多元函数积分学基础讲稿.ppt

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1、第一页，讲稿共一百三十页哦第八章 多元函数积分学基础 在本章中，将把一元函数定积分的概念及其性质推广到多元函数的情形，这就是二重积分、三重积分和曲线积分，积分的范围不再是定积分中x轴上的一个区间，而分别是一个平面区域、一个空间区域与一条曲线.下面首先学习有关二重积分知识.二重积分是本章基础部分，同是也是本章的重点内容.第二页，讲稿共一百三十页哦一、实例1.曲顶柱体的体积,(,)(,)0,(8-1)OxyzxOyDDzzfx ySf x yDSD 在空间直角坐标系中 以在平面上的有界闭区域 为底 以 的边界曲线为准线 母线平行于 轴的柱面为侧面 以表示的曲面 为顶 这里且在 上连续 的几何体称为

2、以曲面 为顶 区域 为底的曲顶住体 见图图8-1 曲顶柱体Oxyz(,)zf x yD第三页，讲稿共一百三十页哦(,),f x y由于曲顶柱体的高是变动的 因此它的体积不能直接用公式体积=底面积 高来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱体的体积123(1),(1,2,),(1,2,),(1,2,).niiiDniniinniVin用有限条曲线把闭区域 任意分割为 个小闭区域同时表示第 个小闭区域的面积 再以每个小闭区域为底将曲顶柱体划分为 个小曲顶柱体 其中第 个小曲顶体的体积记为第四页，讲稿共一百三十页哦(2)(,)(82),(,)iiiiiiiP x yVf x y 在

3、每个小闭区域中任取一点见图可以近似地等于以为底 以为高的平顶柱体的体积,即(,)iiiiVf x y1(3)(,),niiiinf x yV 把 个小平顶柱体体积相加得它就是曲顶柱体体积 的近似值 即图8-2 曲顶柱体划分Di()iiP x y(,)zf x yxyzO第五页，讲稿共一百三十页哦1(,)niiiiVf x y11(4),(,)()0,(,),niiiiniiiiDf x yVnf x yV对闭区域 的分割不断加细加密就越来越近曲顶柱体的体积.当 个小闭区域的最大直径 指有界闭区域上任意两点的最大距离时的极限就是即01lim(,)niiiiVf x y第六页，讲稿共一百三十页哦2

4、.非均匀薄片的质量,(,)(,),.DP x yx ym设有一块密度不均匀的薄片在它上面任一点处的面密度为求这块薄片的质量对于面密度均匀的薄片的质量有计算公式质量=面积 面密度,m现在面密度是变量.因此,所求质量 不能直接由上述公式来计算 但因为在很小的区域内面密度变化很小 近似于均匀密度,所以采用划分的方法来计算.123(1),(1,2,),.niiDninim用有限条曲线把闭区域 任意分割为 个小闭区域同时表示第 个小闭区域的面积 其对应质量为第七页，讲稿共一百三十页哦(2)(,),(,)(,),iiiiiiiiiiP x ymP x yx y在每个小闭区域中任取一点可以近似地等于以为面积

5、 以处密度为的均匀面密度的质量 即(,)iiiimx y1(3)(,),niiiinx ym 把 块小闭区域的质量近似值相加得它就是非均匀薄片的质量 近似值 即1(,)niiiimx y第八页，讲稿共一百三十页哦11(4),(,),0,(,),niiiiniiiiDx ymnx ym对闭区域 的分割不断加细加密就越来越接近于薄片的质量当 个小闭区域的最大直径时的极限就是即01lim(,)niiiimx y,在许多实际问题的研究中 像上面两实例一样 最终都可归为和式极限 所以有必要对这一形式的极限进行讨论 从而抽象出二重积分的定义.第九页，讲稿共一百三十页哦二、二重积分的定义1(,)(1,2,)

6、.(,)(,),(,)(,)iiniiiiiiDf x yDDninx yf x yf x yDf x y d义 设是有界闭区域 上的有界函数,将 任意分割为个小闭域同时它也表示其面积在每个小区域上任取一点并做和式若当各个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时,这个和式的极限存在,则称此极限为函数在闭区域 上的二重积分,记作,即定01(,)lim(,)niiiiDf x y df x y第十页，讲稿共一百三十页哦,(,),(,),.f x yf x y ddxyD式中叫作被积函数叫作被积表达式叫作面积元素与 叫作积分变量叫作积分区域(,),(,).Df x y df x yD如果存在 那么称在区域

