求解微分方程.ppt

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1、关于求解微分方程现在学习的是第1页，共76页例 一曲线通过点(1,2)，且曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的2倍，求这曲线的方程。例 列车在平直线路上以 20m/s 的速度行驶，制动时列车获得加速度 0.4m/s2。问开始制动到停止需多少时间？这段时间列车又走了多远？现在学习的是第2页，共76页微分方程的定义微分方程的定义定义 含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出现的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫做该微分方程的阶。n阶微分方程的一般形式：,0),()(nyyyxF).,()1(

2、)(nnyyyxfy或或现在学习的是第3页，共76页,0)(,),(),(,()(xxxxFn (2)n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解；通解中确定了任意常数的解称为特解。微分方程的解微分方程的解0),()(nyyyxF定义 (1)对于微分方程设函数 y(x)在区间I 上有n阶连续导数，如果在区间I 上满足则称y(x)是方程在区间I 上的一个解，其图形称为积分曲线。现在学习的是第4页，共76页说明：(1)n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数。(2)微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程2)(410Cxyyy 的的通通解解不包含特解 y 0。(3)y(x0)=y

3、0，y(x0)=y1，称为初始条件(或初值)。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。现在学习的是第5页，共76页微分方程解决实际问题的步骤微分方程解决实际问题的步骤(1)分析问题，建立微分方程并提出定解条件。(2)求微分方程的通解。(3)由定解条件定出任意常数，即求出特解。(4)讨论所得解的性质和意义。现在学习的是第6页，共76页例 证明 x C1coskt C2sinkt 是方程0222 xkdtxd0,00 ttdtdxAx的通解(k 0),并求满足初始条件的特解现在学习的是第7页，共76页求曲线所满足的微分方程.例例.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 QPQxyox解

4、:如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,现在学习的是第8页，共76页作业作业(P298)：3(2)，5(2)，6。现在学习的是第9页，共76页 2 可分离变量的微分方程现在学习的是第10页，共76页一阶微分方程的一般形式：F(x,y,y)0,或 y f(x,y),或写成对称形式：P(x,y)dx Q(x,y)dy。现在学习的是第11页，共76页一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，如果能把它写成形式 g(y)dy f(x)dx。,)()()(dxxfdxxxg 若G(y)、F(x

5、)分别是g(y)、f(x)的原函数，得CxFyG )()(现在学习的是第12页，共76页例 求微分方程 的通解。xydxdy2 例 解方程.1122xydxdy 现在学习的是第13页，共76页,MdtdM ,dtMdM .,ln1tCeMCtM .)(0teMtM 例 已知铀的衰变速度与含量M成正比(比例系数)。若t 0时铀的含量为M0，求时刻t 时铀的含量M(t)。解 由题设条件得微分方程由条件 M(0)M0 得 C M0，所以tMM0铀的衰变规律现在学习的是第14页，共76页例例.解初值问题解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,

6、112xy(C 为任意常数)故所求特解为0d)1(d2yxxyx 1)0(y现在学习的是第15页，共76页练习22(1)()d()d0 xx yxx yyy.x yd yed x(2)求方程的通解现在学习的是第16页，共76页(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作业现在学习的是第17页，共76页 3 齐次方程现在学习的是第18页，共76页在一阶微分方程 y f(x,y)中，如果 f(x,y)可以化为(,)().yf x yx则该方程称为齐次方程。如何求解？现在学习的是第19页，共76页例 解方程.22dxdyxydxdyxy 例.解微分方程.tanxyxyy例.解微分

7、方程.0dd)2(22yxxyxy现在学习的是第20页，共76页作业P309：1(1)(6)，2(3),3；现在学习的是第21页，共76页 4 一阶线性微分方程现在学习的是第22页，共76页本节讨论一阶线性微分方程,)()(xQyxPdxdy (1)0)(yxPdxdy(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x)0时称为一阶非齐次线性微分方程，Q(x)0时称为一阶齐次线性微分方程。现在学习的是第23页，共76页分离变量法 ,)(ln,)(1CdxxPydxxPydy,)(dxxPCeydxxP)(这里 表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程(2)的解法

