电磁场镜像法.ppt

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1、关于电磁场镜像法现在学习的是第1页，共48页 根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用电荷分布时，可用Laplaces equation求解场分布；在所求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poissons equation 求解场分布。求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法就是本节主要研

2、究的：解决这类问题的一种特殊方法 称为镜象法。称为镜象法。现在学习的是第2页，共48页1、镜象法的基本问题、镜象法的基本问题 在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？代替呢？光学成像理论给我们的启

3、发：当我们把光学成像理论给我们的启发：当我们把点电荷作为物点电荷作为物，把导体，把导体或介质界面作为面镜，那么或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象作为我们所说的象，然后把，然后把物和象在场点处的贡献迭加物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们起来，就是我们讨论的结果。讨论的结果。现在学习的是第3页，共48页2、镜象法的理论基础镜象法的理论基础 镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的地方，用实际上不存在的“象电荷象电荷”来代

4、替真实的导体感应电荷或介质的来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poissons equation or Laplaces equation 和边界条件决定。和边界条件决定。这里要注意几点：这里要注意几点：a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poissons equation or Laplaces equation，即，即所研究

5、空间的泊松方程不能所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，因此，做替代时，假想电做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。足泊松方程及边界条件即是正确解。现在学习的是第4页，共48页 b)b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无后，

6、就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。界条件来确定假想电荷的大小和位置）。c)c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d)d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实

7、的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。e)e)镜象法所适应的范围是：所求区域有少许几个点电荷，它产生的镜象法所适应的范围是：所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；导体或介质的边界面必是简单的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。规则的几何面（球面、柱面、平面）。现在学习的是第5页，共48页3、镜象法的具体应用、镜象法的具体应用 用镜象法解题大致可按以下步骤进行用镜象法解题大致可按以下步骤进行：a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条

8、件；（正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（坐坐标系选择仍然根据边界形状来定）标系选择仍然根据边界形状来定）b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。镜像法往往比分离变量法简单，但它只能用镜像法往往比分离变量法简单，但它只能用于一些特殊的边界情况。于一些特殊的边界情况。现在学习的是第6页，共48页点电荷与平面导体点电荷与平面导体(a)Q Q(b)Q

9、Q(c)Q Q点电荷与球形导体点电荷与球形导体Q Qo(d)(e)oQ Q点电荷的镜点电荷的镜像像现在学习的是第7页，共48页各种简单边界的组合作为边界各种简单边界的组合作为边界(c)Q Q(a)Q Q(b)Q Q现在学习的是第8页，共48页线电荷与平面导体线电荷与平面导体(a)(b)(c)线电荷与圆柱形导体线电荷与圆柱形导体o(a)(b)o线电荷的镜线电荷的镜像像现在学习的是第9页，共48页导体上的感应电荷密度为：导体上的感应电荷密度为：n（1）镜）镜像像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。电荷与导体上的感应电荷不一定相等。（2）由镜）由镜像像法求出电势分布以后，由上式可求感应法求出电势分布以

10、后，由上式可求感应平面与圆柱形边界的组合作为边界平面与圆柱形边界的组合作为边界电荷电荷(a)(b)(c)dSnQS现在学习的是第10页，共48页电偶极子的镜电偶极子的镜像像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：注意：镜镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量及像电荷的位置由边界形状决定，与电量及界面性质无关。界面性质无关。现在学习的是第11页，共48页应用举例接地无限大平面导体板附近有一点电荷，接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。求空间电势。0解：根据唯一性定理左半空间解：根据唯一性定理左半空间右半空间，右半空间，Q在（在（0，0，a）点，）点，电势满足泊松方程。电

11、势满足泊松方程。边界上边界上00zQ设电量为设电量为a，位置为（位置为（0，0，）)()(412222220azyxQazyxQ从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左左与电荷与电荷Q对称的位对称的位置上放一个假想电荷置上放一个假想电荷Q，然后把板抽去。，然后把板抽去。这样，没有改变所考虑空间的电荷这样，没有改变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）分布（即没有改变电势服从的泊松方程）QQ/zPrra现在学习的是第12页，共48页22222200ayxQayxQz由边界条件确定由边界条件确定Qa和和、唯一解是唯一解是 因为象电