7、 上可积根据二重积分的定义,前面两个实例可分别写成二重积分形式如下.(,)Vzf x yD曲顶柱体的体积等于曲顶在其底所在闭区域 上的二重积分(,)DVf x y d(,)mx yD非均匀薄片的质量 等于其密度在面积区域 上的二重积分(,)Dmf x y d第十一页，讲稿共一百三十页哦关于二重积分的定义的几点说明:(1),DxyDxyx yddxdyddxdy 因为二重积分的存在与闭区域 的划分方式无关 所以可以用平行于 轴和 轴的直线划分区域这样 每个小区域大体上为小矩形.若把小矩形的边长分别记作则于是面积元素可改写为即并且(2)(,)0,;(,)0,(,)f x yf x yxOyf x

8、yD当被积函数时 二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积 当被积函数时 柱体在平面下方二重积分为负值 而二重积分的绝对值仍然为柱体的体积.所以在闭区域上的二重积分的数值都可用它在各个部分区域上的曲顶柱体体积的代数和来表示,这就是二重积分的几何意义.第十二页，讲稿共一百三十页哦三、二重积分的性质 由于二重积分和定积分都是和式极限,所以它们有着相似的特征,下面给出二重积分的基本性质.质 被积函数中的常数因子可以提到二重积分号外面,即性1(,)(,)DDkf x y dkf x y d质 有限个函数的代数和的二重积分,等于各个函数的二重积分的代数和,例如性2(,)(,)(,)(,)DDDf x yg x

9、 y df x y dg x y d第十三页，讲稿共一百三十页哦,DD质 如果闭区域 被有限条曲线为有限个部分闭区域 那么在 上的二重积分等于各个部分区域上的二重积分的和.例如性31212(,)(,)(,),()DDDf x y df x y df x y dDDD这一性质表示二重积分对积分区域具有可加性.,(,)1,Df x yD质 如果在闭区域 上为 的面积 那么性41DDdd,1,.这一性质的几何意义很明显 因为高为的平顶柱体的体积 在数值上就等于柱体的底面积第十四页，讲稿共一百三十页哦,(,)(,),Df x yg x y质 如果在闭区域 上那么有不等式性5(,)(,)DDf x y

10、dg x y d,特别地 由于(,)(,)(,)f x yf x yf x y则又有不等式(,)|(,)|DDf x y df x yd第十五页，讲稿共一百三十页哦(,),Mmf x yDD质设和 分别为在闭区域 上的最大值和最小值是 的面积,则有不等式性6(,)Dmf x y dM()(,),(,)f x yDDD 质 二重积分的中值定理 设函数在闭区域 上连续是 的面积 则在 内至少存在一点使得下列等式成立性7(,)(,)Df x y df (,),.中值定理的几何意义为:对于任意的曲顶柱体,必存在一个以曲顶柱体的底为底,以过其底上某一点的那条高为高的平顶柱体 它的体积等于这个曲顶柱体的体

11、积第十六页，讲稿共一百三十页哦23()(),1.DDxy dxy dDxyxy 比较二重积分与其中 由 轴轴及直线围成例12383,01,()(),Dxyxyxy 如图所示 在 上任点有则由性质5得23()()DDxydxy d解图8-3 例1示意图Oxy1xy1D第十七页，讲稿共一百三十页哦22(1),;01,02.DIxydDxy 利用二重积分的性质估计积分的值其中 是矩形闭区域例222116,2,6DxyD 因为在 上有而 的面积为所以由性质可得22(1)12Dxyd2解第十八页，讲稿共一百三十页哦思考题1.,0;二重积分的几何意义是什么?其中Df x y df x,y答案2.,1.,已

12、知则的值为多少?Dfx yfx y d答案3.应用对称性计算二重积分时应注意些什么?答案第十九页，讲稿共一百三十页哦课堂练习题2lnln.1.根据二重积分性质比较积分与(是矩形闭区域35,01)的大小DDxy dxydDxy答案2.(01,01).利用二重积分的性质估计积分I=是矩形区域的值的范围Dxy xy dDxy答案第二十页，讲稿共一百三十页哦 在实际应用时,用二重积分的定义和性质去计算二重积分是十分复杂和困难的.本节将介绍一种实用的计算方法,此种方法主要是把二重积分的计算化成连续计算的两次定积分,即二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分,(,)0,(,),(,).Df x yf x

