多元微积分讲稿.ppt

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1、多元微积分第一页，讲稿共三十一页哦重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。难点复合函数求导，多元函数极值。函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。第二页，讲稿共三十一页哦掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，掌握全微分概念会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，会求多元函数极值基本要求第三页，讲稿共三十一页哦（1）邻域 设设),(00

2、0yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点，是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 0P（2）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE 一、多元函数的概念第四页，讲稿共三十一页哦.为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE例如，41),(221 yxyx

3、E即为开集EP 的的边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEP的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDDEP 第五页，讲稿共三十一页哦例如，.41|),(22 yxyx开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.例如，.41|),(2

4、2 yxyxxyoxyo则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域第六页，讲稿共三十一页哦 41|),(22 yxyx有界闭区域；0|),(yxyx无界开区域（3）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称

5、 P 为为 E 的的聚聚点点.xyo第七页，讲稿共三十一页哦 内点一定是聚点；边界点可能是聚点；例10|),(22 yxyx(0,0)既是边界点也是聚点 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,10|),(22 yxyx(0,0)是聚点但不属于集合例如,1|),(22 yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合第八页，讲稿共三十一页哦（4）n维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称n元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个n元数元数组组),(21nxxx称为称为n维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数ix称为该点的第称为该点的第i

6、个坐标个坐标.n维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式 第九页，讲稿共三十一页哦),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离3,2,1 n n维空间中邻域、区域等概念邻域：nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义设两点为第十页，讲稿共三十一页哦（5）二元函数的定义 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的

7、二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）.类似地可定义三元及三元以上函数当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.第十一页，讲稿共三十一页哦例1 求 的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 第十二页，讲稿共三十一页哦（6）二元函数 的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP),(

8、，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.（如右图）二元函数的图形通常是一张曲面.第十三页，讲稿共三十一页哦定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数，总存在正数，总存在正

9、数，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf这里这里|0PP ）.二、多元函数的极限第十四页，讲稿共三十一页哦（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。0PP（2）二元函数的极限也叫二重

10、极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。说明：第十五页，讲稿共三十一页哦01sin)(lim222200 yxyxyx证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当 时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立例2 求证 第十六页，讲稿共三十一页哦例3 求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx

11、其中yxyxyx2200)sin(limyxu2 uuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyx第十七页，讲稿共三十一页哦例4 证明 不存在 26300limyxyxyx 证取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随k的不同而变化，故极限不存在第十八页，讲稿共三十一页哦确定极限不存在的方法：（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(

12、lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在 第十九页，讲稿共三十一页哦定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总 存 在 正 数总 存 在 正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等 式|00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为

13、APfPP)(lim0.n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有第二十页，讲稿共三十一页哦 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.例5 讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性三、多元函数的连续性第二十一页，讲稿共三十一页哦

14、解取,cos x sin y)0,0(),(fyxf)cos(sin33 2,0 ,2 当 时 220yx 2)0,0(),(fyxf),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在(0,0)处连续.例6 讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性第二十二页，讲稿共三十一页哦解取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次第二十三页

15、，讲稿共三十一页哦（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域第二十四页，讲稿共三十一页哦).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求多元函数的定义多元函

16、数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质四、小结第二十五页，讲稿共三十一页哦 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否断断定定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题第二十六页，讲稿共三十一页哦不能.例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是 不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41思考题

17、解答第二十七页，讲稿共三十一页哦练 习 题一一、填填空空题题:1 1、若若yxxyyxyxftan),(22 ,则则),(tytxf=_ _ _ _ _.2 2、若若xyyxyxf2),(22 ,则则 )3,2(f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;),1(xyf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、若若)0()(22 yyyxxyf,则则)(xf_ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、若若22),(yxxyyxf ,则则),(yxf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.函函数数)1ln(4222yxyxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _

18、 _ _ _ _ _ _ _.第二十八页，讲稿共三十一页哦 6 6、函函数数yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7 7、函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.8 8、函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.二、二、求下列各极限求下列各极限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx .第二十九页，讲稿共三十一页哦三三、证证明明：0lim2200 yxxyyx.四四、证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 .第三十页，讲稿共三十一页哦练习题答案一一、1 1、),(2yxft；2 2、1213,),(yxf；3 3、xx21；4 4、yyx 112；5 5、xyyxyx4,10),(222 ；6 6、yxyxyx 2,0,0),(；7 7、xyxxyx ,0),(xyxxyx ,0),(；8 8、02),(2 xyyx.二二、1 1、41；2 2、0 0；3 3、.第三十一页，讲稿共三十一页哦