多元统计分析第二讲讲稿.ppt

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1、多元统计分析第二讲zf第一页，讲稿共三十六页哦线性代数中的有关概念、定理o 矩阵的概念 o 方程组求解 o 二次型 o 特征值与特征向量 2022-9-62第二页，讲稿共三十六页哦一、矩阵的概念o 矩阵的定义以及计算o矩阵的定义：n*m阶矩阵、n阶方阵、列向量、行向量、对角阵、对角线元素、非对角线元素、单位矩阵、转置矩阵、对称矩阵、三角阵、上三角阵、下三角阵o 矩阵运算：矩阵的加法、常数与矩阵的积、矩阵的乘法、矩阵的运算规律o矩阵的行列式：行列式的定义行列式的性质o 逆矩阵o定义、矩阵可逆的充要条件、逆矩阵的性质 *矩阵的迹、矩阵的秩：定义、性质o正交矩阵与正交变换o 正交矩阵定义、性质；正交

2、变换o分块矩阵o分块矩阵定义、利用分块矩阵求逆2022-9-63第三页，讲稿共三十六页哦o非奇次线性方程组有解的充要条件o系数矩阵与其增广系数矩阵同秩 o解法：消元法o解法：求解求逆并行变换法二、方程组求解2022-9-64第四页，讲稿共三十六页哦例225332232432143214321xxxxxxxxxxxx组的通解：组的通解：求下面非齐次线性方程求下面非齐次线性方程:形形行行变变换换直直至至化化为为行行最最简简解解：对对增增广广矩矩阵阵做做初初等等11100111003121122111533223121113122rrrrbA|0110000110030110000011100312

3、1121232rrrr2022-9-65第五页，讲稿共三十六页哦4342143421131113xxxxxxxxxx即即，得得通通解解：，令令2412cxcx214213212211242312211100101010311131ccxccxccxccxcxcxcxccx:即即：方程组的同解方程组为方程组的同解方程组为2022-9-66第六页，讲稿共三十六页哦).(:为任意常数为任意常数、写作向量式即写作向量式即21214321110300110101ccccxxxx2022-9-67第七页，讲稿共三十六页哦例.,3210113242 AXAAX其中其中解矩阵方程解矩阵方程.121011322

4、10001000123210113242EA.AXEAXAAX）（可得可得由矩阵方程由矩阵方程22 解解3 622231002110010121001AE EAE E构造矩阵（）并对之施以初等行变换：2022-9-68第八页，讲稿共三十六页哦1489(2)150.11212XAEA所以4611101201001101011100210101103400114613513411000100011143(2)153164AE2022-9-69第九页，讲稿共三十六页哦o 二次型的矩阵表达式o 正定二次型以及正定矩阵o 正定矩阵的性质三、二次型2022-9-610第十页，讲稿共三十六页哦二次型的矩阵表

5、达式2022-9-611第十一页，讲稿共三十六页哦正定二次型以及正定矩阵定义：设有实二次型定义：设有实二次型f(x1,xn)=xTAx，如果对任意的，如果对任意的x 0，都有，都有 f(x1,xn)=xTAx0称称f 为正定二次型为正定二次型;相应的矩阵相应的矩阵A称为正定矩阵，记为称为正定矩阵，记为A0;；若对任意；若对任意x 0都有都有f)的充分必的充分必要条件是标准形的要条件是标准形的n个系数均为正个系数均为正.推论推论1 f=xTAx正定（或正定（或A）的充分必要条件是）的充分必要条件是正惯性指数等于正惯性指数等于n.推论推论2 f=xTAx正定（或正定（或A）的充分必要条件是）的充分

6、必要条件是A的特征值都大于零的特征值都大于零.推论推论3 f=xTAx正定（或正定（或A）则）则A0.2022-9-613第十三页，讲稿共三十六页哦定理定理3 二次型二次型f(x1,xn)=xTAx正定正定(或或A)的充分必要条件是的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零的各阶顺序主子式都大于零,即即.0,0,02122221112112221121111 nnnnnnaaaaaaaaaaaaaa2022-9-614第十四页，讲稿共三十六页哦正定矩阵的性质o 正定矩阵一定是非奇异的。o 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。o 若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵

7、L，使得A=L*L，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。2022-9-615第十五页，讲稿共三十六页哦四、特征值与特征向量o 特征值、特征向量的定义o 特征值的性质o 实对称矩阵特征值的求解方法2022-9-616第十六页，讲稿共三十六页哦特征值的性质 2022-9-617第十七页，讲稿共三十六页哦步骤如下步骤如下(i)求出特征方程求出特征方程 EA =0的全部根的全部根 1,2,n,即即A的全部特征值的全部特征值；(ii)对每个对每个i,求方程组求方程组(iEA)x=0 的所有非的所有非零解即为零解即为A的对应的对应于特征值于特征值i 的特征向量的特征向量.实对称矩阵特

8、征值的求解方法2022-9-618第十八页，讲稿共三十六页哦).0(1211 kk全部特征向量为全部特征向量为例例解解 .3201 A)3)(1(3201 AE由由.0)1(11 xAE时时，解解当当(ii),20021420021xxAE 得得由由;3121 ，的的特特征征值值得得A2022-9-619第十九页，讲稿共三十六页哦).0(1022 kk全部特征向量为全部特征向量为,00001020431 xAE得得由由.0)3(32 xAE时时，解解当当 2022-9-620第二十页，讲稿共三十六页哦数理统计中的有关概念、定理o 总体与样本o 总体o 样本、样本均值、样本方差o 参数估计o 假

9、设检验o 几种常用分布的关系 2022-9-621第二十一页，讲稿共三十六页哦总体与样本 o 总体o 所有调查研究的事物或现象的全体叫总体。反映总体数量特征的是总体统计指标，如总体均值，总体方差等。总体可划分为有限总体和无限总体。o 样本o 在总体中抽取出来的一部分个体的集合称为样本。反映样本数量特征的指标称为样本指标，如样本均值、样本方差等，样本指标的用途在于推断总体指标。2022-9-622第二十二页，讲稿共三十六页哦参数估计 2022-9-623第二十三页，讲稿共三十六页哦2022-9-624第二十四页，讲稿共三十六页哦2022-9-625第二十五页，讲稿共三十六页哦2022-9-626

10、第二十六页，讲稿共三十六页哦几种常用分布的关系 2022-9-627第二十七页，讲稿共三十六页哦2022-9-628第二十八页，讲稿共三十六页哦2022-9-629第二十九页，讲稿共三十六页哦假设检验：检验某种假设是否成立 2022-9-630第三十页，讲稿共三十六页哦2022-9-631第三十一页，讲稿共三十六页哦2022-9-632第三十二页，讲稿共三十六页哦2022-9-633第三十三页，讲稿共三十六页哦2022-9-634第三十四页，讲稿共三十六页哦多维随机向量的均值向量多维随机向量的均值向量2022-9-635第三十五页，讲稿共三十六页哦多维随机向量的自协差阵与协差阵多维随机向量的自协差阵与协差阵 2022-9-636第三十六页，讲稿共三十六页哦