13、y dDf x y由二重积分的几何意义可知 当时的值等于以区域 为底以曲面为顶的曲顶柱体的体积第二十一页，讲稿共一百三十页哦12()(),;(84)Dxyx axb设底面区域 为见图10200010200()000()0,(),()(,)()(,),xxa bxxxxxxzf xyA xf xy dyxabxxx 在区间上任意选定一点过该点作垂直于 轴平面截曲顶柱体得一截面 此截面为一个以区间为底以曲线为曲边的曲边梯形(见图8-5),由定积分的几何意义可得截面积因为是 与 之间的任意点 所以把 记为 可得在 处的截面面积为图8-4 积分区域OOabD()2xyabD()2xyxyxy()a积分

14、区域()b积分区域第二十二页，讲稿共一百三十页哦1020()()()(,),()xxA xfx y dyaxb由已知平行截面面积计算体积的公式可得曲顶柱体的体积为()baVA x dx21()()(,)bxaxf x y dy dx xyzOb0 xa1()yx2()yx(,)zf x yD图8-5 截面图形第二十三页，讲稿共一百三十页哦,.,(,),()()(),yxyxf x yyyxxxxabyx12 上式表明 计算二重积分时 可以化为先对 再对 的二次积分来计算先对 积分时 把 看作常量只看作 的函数 并对计算从到的定积分,然后把计算结果 关于 的函数 再对 计算从 到 的定积分.从而

15、得到把二重积分化为先对 再对的二次积分公式为即有21()()(,)(,)bbxaaxDf x y ddxf x y dy 第二十四页，讲稿共一百三十页哦21()()(,)(,)bxaxDf x y dxdydxf x y dy 12,()(),(86),Dyxy cydxy 类似地 若底面区域 为见图则可得到把二重积分化为先对再对 的二次积分公式图8-6 积分区域Oxycd1()xyD2()xyOxycdD1()xy2()xy()a积分区域()b积分区域21()()(,)(,)dycyDf x y dxdydxf x y dx第二十五页，讲稿共一百三十页哦关于公式的几点说明:(1),(,)0,

16、(8 10),(811)zf x y在上述结论中 假设实际上式式的成立不受此条件限制(2),:.DxyDDD应用公式时 积分区域 必须满足以下条件 平行于 轴或轴的直线与区域 的边界曲线的交点不多于两个若不具备此条件,把区域 分成若干小闭区域(见图8-7),使每个小闭区域都能满足上述条件,然后应用公式算得各部分区域上的二重积分,则它们的和就为闭区域 上的二重积分.图8-7 积分区域分割xyO第二十六页，讲稿共一百三十页哦323(3),1,01.Dxx yy dxdyDxy 计算其中 是矩形闭区域:0例11132332300(3)(3)Dxx yy dxdydxxx yy dy()D画出积分区域

17、见图8-8113224003124x yx yydx13203124xxdx14301111424xxx解图8-8 例1示意图O11xyD第二十七页，讲稿共一百三十页哦,.,yxxyyx在把二重积分化为二次积分时 可以先对 积分 再对 积分 也可以先对 积分 再对 积分当积分区域为矩形时由于两次分限均为常量 所以先对 积分还是先对 积分,在计算时都很方便.但当积分区域为其他形状时,选择积分次序是否恰当将直接影响计算的难易程度.(32),2.Dxy dxdyDxy 计算其中 是由两坐标轴及直线所围成的闭区域例2(89)2,02,Dyxx画出积分区域见图可表示为:0解x图8-9 例2示意Oy2xy

18、22第二十八页，讲稿共一百三十页哦2200(32)(32)xDxy dxdydxxy dy 222003xxyydx220(224)xxdx2320220433xxx 第二十九页，讲稿共一百三十页哦(123),:,2,2.Dxy dxdyDyx yxx 计算其中 是由三条直线所围成的区域例3(8 10):2,02.Dxyxx画出积分区域见图可表示为220(123)(123)xxDxy dxdydxxy dy 22203122xxxyydx22230033114422x dxx解O242yxyx2x(2,4)(2,2)2xy810图 例3示意图第三十页，讲稿共一百三十页哦22(),:2,2.Dx