8、的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。现在学习的是第24页，共76页常数变易法，令()()().P x dxy xC x e一阶非齐次线性方程(1)的解法 CdxexQeydxxPdxxP)()()(现在学习的是第25页，共76页用常数变易法解非齐次方程的步骤：1.求出相应的齐次方程的通解；2.将通解中的任意常数C 变为函数C(x)，然后代入非齐次方程求出C(x)。3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与方程的任意一个特解之和。现在学习的是第26页，共76页.)1(1225 xxydxdy例 解方程sin.cosxyyxe求方例程的通解.2yyxx例求方程的通解现

9、在学习的是第27页，共76页习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7(3)。作业作业现在学习的是第28页，共76页 5 可降阶的高阶微分方程现在学习的是第29页，共76页三种可降阶的高阶微分方程三种可降阶的高阶微分方程),(yxfy)()(xfyn),(yyfy 现在学习的是第30页，共76页y(n)f(x)型型积分一次,)(1)1(Cdxxfyn 再积分一次,)(21)2(CxCdxxfdxyn 共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：可逐次积分求得通解现在学习的是第31页，共76页例 求 y e2x cosx 的通解。解,sin21)cos(22CxeCdxxeyxx 22sin2

10、1CdxCxeyx 322cos41CdxCCxxeyx 2sin81132212CCCxCxCxex,cos4122CCxxex 现在学习的是第32页，共76页 y f(x,y)型型令 y p，方程变为 p f(x,p)，设其通解为 p(x,C1)，不显含y即 y(x,C1)，.),(21 CdxCxy 说明：对于方程 y(n)f(x,y(n1)，可令y(n1)p 而化为 一阶微分方程 p f(x,p)。现在学习的是第33页，共76页例 求微分方程(1x2)y 2xy 的通解及满足初始条件 y(0)1,y(0)3 的特解。y x3 3x 1。.yy 例 解方程.)(4813241CxCCxy

11、 现在学习的是第34页，共76页这时仍令 y p 作为新未知函数，,dydppdxdydydpdxdpy 1(,)dyy Cdx),(pyfdydpp 方程变为 ，设其通解为 p(y,C1)，则 y f(y,y)型型不显含x现在学习的是第35页，共76页12.C xyC e.0)(2 yyy例 解方程例.解初值问题02 yey,00 xy10 xyxey1现在学习的是第36页，共76页习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)，3作业作业现在学习的是第37页，共76页 6 高阶线性微分方程现在学习的是第38页，共76页一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例例1 求

12、弹簧振子的运动规律x(t)。xOx02222 xkdtdxndtxd自由振动的微分方程pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的微分方程现在学习的是第39页，共76页,sin22022tLCEudtdudtudmCCC 这就是串联电路的振荡方程，其中例2 设由电阻R、电感L、电容C和电源E Emsint串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC，则有.1,20LCLR 现在学习的是第40页，共76页二、函数的线性相关与线性无关二、函数的线性相关与线性无关,02211 nnykykyk定义 设 y1,y2,yn 是定义在区间I上的n个函数，如果存在 n 个不全为零的常数 k1,k2

13、,kn，使在 I上就称这n个函数在 I 上线性相关，否则称为线性无关。现在学习的是第41页，共76页例如：1,cos2x,sin2x 在()线性相关；1,x,x2 在任何区间上线性无关。说明：1)线性相关 其中至少有一个函数可由其它函数线性表出；2)y1,y2,yn 线性无关若 k1 y1 k2 y2 kn yn 0,则 k1 k2 kn 0。3)y1与y2 线性相关 常数。1221yyyy或或现在学习的是第42页，共76页 n 阶线性微分方程的一般形式：)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn 二阶非齐次线性方程,)()()(xfyxQyxPy 对应的齐次线性方程.0)