12、荷在左半空因为象电荷在左半空间，所以舍去正号间，所以舍去正号 解解aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQ讨论：讨论：（a）导体面上感应电荷分布）导体面上感应电荷分布2/322200)(2ayxQazz现在学习的是第13页，共48页 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b）电荷）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。右半空间完全相同。（c）与与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜

13、象法（又称电象法）为镜象法（又称电象法）QQ（d）导体对电荷）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力zzzeaQeaQerQF202020216)2(144现在学习的是第14页，共48页导体板上部空导体板上部空间的电场可以间的电场可以看作原电荷与看作原电荷与镜象电荷共同镜象电荷共同激发的电场。激发的电场。场点场点P的电势的电势导体板上的感导体板上的感应电荷确实可应电荷确实可以用板下方一以用板下方一个假想电荷个假想电荷Q代替。代替。r r P Q Q 可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁

14、方法。泊松方程的简洁方法。rQrQP041 现在学习的是第15页，共48页镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边界的情镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。例例2设电容率分别为设电容率分别为1和和2 2的两种均匀介质，的两种均匀介质，以无限大平面为界。在介质以无限大平面为界。在介质1 1中有一点电荷中有一点电荷Q Q，求空间电势分布。，求空间电势分布。解：解：先考虑先考虑介质介质1 1 中的中的电势，设想将下半空间换成与上电势，设想将下半空间换成与上半空间一样，并在半空间一样，并在z=-a处有处有Q的

15、像电荷的像电荷Q来代替分来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。则界面上极化电荷对上半空间场的影响。则在在Z0的的区域，空间一点的电势为区域，空间一点的电势为Q Q介质介质1介质介质212a-aQ Qzx )()(41)(412122221222111 azyxQazyxQrQrQ(1)现在学习的是第16页，共48页再考虑介质再考虑介质2中的电势中的电势2，这时我们不能用上面的像电荷，这时我们不能用上面的像电荷Q来来计算计算2区域内的电势。这是因为，按照电像法，区域内的电势。这是因为，按照电像法，像电荷必须在所像电荷必须在所考虑的区域之外考虑的区域之外。所以，我们现在把在所以，我们现在把在2

16、区域外的电荷区域外的电荷Q及其引起的极化电荷合及其引起的极化电荷合起来，用起来，用2区域外的一个像电荷区域外的一个像电荷Q来统一考虑。设来统一考虑。设z0上半空间上半空间的介质的介质1全部换为介质全部换为介质2，并在，并在z=b处有一电荷处有一电荷Q，则，则z R0 处有一处有一点电荷点电荷 Q，求空间各点电势。，求空间各点电势。410rQrQ球坐标系球坐标系PROZQQ/rr现在学习的是第21页，共48页222cosrRaRacos222RbbRr0000222200RR RR RR RQQQQrrrr（2）由边界条件确定）由边界条件确定Qr和和bQO设设 222200222200()2co

17、s()2cosQRbQ R bQRaQ R arrPR0OZQQ因因 任意的任意的aQbQ22)()(22022202aRQbRQ解得解得 aQRQaRb020 QQabaQRQaRb020现在学习的是第22页，共48页)(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQcos2)/(12020RaRRRa ，Q发出的电力发出的电力线一部分会聚到导体球面上线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。，剩余传到无穷远。QQ（3）讨论）讨论：现在学习的是第23页，共48页02222000011()42cos(/)2cos0()QRRRaRaRa RRRaRR

18、球面感应电荷分布球面感应电荷分布 aQRdSQRR00导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。移到地中去了。aQRQQ0 230202202023022022000cos2)(4cos21)1(40aRRaRaRQaRaRaRaRQRRR感现在学习的是第24页，共48页总感应电荷为总感应电荷为即感应电荷的大小等于象电荷即感应电荷的大小等于象电荷Q的大小。的大小。也可以这样证明：也可以这样证明：根据根据Gauss定理，对球作定理，对球作Gauss面，即面，即QaRddRdsQSS020sin感感感aQRoQ感bQ现在学习的是第25页