19、yx dxdyDyyxyx 计算其中 是由三条直线所围成的区域例4(8 11)D画出积分区域见图:,02.2yDxyy区域 可表示为2222202()()yyDxyx dxdydyxyx dx2322021132yyxy xxdy2320193248yydy224300191169683yy方法一解图8-11 例4示意图a121xy2yx2y yxDO第三十一页，讲稿共一百三十页哦1212,(812).:2,01,:2,12.DD DDxyxxDxyx 区域分成两部分见图表示为表示为方法二图8-2 例4示意图b xy12122yxyx(1,2)(2,2)2y 2D1DO第三十二页，讲稿共一百三

20、十页哦22()Dxyx dxdy122222()()DDxyx dxdyxyx dxdy1222222201()()xxxdxxyx dydxxyx dy 22122323011133xxxx yyxydxx yyxydx12323201104832333xxdxxxxdx12434320151186333xxxxxx 1513236由此可见,计算时恰当选择积分次序将使运算简便.第三十三页，讲稿共一百三十页哦二、在极坐标系下计算二重积分在计算二重积分时,如果其被积函数和积分区域的边界曲线用极坐标表示比较简单,那么应考虑在极坐标系下进行计算.cossinxryr由极坐标变换公式(),(,)(co

21、s,sin),.Drrf x yf rrd 积分区域 的边界曲线可化为被积函数可变为下面研究如何用极坐标表示面积元素,.Dxyddxdy由于二得积分的值与区域 的划分式无关,因此在直角坐标系中采用了平行于 轴和 轴的直线划分区域 使得面积元素第三十四页，讲稿共一百三十页哦,()(=),(8-13),ODDrn 在极坐标系下,可采用相似方法,假设从极点 出发且穿过区域内部的射线与区域 的交点不多于两点 用一族以极点为心的同心圆常量 和一族从极点出发的射线常量 将区域分成 个小闭区域 见图这些小闭区域的面积可近似地看作小矩形面积,即813D图 在极坐标系下分割1()rr2()rrrrrr 第三十五

22、页，讲稿共一百三十页哦()rrr r drdrd所以面积元素为,这样 就可把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分(,)(cos,sin)DDf x y dxdyf rrrdrd,.,.r在计算时 仍然要把它化为二次积分下面介绍先对 积分 再对 积分的方法(1)(8 14),:DD极点在区域 之外 见图这时 闭区域 可表示为图8-14 极点在D之外AB1()rr2()rrD第三十六页，讲稿共一百三十页哦12()(),rrr 则有21()()(cos,sin)(cos,sin)rrDf rrrdrddf rrrdr(2)(8 15)D极点在区域 的边界上 见图(),Drr 这时,闭区域

23、可表示为0则有图8-15 极点在边界上rOD()rr第三十七页，讲稿共一百三十页哦(3)(8 16)D极点在区域 之内 见图,:(),02,Drr这时 闭区域 可表示为 0则有2()00(cos,sin)(cos,sin)rDf rrrdrddf rrrdr图8-16 极点在D内DOr()rr(cos,sin)Df rrrdrd()0(cos,sin)rdf rrrdr第三十八页，讲稿共一百三十页哦2222,:4.xyDedDxy 计算其中 是圆形区域例52,:re被积函数用极坐标表示为积分区域用极坐标表示为2,02.r0所以22222200 xyrrDDedre ddre dr2220012

24、red224400111(1)222ede4(1)e解第三十九页，讲稿共一百三十页哦222222,:,(0)Dxy dDaxybba计算其中 是环形闭区域例6,r被积函数用极坐标表示为,02,rb积分区域用极坐标表示所以222220baDDxy dr drddr dr223220011()33bardba d22222012()()33baba解第四十页，讲稿共一百三十页哦思考题1.重积分化为累次积分后,其上限是否可以小于下限?为什么?答案2.当二重积分的被积函数是绝对值函数时,如何计算它的值?答案,.3.试由二重积分公式写出极坐标系下二重积分公式Df x y d答案第四十一页，讲稿共一百三十

25、页哦课堂练习题221.,14.将二重积分化为极坐标系下二次积分 其 为圆环域Df x y dDxy答案2.1,:22,11.43计算二重积分DxydDxy 答案第四十二页，讲稿共一百三十页哦二重积分在实际在有着广泛的应用.本节将介绍它在求几何体的体积,平面薄片的质量以及平面薄片的重心等方面的应用.一、体积由二重积分的几何意义可知,曲顶柱体的体积可以用二重积分表示.因此可以利用二重积分计算几何体的体积.2229,(0).xyzz 求半球体的体积例1,(8 17)由对称性可知 所求体积为它位于第一卦限部分 见图的体积的4倍.解第四十三页，讲稿共一百三十页哦229,zxyxOyD它在第一卦限部分可以