14、()(yxQyxPy f(x)0 齐次，f(x)0 非齐次。现在学习的是第43页，共76页证 直接将y C1 y1 C2 y2 代入(2)得：定理 如果 y1,y2 是齐次方程的两个解，那么 221122112211)()(yCyCxQyCyCxPyCyC .0)()()()(22221111 yxQyxPyCyxQyxPyCy C1 y1 C2 y2也是解，其中C1,C2是任意常数。三、齐次线性方程解的结构三、齐次线性方程解的结构现在学习的是第44页，共76页定理 设 y1,y2 是齐次方程(2)的两个线性无关的特解(称为(2)的一个基本解组)，则 y C1 y1 C2 y2(C1,C2是任

15、意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。例 y1 x,y2 e x 是齐次线性方程0)1(yyxyx.21xeCxCy 的一个基本解组，故其通解是现在学习的是第45页，共76页定理(解的叠加原理)设y1(x),y2(x)分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy .)()()()(21xfxfyxQyxPy )()()(212121yyxQyyxPyy 222111)()()()(yxQyxPyyxQyxPy .)()(21xfxf 的解，则 y y1(x)y2(x)是如下方程的解：证非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构)()()(2xfyxQyxPy 现在学习的是第46页，共76页

16、定理 设 y*(x)是非齐次方程(1)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程(2)的通解，则 y Y(x)y*(x)是方程(1)的通解，且此通解含有全部解。证 由定理3，y Y(x)y*(x)C1 y1 C2 y2 y*(x)是(1)的解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。设 y0(x)是(1)的任一解，则 y0(x)y*(x)是齐次方程(2)的解，故存在常数C10与C20，使得y0(x)y*(x)C10 y1 C20 y2,于是 y0(x)C10 y1 C20 y2 y*(x)。例 y x2 是方程22)1(2 xxyyxyx.221xeCxCyx 的一个特解，故其通解是现在学习的是第47

17、页，共76页n 阶线性微分方程上面关于二阶线性方程的结论可推广到 n 阶线性方程.)()()(1)1(1)(yxayxayxayyLnnnn 1.线性微分方程解的叠加原理：设 y1(x),y2(x)分别是方程L y f1(x)与L y f2(x)的解，则y y1(x)y2(x)是方程 L y f1(x)f2(x)的解。L y f(x),其中2.齐次线性方程解的结构：设 y1,y2,yn 是齐次线性方程 L y0 的n 个线性无关的解(称为它的一个基本解组)，则 y C1 y1 C2 y2 Cn yn(C1,C2,Cn是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。现在学习的是第48页，共76页常数

18、,则该方程的通解是().321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解,21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研)3322311)()()(yyyCyyCD现在学习的是第49页，共76页解:故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.2

19、2xxeey故所求特解为例已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初3)0(,1)0(yy的特解.有三 始条件现在学习的是第50页，共76页非齐次线性方程解的结构：设 y*(x)是非齐次方程 Ly f(x)的特解，Y(x)是对应的齐次方程Ly 0的通解，则 y Y(x)y*(x)是非齐次方程 Ly f(x)的通解，且此通解含有全部解。现在学习的是第51页，共76页作业习题(P331)：1(3)(7)，3，4(1)现在学习的是第52页，共76页 7 常系数齐次线性微分方程现在学习的是第53页，共76页一、特征方程与特征根二阶常系数齐次线性方程 y p

20、 y q y 0.定义 称代数方程 r2 pr q 0.为微分方程的特征方程，它的根叫做微分方程的特征根。现在学习的是第54页，共76页1)p24q 0,r1,r2 是两个不相等的实根，则xrxreyey2121,是方程(1)的两个线性无关的解，.2121xrxreCeCy 方程的通解是微分方程的通解微分方程的通解现在学习的是第55页，共76页取 u x,得 ，这时方程(1)的通解为：xxey 2.)(2121xxxexCCxeCeCy .0,0)()2(2 uuqpupu 代入得：2)p24q 0,得到方程的一个解2(),xyeu x设另一个线性无关的解,)2(22uuueyx ,)(2uu

