散()1,()f xg x现在学习的是第20页，共38页1(i)()(1),()dpaf xpf xxx若若则则收收敛敛;推论2 设 f 是定义在 上的非负函数,在任何,)a ,a u有有限限区区间间上上可可积积.1(ii)

12、()(1),()d.paf xpf xxx若若则则发发散散)i(1,0,()dapf xx 当当时时收收敛敛;)ii(1,0,()d.apf xx 当当时时发发散散lim(),pxx f x 若若则则限区间 a,u 上可积.推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有,)a 说明:推论3是推论2的极限形式.现在学习的是第21页，共38页例5 讨论1lndkpxxx的收敛性(k 0).解(i),1时时p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推论论3 3知知道道收收敛敛)ii(1ln1,limlimln.kpkpxxxpxxxx 时时1lnd

13、.kpxxx因因此此同同理理知知道道发发散散现在学习的是第22页，共38页Ex1.112的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xxdx解,111lim22 xxxx所给广义积分收敛Ex2.1122/3的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解2222/31lim1limxxxxxxxx ,根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散现在学习的是第23页，共38页Ex3.arctan1的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分dxxx 解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散20sin1xdxxEx4:讨论的收敛性解:22sin1,11x

14、xx2011dxx 而,由比较审敛法知20sin,1xdxx 20sin.1xdxx即绝对收敛现在学习的是第24页，共38页15xx e dx:讨论Ex的收敛性,:实数 都有解2limxxxx e2limxxxe0,由柯西审敛法的极限形式,2,0pd()1.xx e dx 现在学习的是第25页，共38页证).)()(21)(xfxfx 令令()()aaf x dxf x dx Ex6:用比较审敛法证明：,)()(0)(xfxx ，且，且,)(收收敛敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa ,)()(2)(xfxxf 但但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaad

15、xxfdxxdxxf 即收敛.现在学习的是第26页，共38页Ex7.)0,(sin0的收敛性的收敛性常数常数都是都是判别广义积分判别广义积分 abadxbxeax解.,sin0收收敛敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收敛收敛 dxbxeax所以所给广义积分收敛.现在学习的是第27页，共38页三、一般函数无穷积分的判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.定理11.3(狄利克雷判别法）()()duaF uf xx若若0()()d.af x g xx单单调调趋趋于于，则则收收敛敛,)(),)ag xax 在在上上有有界界，在在上上当当时时lim()0,xg x,),()d.0,uauaf xx

16、M 设设由由于于证,().4Ga xGg xM 存存在在时时故现在学习的是第28页，共38页,g因因为为单单调调函函数数 由由积积分分第第二二中中值值定定理理 对对任任意意的的221112()()d()()d()()d,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx 22.44MMMM 22()()d()duaag uf xxf xx 11()()d()duaag uf xxf xx 2112()()d()()duug uf xxg uf xx 21()()duuf x g xx2112,uuGu u 使得于于是是因此,由柯西准则，()()d.af x g xx收收敛敛现在学习的是第29

17、页，共38页,)()()d.aaf x g xx在在上上单单调调有有界界，则则收收敛敛证 证法1(),),g xM xa设设由由于于()d,af xx收收敛敛210,GauuG 则则当当21()d.4uuf xxM 定理11.4(阿贝尔判别法)()d,()afxxg x若若收收敛敛由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 2112,uuGu u 使得 21duuf x g xx2112()()d()()d.uug uf xxg uf xx 现在学习的是第30页，共38页21()()duuf x g xx2112()()d()()duug uf xxg uf xx .442MMMM由柯西

18、准则,()()d.af x g xx收收敛敛因因此此现在学习的是第31页，共38页证法2(),),g xaA因因在在上上单单调调有有界界 故故存存在在使使lim().xg xA11()(),(),)0.g xg xAg xa令令则则在在上上单单调调趋趋于于()d,()()duaaf xxF uf xx又又因因收收敛敛 故故在在,),a 上上有有界界由狄利克雷判别法1()()daf x g xx()()daf x g xx1()()d()d.aaf x g xxAf xx收收敛敛收敛,所以现在学习的是第32页，共38页例611sincosdd(0)ppxxxx pxx讨讨论论与与的收敛性.收敛.

19、解sin11,ppxpxx当当时时 由由于于1sindpxxx因因此此绝绝对对01,1pu若若则则当当时时10px而而单单调调趋趋于于，因因此此由狄利克雷判别法推知1sind.pxxx收收敛敛另一方面，1sindcos1cos2,ux xu现在学习的是第33页，共38页2sinsin1cos2,1,),22pxxxxxxxx12cos21cosdd22xtxtxt其其中中满满足足狄利克雷判别法条件,是收敛的；1d2xx而而发发散散，因因此此1sin01dpxpxx当当时时,条条件件收收敛敛;1sind.,pxxx发发散散 总总之之1sin1dpxpxx 当当时时，绝绝对对收收敛敛.现在学习的是

20、第34页，共38页类似可证:1cos01dpxpxx当当时时，条条件件收收敛敛;1cos1dpxpxx 当当时时，绝绝对对收收敛敛.现在学习的是第35页，共38页:7 证明下列无穷积分都是条件例收敛的:224111(1)sin;(2)cos;(3)sin.x dxx dxxx dx:(1)证明21sin x dx2t x令1sin2tdtt6,由例 知21sin.x dx条件收敛(2)(1).证法同41(3)sinxx dx2t x令211sin2t dt(1),由知41sinxx dx条件收敛.当x+时,被积函数即使不趋于0,甚至无界,无穷积分仍有可能收敛.现在学习的是第36页，共38页复习思考题1.(),),()d,af xaf xx设设在在非非负负收收敛敛 是是否否一一定定10,(),)?Maxf xM 存存在在使使在在上上有有界界33.()d()d?aaf xxfxx若若收收敛敛,能能否否推推得得收收敛敛反之呢?()2.(),)daff xaxx设设在在非非负负,收收敛敛,试试问问此此时时lim()0?xf x是是否否必必有有现在学习的是第37页，共38页感谢大家观看现在学习的是第38页，共38页