26、看作以为顶 以其在平面投影 为底的曲顶柱体.所以,半球体半体积为2249DVxy dxdy图8-27 例1示意图OxyzD第四十四页，讲稿共一百三十页哦2,.03,0.2rr这时 被积函数用极坐标表示为 9-积分区域用极坐标表示为则32220044DVr rdrddr rdr9-9-333222222000042(9)(9)3dr drrd 9-220042736183d第四十五页，讲稿共一百三十页哦220,0106.xyxyzxyz 求由平面及所围成的柱体被平面及抛物面截得的几何体的体积例2228 18,6,:01,01zxyDyxx 如见图所示 该几何体可以看作以为曲顶 以区域为底的曲顶柱

27、体.所以解图8-18 例2示意图zxyOD11第四十六页，讲稿共一百三十页哦11123320001417625333xyx yydxxxxdx14320125171733236xxxx11222200(6)(6)xDVxy dxdydxxy dy 第四十七页，讲稿共一百三十页哦 求两个截面半径为1dm的圆柱直交时所围成的几何体的体积.例3222211xyxz 如 图 8-19所 示,建 立 坐 标 系,则 两 个 柱 面 方 程 为和221,:01,01zxDyxx由对称性可知,所求体积为它第一卦限部分的8倍,它在第一卦限部分可以看作以为曲顶 以区域为底的曲顶柱体.所以,所求几何体的体积为解图

28、8-19 例3示意图Oxyz第四十八页，讲稿共一百三十页哦21122008181xDVx ddxx dy211122000818(1)xx ydxxdx13201168()33xxdm第四十九页，讲稿共一百三十页哦二、平面薄片的质量D 由第一节引例和二重积分定义可知,平面薄片的质量等于面密度在区域 上的二重积分.因此,可以用二重积分计算平面薄片的质量.222(0)2,(,)=,Dx yxy 设平面薄片所占的闭区域 由螺线与直线=0及=围成 它的密度为求这薄片的质量.2例4.D由二重积分的物理意义可知,薄片的质量为面密度在区域 上的二重积分所以(,)Dmx y d解第五十页，讲稿共一百三十页哦,

29、02,0,22又因为被积函数用极坐标表示为积分区域为所以(,)Dmx y d2200Dd ddd 23222000144dd4452504540第五十一页，讲稿共一百三十页哦三、平面薄片的重心.n一个物体可以看作是由 个质点组成的质点系由静力学可知,这个质点第的重心坐标为1111,nniiiiyixinniiiim xm ymmxymmmm,.yxmmmyx式中为质点系质量,与分别为质点第对 轴和 轴的静力矩,(,),Dx y设平面薄片的面积区域为面密度为由二重积分的概念和意义可知(,),(,),(,)yxDDDmx y dmxx y dmyx y d第五十二页，讲稿共一百三十页哦所以(,),

30、(,)DDxx y dxx y d(,)(,)DDyx y dyx y d,().,AAD特别地 若平面薄片是均匀的 则面密度为常量总质量为为区域 的面积 这时 它的重心坐标为11,DDxxdyydAA,.,DD此时 它的重心完全取决于区域 的形状因此 均匀薄片的重心也叫该薄片所点的平面图形 的形心.第五十三页，讲稿共一百三十页哦22(,)(,)=,.Dyxyxx yx yx y 设平面薄片所占的闭区域 由抛物线及直线所围成,它在点处的面密度为求此薄片的重心例52:,01,Dxyxx如图8-20所示,区域 为所以解图8-20 例5示意图yxOD112yxyx第五十四页，讲稿共一百三十页哦133

31、02(,)xyxDDmxx y dx yddxx ydy 211325700111222xxx ydxxxdx1680111121648xx22(,)xDDmyx y dx y d221122230013xxxxdxx y dyx ydx 115869001111133182754xxdxxx第五十五页，讲稿共一百三十页哦12202xxDmx yddxx ydy 2122012xxx ydx14601122xxdx1570111101435xx3535,4854yxmmxymm故 35 35,.48 54所以该薄片的重心坐标为第五十六页，讲稿共一百三十页哦6xy 求由坐标轴与直线2所围成的三角

