数学基础脉冲函数和卷积.ppt

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1、数学基础脉冲函数和卷积现在学习的是第1页，共25页1-2 脉冲函数脉冲函数 d d-Function 一、定义一、定义(续续)0 xd(x)110 xd(x,y)yd-函数的图示:定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,则-dxxxx x)0()()(0 ,0)(ffddf(x)称为检验函数.现在学习的是第2页，共25页1-2 d d-函数函数 二、性质二、性质1.筛选性质 sifting(由定义3直接可证)设f(x)在x0点连续,则)()()(00 xdxxxxfdf证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习)(1)(xaaxdd推论:d(x)是偶函数2.缩放性质 scaling与

2、普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.现在学习的是第3页，共25页1-2 d d-函数函数 二、性质二、性质(续续)3.乘积性质设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d(x)2.sinc(x)d(x-0.5)3.sinc(x)d(x-1)4.(3x+5)d(x+3)现在学习的是第4页，共25页1-2 d d-函数函数 三、三、d d-函数的阵列函数的阵列-梳

3、状函数梳状函数 comb(x)(comb1)(1)(ddxnxnxnn表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.间隔为 的脉冲系列:)()(combnnxxd定义:n为整数现在学习的是第5页，共25页1-2 d d-函数函数 三、三、d d-函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)梳状函数与普通函数的乘积:)-()()()()(comb1)(nnnxnfnxxfxxfddf(x)0 x=x0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)xcomb(x)0现在学习的是

4、第6页，共25页例题例题1.已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d 函数可筛选出函数在x=x0+b的值，试写出运算式。解：)()()(00bxfdxbxxxfd现在学习的是第7页，共25页例题例题2.f(x)为任意连续函数，a0,求函数g(x)=f(x)d(x+a)d(x-a)并作出示意图。解：g(x)=f(x)d(x+a)-d(x-a)=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a)=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a)现在学习的是第8页，共25页例题例题3.已知连续函数f(x)，a0和b0。求下列函数：(1)h(x)=f(x)d(ax-x0)(2)g(x)=f(x)comb(x-x0

5、)/b解:(1)h(x)=f(x)d(ax-x0)axxaaxxa001ddaxxaxfa001d现在学习的是第9页，共25页bx-xxfxg0comb)()(bx-xbb0comb1)(0nnbxxbd)()(00nnbxxnbxfbd例题 3.（2）现在学习的是第10页，共25页例题例题4 画函数图形画函数图形(1)axaxaxf5rectcomb1)(1aaxaxaxf5rectcomb1)(2(2)现在学习的是第11页，共25页用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布f(x)=2+cos(2pf0 x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。1-3 卷积卷积 convolutio

6、n一、概念的引入一、概念的引入()现在学习的是第12页，共25页卷积卷积 概念的引入概念的引入()探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0 x22)()(axaxdfxgxxxxxdaxrectf)()(xxxdaxrectf)()(卷积运算现在学习的是第13页，共25页1-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入(II)设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(

7、x)现在学习的是第14页，共25页1-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)x)()()()()(xhxfdxhfxgxxx现在学习的是第15页，共25页1-3 卷积卷积 convolution二、定义二、定义若f(x)与h(x)有界且可积,定义xxxdxhfxhxfxg)()()()()(*:卷积符号 g(x)是是f(x)与与h(x)两个函数共同

8、作用的结果两个函数共同作用的结果.对于给定的对于给定的x,第一个函第一个函数的贡献是数的贡献是f(x x),则第二个函数的贡献是则第二个函数的贡献是h(x-x x).需要对任何可能的需要对任何可能的x x求和求和.xxxddyxhfyxhyxfyxg),(),(),(),(),(g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:现在学习的是第16页，共25页1-3 卷积卷积 convolution三、计算方法三、计算方法-借助几何作图借助几何作图h()1/5 5 90f()1/3 4 60f()1/3 4 60h(-)1/5 -9 -50 xh(x-)x-9 x-5 4 601.用哑元

9、 画出函数f()和h();2.将h()折叠成h(-);3.将h(-)移位至给定的x,h-(-x)=h(x-);4.二者相乘;5.乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).步骤:xh(x-)x-9 x-5 4 60 9 11 13 15 g(x)x 0 2/15现在学习的是第17页，共25页1-3 卷积卷积 convolution三、计算方法三、计算方法-几何作图法几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)-1 0 1 g(x)x 11.用哑元画出 二个 rect()2.将rect()折叠后不变;3.将一个rect(-)移位至给定的x,rect-(-x)=rect(x-);4.二者相乘;乘积

10、曲线下面积的值 即为g(x).rect()1 -1/20 1/2|x|1;g(x)=0-1 x 0;g(x)=1x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1;g(x)=11/2-(x-1/2)=1-xrect()1 -1/20 1/2 x-1/2x x+1/2rect()1 -1/20 1/2rect(x)*rect(x)=tri(x)卷积通常具有(1)加宽(2)平滑 的作用现在学习的是第18页，共25页卷积卷积 概念的引入：概念的引入：回到前面的例题回到前面的例题探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0 xx)()()()()()(22axrectxfdaxrectfdfxgaxaxxxxx

11、x现在学习的是第19页，共25页计算这个卷积计算这个卷积:22)()()(axaxdfaxrectxfxgxx0002202)2(2sin)2(2sin2)2cos(2faxfaxfadfaxaxpppxxp)2cos()(csin2)sin()2cos(200000 xfafafafxfappppf(x)=2+cos(2pf0 x)现在学习的是第20页，共25页练习练习)()()(xgxhxf)()()(xgxfxh若证明：)()()()()()()()(xgdxxxhxfdxxxhxfxdxxhxf令 x-x=xxxxxxxdhxfdxfhxfxh)()()()()()(证:现在学习的是第

12、21页，共25页作业作业 1-8)()()(xgxhxf若)()()(00 xxgxhxxf证明：现在学习的是第22页，共25页1-3 卷积 convolution四、性质1.卷积满足交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x)=h(x)*f(x)推论:卷积是线性运算 Linearity av(x)+bw(x)*h(x)=av(x)*h(x)+bw(x)*f(x)2.卷积满足分配律 Distributive Propertyv(x)+w(x)*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*f(x)3.卷积满足结合律 Associative Property v(x)*w(x)*

13、h(x)=v(x)*h(x)*w(x)=v(x)*w(x)*h(x)现在学习的是第23页，共25页1-3卷积卷积 convolution四、性质四、性质(续续)4.卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x)=g(x),则 f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x)=g(x),则 bxgbbxhbxf现在学习的是第24页，共25页1-3 卷积卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x)卷积后不变)()()()()(xfdxfxxfxxdxd根据 1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性质,有:任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:现在学习的是第25页，共25页