复变函数区域和边界讲稿.ppt

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1、复变函数区域和边界复变函数区域和边界第一页，讲稿共十八页哦1、区域的概念、区域的概念(1)邻域邻域:说明说明.,0 ,点的邻域点的邻域称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 MMz000 ,():.zrzzrzr 平平面面上上以以为为中中心心任任意意的的正正数数 为为半半径径的的圆圆内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的 邻邻域域2第二页，讲稿共十八页哦(2)去心邻域去心邻域:说明说明.,zMMz可以表示为可以表示为域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合仅满足仅满足内内不包括无穷远

2、点自身在不包括无穷远点自身在00 0 .zzrz称称由由不不等等式式所所确确定定的的点点的的集集合合为为的的去去心心邻邻域域3第三页，讲稿共十八页哦(3)内点内点:(4)开集开集:如果如果 D 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末D称为开集称为开集.000,.,.DzDzDzG设设为为一一平平面面点点集集为为中中任任意意一一点点 如如果果存存在在 的的一一个个邻邻域域 该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属于于那那末末 称称为为 的的内内点点4第四页，讲稿共十八页哦(5)区域区域:如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它为一则称它为一个区域个区域.(1

3、)D是一个是一个开集开集；(2)D是是连通的连通的,就是说就是说D中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.(6)边界点、边界边界点、边界:设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点 P P 不属于不属于D,但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.5第五页，讲稿共十八页哦D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界.说明说明 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的组成的.区域区

4、域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域.Dz 1C2C3Cz 1C2C3C6第六页，讲稿共十八页哦以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域:.,0,界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD 7第七页，讲稿共十八页哦(1)圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列

5、区域是否有界?(2)上半平面上半平面:;0Im z(3)角形域角形域:;arg21z(4)带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.xyo8第八页，讲稿共十八页哦2、单连通域与多连通域、单连通域与多连通域(1)连续曲线连续曲线:.,)(),(,)(,)()(称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:)().()()(btatiytxtzz 9第九页，讲稿共十八页哦(2)光滑曲线光滑曲线:由几段依次相接的光滑

6、曲线所组成的曲线称为按段由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线光滑曲线.xyoxyo ,()()0,atbx ty t 如如果果在在上上和和都都是是连连续续的的且且不不全全为为 那那么么称称这这曲曲线线为为光光滑滑的的.10第十页，讲稿共十八页哦(3)简单曲线简单曲线:.)()(,)()(:的的起起点点和和终终点点分分别别称称为为与与为为一一条条连连续续曲曲线线设设CbzazbtatzzC .)(,)()(,121212121的的重重点点称称为为曲曲线线点点时时而而有有当当与与的的对对于于满满足足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称

7、为简单曲线(或若尔当曲或若尔当曲线线).).11第十一页，讲稿共十八页哦.,)()(,为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC 换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲线线 C 将复平面唯一地将复平面唯一地分成三个互不相交的分成三个互不相交的点集点集.xyo内部内部外部外部边界边界12第十二页，讲稿共十八页哦课堂练习课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?是否是否是闭曲线是闭曲线答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单

8、单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 13第十三页，讲稿共十八页哦(4)单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单如果在其中任作一条简单闭曲线闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D,就称为单连通域就称为单连通域.一一个区域如果不是单连通域个区域如果不是单连通域,就称为多连通域就称为多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域14第十四页，讲稿共十八页哦3、典型例题、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界是有

9、界的还是无界的的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.2 1)5(;4 1 1-)4(;31)3(;3 arg)2(;1 )Re()1(2zzzzzz解解 ,)1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz ,11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).15第十五页，讲稿共十八页哦3arg)2(z,3arg33arg zz是角形域是角形域,无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3(z,3131 zz,31,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域无界的多连通域.16第十六页，讲稿共十八页哦411)4(zz表示到表示到1,1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹,是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.21)5(z圆环形区域，有界，多连通17第十七页，讲稿共十八页哦感谢大家观看感谢大家观看9/6/2022第十八页，讲稿共十八页哦