32、形均匀薄片的形心.例6:062,039.DyxxA 如图8-21所示,其区域 为图形面积所以36 200119xDxxddxxdyA 解图8-21 例6示意图OD26xy63xy第五十七页，讲稿共一百三十页哦36 20019xxydx3201(62)9xx dx3230123193xx36 200119xDyyddxydyA 6 232001192xydx3201(18 122)9xx dx323012186293xxx,(1,2).所以 所求薄片的形心坐标为第五十八页，讲稿共一百三十页哦思考题1.利用二重积分求体积的根据是什么?答案2.均匀薄板的质量是如何用二重积分表示的?答案3.熟悉定积分

33、递推公式,并牢记.答案第五十九页，讲稿共一百三十页哦课堂练习题,1,0,.yx xy 1.设薄片所占的闭区域D是由=2所围成 求该均匀薄片的质量答案22222212.11,.选用适当的坐标表示积分是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 并且将其化为二次积分DxydDxyxy答案第六十页，讲稿共一百三十页哦第六十一页，讲稿共一百三十页哦(),定积分与重积分的积分区域分别是直线段 闭区间 平面与空间有界闭区域,本节介绍的曲线积分是以曲线段为积分区域的积分,主要介绍它的定义,计算方法与定积分,重积分的关系.一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分的概念和性质,(8-22),(,)(,)=(,)

34、,().LABxOyx yx yx,yLm 线质 设有一段金属细丝,其形状为一条平面曲线它位于平面直角坐标系内 见图假定已知金属丝上每一点处的线密度 由于金属丝很细故忽略其截面积为求此金属丝的质量 例1 平面曲的量第六十二页，讲稿共一百三十页哦011(,),nnux yAMMMMB由于金属丝的线密度是其上点的坐标的函数这表明分布是不均匀的,为求质量,将金属丝分成许多小段,记分点为图8-22 例1示意图Oxy1M2M 1nM0BM0AM第六十三页，讲稿共一百三十页哦11,(1,2,)(,),(,)iiijiiiiijiMMinMMmms 如图8-22所示,在每一段小弧上任取一点则小弧段的质量可近

35、似地表示为01lim(,)nijiims 11max,iiiii nsMMs 式中,为小弧段的长度,再记则金属丝的质量为第六十四页，讲稿共一百三十页哦011011211111(,),:,max,nniinniiiiiii niiLABxOyf x yLAMMMMBLnM MM MMMMMMMssMM 义 设是平面上的一段平面曲线,函数在上连续 用分点把曲线 任意地分成个小弧段记小弧段的长度为并记在每一小弧段上任取一点作和式 定11,niiiifs 0(,)f x yLAB如果当时上面和式的极限存在,则称极限值为函数在曲线或上的第一类曲线积分或对弧长的曲线积分,并记作01(,)lim,niiiL

36、if x y dsfs 第六十五页，讲稿共一百三十页哦(),(,).,L ABfx y曲 线称 为 积 分 路 径称 为 被 积 函 数由 此 定 义 可 知 例 1的 金 属 丝 质 量 量 可 表 为(,)Lmx y ds(),(,)(,)LLABf x yLx y ds 当 时闭曲线 即端点 与 重合时 把在 上对弧长的积分记为,(,),(,),(,).f x yLf x yLf x yL 可以证明 如果函数在光滑曲线 上连续 则在曲线上对弧长的曲线积分存在以后都假定在 上是连续的1,LdsL显然即当被积函数为1时,相应的对弧长的曲线积分路径的长度.,LABCOxa b当积分路径为轴上的

37、区间时 对弧长的曲线积分可转化为定积分,因此,定积分是一种特殊的对弧长的曲线积分.第六十六页，讲稿共一百三十页哦对弧长的曲线积分有如下性质:(1)(,)(,)(,)(,);LLLf x yg x ydsf x y dsg x y ds(2)(,)(,),()LLkf x y dskf x y ds k为常数(3),CAB如果 是积分路径上的一点 则(,)(,)(,)ABAcCBf x y dsf x y dsf x y ds(4)(,)(,).ABBAf x y dsf x y ds(4),性质表明 对弧长的曲线积分与积分路径的方向无关.第六十七页，讲稿共一百三十页哦2.对弧长的曲线积分的计算