21、eyx .21xpxeey 现在学习的是第56页，共76页得到两个线性无关的实解，所以通解是：.)sincos(21xCxCeyx 根据解的叠加原理xeiyyyxeyyyxx sin2,cos2212211 3)p24q 0,得到一对共轭复根 r1 i,r2 i,这样得到两个线性无关的复数形式的解,)sin(cos)(1xixeeyxxi .)sin(cos)(2xixeeyxxi 现在学习的是第57页，共76页 r1,r2是不等二实根，,2121xrxreCeCy r1,r2是相等二实根，,21xexCCy 其中.421,22pqp .)sincos(21xCxCeyx r1,r2是一对共轭

22、复根，求二阶常系数齐次线性方程(1)的通解的步骤如下：1)写出特征方程 r2 pr q 0；2)求出特征方程的两个根 r1,r2；3)根据 r1,r2 的不同情况写出通解：现在学习的是第58页，共76页例 求 y 2y 3y 0 的通解。.321xxeCeCy 例 求方程 满足初始条件0222 sdtdsdtsds(0)4,s(0)2 的特解。.)24(tets 例 求方程 y 2y 5y 0 的通解。.2sin2cos21xCxCeyx 现在学习的是第59页，共76页n 阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程01)1(1)(ypypypynnnn求解步骤如下：1)写出特征方程,0111 n

23、nnnprprpr2)求出特征方程的 n 个根(特征根)，3)根据特征根写出 n 个线性无关的解(基本解组)，4)写出微分方程的通解。现在学习的是第60页，共76页一对单共轭复根 i：;sin,cosxexexx k 重实根 r：;,12rxkrxrxrxexexxee 一对 k 重共轭复根 i：,cos,cos,cos1xxexxexekxxx .sin,sin,sin1xxexxexekxxx 单实根 r：;rxe说明：n 次方程共有 n 个根，对应每个特征根可写出一个基本解组中的解。方法如下：现在学习的是第61页，共76页特征根是 r1 r2 0,r3,4 1 2i,因此微分方程的通解为

24、：y C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).例 求方程 的通解。052)4(yyy解 特征方程 ,052,05222234 rrrrrr即即现在学习的是第62页，共76页特征根是 r1 r2 1,r3,4 微分方程的通解为：例 解方程.02432)4(yyyyy解 特征方程 r 4 2r3 3r2 4r 2 0,r 4 2r3 3r2 4r 2(r 1)(r3 r2 2r 2)(r 1)2(r2 2)。,2i.2sin2cos)(4321xCxCexCCyx 现在学习的是第63页，共76页解整系数高次代数方程01110 nnnnaxaxaxa一般用分解因式法和试根法，应注意以下

25、特殊情形：(1)系数之和为零时，有根 x 1；(2)奇偶项系数之和相等时，有根 x 1；(3)如果方程有有理根,pqx 则 p 是a0 的因数，q 是an 的因数。习题(P340)：1(3)(6)(10)，2(2)(5)现在学习的是第64页，共76页8 常系数非齐次线性微分方程现在学习的是第65页，共76页二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：求方程(1)的通解，归结为求对应的齐次方程 本节只介绍当方程(1)中的 f(x)取两种常见形式时用待定系数法求出特解 y*的方法。y p y q y f(x),p,q 是常数 (1)y p y q y 0的通解和(1)的一个特解。现在学习的是第66页，

26、共76页 f(x)是多项式Pm(x)与指数函数 ex 的乘积，其导数仍然是同一类型，因此我们推测，特解具有形式 y*exQ(x)，其中Q(x)是待定的多项式。将 y*exQ(x)，y*exQ(x)Q(x)，y*ex2 Q(x)2Q(x)Q(x)代入方程(1)并消去ex 得：Q(x)(2+p)Q(x)(2 p q)Q(x)Pm(x)(2)一、f(x)exPm(x)其中 是常数，Pm(x)是一个m次多项式。现在学习的是第67页，共76页Qm(x)b0 x m b1x m1 bm1x+bm，代入(2)式，比较同次幂系数，得到一个以 b0,b1,bm 为未知数的 m 1 个方程的方程组，从而可求出特解

