概率论与数理统计第五章.ppt
《概率论与数理统计第五章.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计第五章.ppt(65页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、关于概率论与数理关于概率论与数理统计第五章统计第五章现在学习的是第1页,共65页设非负 r.v.X 的期望 E(X)存在,则对于任意实数 0,)()(XEXP证证 仅证连续型 r.v.的情形dxxfXP)()(dxxfx)(0)(1dxxxf)(XE 重要不等式重要不等式 5.1 大数定律大数定律现在学习的是第2页,共65页设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E(|X|k)存在,则对于任意实数 0,kkXEXP)|(|)|(|推论推论 1设随机变量 X 的方差 D(X)存在,则对于任意实数 0,2)()|)(|XDXEXP推论推论 2 切贝雪夫(chebyshev)不等式或2)(1)|)(|XD
2、XEXP当 2 D(X)无实际意义,马尔可夫(Markov)不等式现在学习的是第3页,共65页例例1 1 设有一大批种子,其中良种占1/6.试估计在任选的 6000 粒种子中,良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.解解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)01.0616000XP65000)(,1000)(XDXE)60|1000(|XP2606500017685.010883现在学习的是第4页,共65页实际精确计算1060940XP01.0616000XP1059941600060006561kkkkC959036.0用Poisson 分布近似计算10
3、60940XP01.0616000XP937934.010599411000!1000kkke取=1000现在学习的是第5页,共65页大数定律大数定律贝努里(Bernoulli)大数定律设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是每次试验中 A 发生的概率,则0有0limpnnPAn或1limpnnPAn现在学习的是第6页,共65页证证 引入 r.v.序列Xk发生次试验第发生次试验第AkAkXk,0,1设,)1(pXPk则pqXDpXEkk)(,)(nXXX,21相互独立,nkkAXn1记,11nkknXnYnpqYDpYEnn)(,)(由 Chebyshev 不等式现在学习
4、的是第7页,共65页pnnPA0故0limpnnPAn)(nnYEYPnpq21)(1knkkXEnXP现在学习的是第8页,共65页在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率 “稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指:nnA频率与 p 有较大偏差pnnA是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义nnA现在学习的是第9页,共65页定义定义a 是一常数,0limaYPnn(或)1limaYPnn则称 r.v.序列,21nYYY依概率收敛于常数 a,记作aYnPn故pnnn
5、PA,21nYYY是一系列 r.v.设0有若现在学习的是第10页,共65页 在 Bernoulli 定理的证明过程中,Y n 是相互独立的服从(0,1)分布的 r.v.序列 Xk 的算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望 p.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列现在学习的是第11页,共65页Chebyshev 大数定律,21nXXX相互独立,设 r.v.序列(指任意给定 n 1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差nXXX,21,2,1,)(,)(2kXDXEkk则0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP现在学习的是第12页,共65页定理的意义定理的意义当 n 足
6、够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术算术均值均值数学数学期望期望近似代替可被现在学习的是第13页,共65页注注2,21nXXX相互独立的条件可以去掉,代之以0112nnkkXDn注注1,21nXXX不一定有相同的数学期望与方差,可设,2,1,)(,)(22kXDXEkkkk有011lim11nkknkknnXnP现在学习的是第14页,共65页,21nXXX相 设 r.v.序列,2,1,)(iXEkki则0有01lim1knikinXnP互独立具有相同的分布,且记knikiMXn11注注3现在学习的是第15页,共65页1
7、1nPM),(21kMMMgnP),(21kg则则22nPMknPkM),(21kxxxg连续,若现在学习的是第16页,共65页第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结现在学习的是第17页,共65页一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面程方面(如外形、重量等
8、如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动的误差以及射击时武器的振动、气象因素、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等如风速、风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并并且它们中每一个对总和产生的影响不大且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.现在学习的是第18页,共65页二、基本定理二、基本定理定理四(定理四(独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极
9、限定理)则随机变量之和的则随机变量之和的和方差:和方差:且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量),2,1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1现在学习的是第19页,共65页 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数定理四表明定理四表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxt).(de2122 现在学习的是第20页,
10、共65页,0|1,),2,1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差:和方差:们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)现在学习的是第21页,共65页则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数xxFn)(xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 现在学
11、习的是第22页,共65页定理五表明定理五表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.现在学习的是第23页,共65页 xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,),2,1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量证明证明根据
12、第四章第二节例题可知根据第四章第二节例题可知,1 nkknX 分分布布律律为为分分布布的的随随机机变变量量一一是是相相互互独独立立的的、服服从从同同其其中中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)现在学习的是第24页,共65页,)(pXEk),2,1()1()(nkppXDk 根据定理四得根据定理四得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxt).(de2122 定理六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时
13、充分大时,可可以利用该定理来计算二项分布的概率以利用该定理来计算二项分布的概率.现在学习的是第25页,共65页下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.现在学习的是第26页,共65页三、典型例题三、典型例题.105,)1,0(,)20,2,1(20201的近似值的近似值求求记记上服从均匀分布上服从均匀分布且都在区间且都在区间机变量机变量设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随个噪声电压个噪声电压一加法器同时收到一加法器同时收到 VPVVkVkkk解解,5)(kVE).20,2,1(12100)(kVDk由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分
14、布近似服从正态分布 N(0,1),例例1现在学习的是第27页,共65页2012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387.02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02de2112tt)387.0(1 .348.0 现在学习的是第28页,共65页 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲已知每遭受一次海浪的冲击击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90 000次次波浪冲击波浪冲击,问其中有问其中有29 50030
15、500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的的概率是多少?概率是多少?解解 将船舶每遭受一次海浪将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,.)31,00090(bX且且例例2现在学习的是第29页,共65页所求概率为所求概率为3050029500 XP.323190000900003050029501kkkk 分布律为分布律为kXP,32310009000090kkk .00090,1 k直接计算很麻烦,利用直接计
16、算很麻烦,利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP现在学习的是第30页,共65页 )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995.0 现在学习的是第31页,共65页 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每人每年交每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万万元元.设
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 第五
限制150内