38、方法(,),(),(),().f x yLLxtytx设函数在平面曲线 上连续 曲线 由参数方程给出,(),(),tLABtt 式中 当参数 由 变到 时上的点由点 到点若在上连续 有不同时为零 则对弧长的曲线积分可化为定积分 22(,)(),()()()Lf x y dsfttttdt,0,.dsdt这里必须注意 定积分的下限 一定要小于上限,这是因为总为正 从而因此,(),(),Lyx xa bxaxbCAB特殊地 如果曲线 的方程是其中具有一阶连续导数,当时曲线 上的点经过的路径为弧则有第六十八页，讲稿共一百三十页哦2(,),()1()bABaf x y dsf xxx dx(),(),

39、Lxyyc dycydLAB如果曲线 是方程其中具有一阶连续导数,当时曲线 上的点经过的路径为弧则有2(,)(),1()dABcf x y dsfyyx dy,(),(),(),()xtyyztt 其次 对于空间曲线 (8 19)亦有完全类似于式的结果222(,)(),(),()()()()Lf x y z dsftttttt dt第六十九页，讲稿共一百三十页哦2,(0,0)(2,1).4LxydsLy 计算其中 是抛物线上点到点的一段例2221()1,2xy于是2220142Lxxydsdx2201124xxdx2(2 21)3解第七十页，讲稿共一百三十页哦(),(1)(0,0)(1,1),

40、(2),(1,0),(823).Lxy dsLOBOABA 计算其中 是直线上的点与之间的一段折线其中见图 例3解(1),01,LOByxx积分路径的方程为211001()1 12,()()22 22OBdsydxdxdxxy dsxxdxxdx故图8-23 例3示意图Oxy1A(1,1)B第七十一页，讲稿共一百三十页哦(2)()()()0,01,1 0,OABOAABxy dsxy dsxy dsOAyxdsdxdx而的方程为故且101()(0)2OAxy dsxdx1,01,1 0,ABxydsdydy的方程为故且103()(1)2ABxy dsy dy13()222OABxy ds于是

41、第七十二页，讲稿共一百三十页哦221,259.LyxLxyds 设曲线 为椭圆在第一象限的弧段 计算曲线积分例45cos,3sin,0,2Lxt ytt 可写成因此2222225sin9cos25 16cosdsxy dtttdttdt2205cos 3sin25 16cosLxydstttdt所以2015sin2178cos22ttdt1cos2,sin2,2tutdtdu 令则故有111524517848Lxydsudu解第七十三页，讲稿共一百三十页哦二、对坐标的曲线积分的概念和性质1.对坐标的曲线积分的概念和性质例5 变力沿曲线所做的功,.(),(,),(8-24)xOyALBxP x

42、yL 设一质点在平面内从点 沿光滑曲线弧 移动到这里曲线光滑即指曲线上每一点都存在切线 质点在移动过程中受到一水平方向 即平行于 轴方向 的力的作用 该力的值是二元函数它在 上连续.下面计算上述质点移动过程中变力所做的功 见图第七十四页，讲稿共一百三十页哦,cosFABs ABFFWFs从中学物理学知道,若力 是常力 且质点从 沿直线移动到走过的路程为与 夹角为,则力 所做的功为图8-24 例5示意图yxO0AM1M2M1iM(,)iiP iM1iMnBMixiyii第七十五页，讲稿共一百三十页哦,FLW现在力 是变力 且质点是沿曲线 移动 功不能直接按以上公式计算,但可以用前面定积分求曲边梯

43、形的面积,用重积分求曲顶柱体的体积的思想采用分割,作近似,求和和取极限的方法来探索解决现在的问题.11122211,11(,),(,),(),.nnniiM x yMxyMxyLnMM 先用曲线弧上的点把分成 小段 取其中一个有向小弧来分析111111,cos,.(,),(,)(,).,(,)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiMMMMxMMxxxxP x yLMMPP x yMM 由于光滑而且很短 可以用有向线段来近似代替它 它和 轴的夹角为,记其中又由于函数在 上连续 可以用上任意取定的一点处的力来近似代替这小弧段上其他各点处的力这样 变力沿有向小弧段所做的功近似为第七十六页，讲稿共一

44、百三十页哦1(,)cos(,)iiiiiiiiiWPM MPx 11(,)nniiiiiiWWPx 于是 11max,iii nMMW 记为了计算的精确值 令0取上述的极限,从而得到01lim(,)niiiiWPx 第七十七页，讲稿共一百三十页哦11122211110,(,),(,),(,),(,),(1,2,).nnniinLxOyABP x yLLM x yMx yMxyLnM Min MA MB义 设 为面内从点 到点 的一条有向光滑曲线弧 函数在 上连续 用 上的点把 分成 个有向小弧段定21101,(,),lim(,),(,)iiiiiiiniiiixxxMMPxP x yLx 设点