27、 y*Qm(x)ex.2)是特征方程 r2 pr q 0 的单根，即2+p+q 0，但 2 p 0，(2)式变为 Q(x)+(2+p)Q(x)Pm(x)，可见 Q(x)应是m次多项式且Q(x)的常数项可任取(不妨取为零)，令 Q(x)xQm(x)，用同样的方法可求出 Qm(x)的系数b0,b1,bm.1)不是特征方程 r2 pr q 0 的根，2+p+q 0，要使(2)式两端相等，Q(x)必须是m次多项式现在学习的是第68页，共76页3)是特征方程 r2 pr q 0的重根，即 2 p q 0,且 2 p 0，(2)式变为 Q(x)Pm(x)，可见 Q(x)应是 m 次多项式且 Q(x)的常数

28、项和一次项系数可任取，因而可令 Q(x)x2Qm(x)，然后用同样的方法求出Qm(x)的系数 b0,b1,bm。结论：f(x)e xPm(x)时方程(1)有 y*xkQm(x)ex 形式的特解：当 不是特征根时取 k 0，当 是单特征根时取 k 1，当 是重特征根时取 k 2。现在学习的是第69页，共76页例 求微分方程 y 2y 3y 3x 1 的通解。解 特征方程 r2 2r 3 0 有不等二实根 1,3。令y*b0 x b1,代入方程得 3 b0 x 2b0 3b1 3x+1，0不是特征根，Pm(x)3x+1,m 1。比较系数得 b0 1,b1 ,特解 y*x .3131方程的通解是.3

29、1231 xeCeCyxx现在学习的是第70页，共76页 2是单特征根，Pm(x)x,m 1。比较系数得.1,2110 bb特解 y*.)121(2xexx 通解xxxexxeCeCy22322121 例 求 的通解。xxeyyy265 解 特征方程 r2 5r+6 0 有不等二实根 2,3，令 y*代入方程得 2 b0 x+2b0b1x，,)(210 xebxbx.)21(32221xxeCexxC 现在学习的是第71页，共76页齐次方程的通解为 Y(C1C2x)ex。1是重特征根，Pm(x)1,m 0。,211)2(224222 bbxbxbxbbxbx.212xexxxexexCC221

30、21)(.)21(221xexxCC 令 y*bx2ex,代入方程得：例 解方程.2xeyyy 解 特征方程 r2 2r 1 0 有重根 r 1。特解 y*通解 y 现在学习的是第72页，共76页二、xxPxxPexfnlx sin)(cos)()(这里 ,是常数，Pl(x),Pn(x)分别是l 次与n 次多项式，可有一个为零。结论：f(x)ex(Pl(x)cosx+Pn(x)sinx)时，方程(1)有 y*xkex(Qm(x)cosx+Rm(x)sinx)形式的特解，其中 m max(l,n)，Qm(x),Rm(x)都是 m 次多项式，若 i 不是特征根取k 0,若 i 是单特征根取k 1。

31、现在学习的是第73页，共76页,2sin)(2cos)(*xdcxxbaxy 代入方程得xdcxxcxbaxxay2cos)(22sin2sin)(22cos*,2sin)22(2cos)22(xcbaxxdcxa ,2sin)444(2cos)444(*xdacxxcbaxy +i 2i 不是特征方程 r2+1 0 的根。设特解为例 求方程 y y xcos2x 的一个特解。解 这里 0,Pl(x)x,Pn(x)0,m 1,2，现在学习的是第74页，共76页比较系数得 0340304313daccba,94031 dcba.2sin942cos31*xxxy xdacxxcbax2sin)343(2cos)433(,2cos xx 现在学习的是第75页，共76页感谢大家观看现在学习的是第76页，共76页