45、为任意取定的一点 若极限存在 则称它为函数在有向弧段 上对坐标 的曲线积分,记为01(,)lim(,)niiiLiP x y dxPx 第七十八页，讲稿共一百三十页哦Q(x,y)Ly类似地,可以定义数对标线积函在 上坐的曲分01(,)lim(,)niiiLiQ x y dyQy LLLPdxQdyPdxQdy称为组线积.合曲分(,)LWP x y dx显然例1中的变力所做的功为11,max;(,)(,)iii nMMP x yLxP x y dx 式中称为积数;为积;为积变;为积达被函分弧段分量被表式.第七十九页，讲稿共一百三十页哦对坐标的曲线积分具有一些与定积分类似的性质,其中重要的有以下两

46、个.12(1),LLL若把 分成 和则12LLLPdxQdyPdxQdyPdxQdy(2),LL 与 是方向相反的有向曲线弧 则LLPdxQdyPdxQdy,第二个性质表示 当积分弧段方向改变时,对坐标的曲线积分要改变符号.第八十页，讲稿共一百三十页哦2.对坐标的曲线积分的计算方法()(,),(,),()xtP x y Q x yLLyt设在有向曲线弧 连续的参数方程为22,(),()()()0,(,)(,),LtLALBttttP x y dxQ x y dy当参数 单调地由 变到 时 动点从 的起点 沿 运动到终点在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数.且则曲线积分存在 且(,)(,)

47、(),()(),()()LP x y dxQ x y dyPttQttt dt,LL这时必须注意 下限 对应于 的起点,上限 对应于 的终点,不一定小于.第八十一页，讲稿共一百三十页哦()(),Lyxxy如果 方程或给出 可以看作参数方程的特殊情形 则(,)(,),(),()()bLaP x y dxQ x y dyP xxQ xtx dx(,)(,)(),()(),bLaP x y dxQ x y dyPyyyQyy dy或,(1920).aLbL这里下限 对应于 的起点 上限 就对应于 的终点 式可以推广到空间曲线第八十二页，讲稿共一百三十页哦(),(),(),xtytzt由参数方程给出的

48、情形 这样便得到(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz (),(),()()(),(),()()baPttttQtttt(),(),()()Rttttdt,tt式中分别对应曲线 的起点和终点.第八十三页，讲稿共一百三十页哦,LxdyydxL 计算曲线积分其中 为例622(1)(0,0)(1,1),(1)1;OBxy从点到点的一段圆弧 圆的方程:(2),(0,1)(825).OABA折线其中点 坐标为见图解(1)cos,1 sin,20.(825),xt ytOtBt 圆的参数方程为起点 对应于终点 对应于由式得图8-25 例6示意图O(0,1)A(1,1

49、)Bxy第八十四页，讲稿共一百三十页哦02cos cos(1 sin)(sin)Lxdyydxtttt dt0222(cossinsin)ttt dt0022(1 sin)cos t dttt12(2),0,0OABOAABOAxy折线在上从 变到1,1000OAxdyydxdy,1,0AByx在上从 变到1,10(1)1ABxdyydxdx 1.LOAABxdyydxxdyydxxdyydx 于是第八十五页，讲稿共一百三十页哦()(),:(1),(2)(826).Lxy dxxy dyLABAOB 计算路线 为圆弧折线见图 例7(1)cos,sin,:0.2(8-20)ABxy 圆弧的参数方

50、程是应用式得解图8-26 例7示意图Oxy(1,0)A(0,1)B第八十六页，讲稿共一百三十页哦()()ABxy dxxy dy20(cossin)(sin)(cossin)cos d20(cos2sin2)1d(2)0,(:10),0,(:01).0,0,AOyxOBxyAOdyOBdx的方程是的方程是在上在上于是有()()()()AOBAOOBxy dxxy dyxy dxxy dy001111()122xdxy dy 第八十七页，讲稿共一百三十页哦2(1,1)(1,1)(827),LLyxABxydx 设路线 是抛物线上从点到的一段弧见图计算曲线积分 例8,yxAO OByxyx 这时不