19、，共48页式中的式中的 是象电荷是象电荷Q和真实电荷和真实电荷Q共同产生的，即共同产生的，即故故 Q感感=Q即感应电荷的电量即感应电荷的电量Q感感等于象电荷的电量等于象电荷的电量Q。SQsdE感01SQsdE01E现在学习的是第26页，共48页根据上述例子，作如下几点讨论：根据上述例子，作如下几点讨论：a)导体球既不接地又不带电导体球既不接地又不带电 这种情况与这种情况与本例本例的差别仅在于边界条件，这里的差别仅在于边界条件，这里导体球不带电，即要求满足电中性条件导体球不带电，即要求满足电中性条件显然，例显然，例3的解不满足电中性的条件，如果在球内再添置一个的解不满足电中性的条件，如果在球内再

20、添置一个象电荷象电荷 ，则满足电中性条，则满足电中性条)(0未知常数RRSdsn00QaRQ0 现在学习的是第27页，共48页件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q必须必须放在球心处，于是放在球心处，于是再由再由)()cos2()cos2(140021202402021220RRRaRaRRaRRaRRaRQ外00RRRR外内现在学习的是第28页，共48页得到 b)导体球不带电其电势为导体球不带电其电势为U0 这种情况与例例3的差别仍然在边界条件，这里U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为 的点电荷，显然，其

21、解为aQRQ00044 内00URR内0004RU现在学习的是第29页，共48页由得到c)若点电荷若点电荷Q在导体球壳内距球心在导体球壳内距球心a处处 这时与例例3的情况相比，仅是源电荷的位置由球QRRUaRRaRRaRRaRQ000212024020212204)cos2()cos2(14外00RRRR外内0U内现在学习的是第30页，共48页外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的区域在外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的区域在球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电势等球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电势等于源电荷于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面）和球面上的感

22、应电荷（球壳内表面）象电荷象电荷Q（在球外（在球外 处）产生的电势：处）产生的电势：这里要注意：这里要注意：象电荷的电量象电荷的电量Q大于源电荷的电量大于源电荷的电量Q，球壳，球壳内的电势与导体球壳是否接地、是否带电无关。内的电势与导体球壳是否接地、是否带电无关。aR2021202402021220)cos2()cos2(14aRRaRRaRRaaRQ内现在学习的是第31页，共48页 d)若导体球带电若导体球带电q但不接地但不接地 这种情况的物理模型为：这种情况的物理模型为：则球心有电荷（则球心有电荷（q-Q)，则，则P点的电势为点的电势为Rob QaQxrrPq-Q现在学习的是第32页，共4

23、8页由 得到RQaRqaRRaRRQaRRaaRQ021202402021220)cos2()cos2(41外00RRRR外内0000044RQaRqRqQ内现在学习的是第33页，共48页顺便计算导体对点电荷顺便计算导体对点电荷Q的作用力：的作用力：此时，源电荷此时，源电荷Q所受到的作用力来自球面上的电荷，即所受到的作用力来自球面上的电荷，即从而得到aRxaReRnnEEQF外外而 xeaRaaRQaQaRqQF22002200)()()(41现在学习的是第34页，共48页当当aR0 ，即近似为两点电荷作用，作用，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力；力为排斥力；当当Q靠近球面时，靠近球面时，

24、此时不论，此时不论q与与Q是否同号，作是否同号，作用力永远为引力，这可由在用力永远为引力，这可由在Q附近的感应电荷与其反号来附近的感应电荷与其反号来解释。解释。xeRaaRaQRqaQ22022023020)()2(41xeaQqF20410Ra就是就是Q与与Q及位于球心处的等效电荷及位于球心处的等效电荷q+Q的作用力之和。的作用力之和。现在学习的是第35页，共48页4.均匀场中的导体球所产生的电势均匀场中的导体球所产生的电势 由于静电屏蔽，由于静电屏蔽，场区域只能在球外。场区域只能在球外。Solution:本题的物理图象是在原有的均匀电场本题的物理图象是在原有的均匀电场 中放置一中性中放置一

25、中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外原来的场空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。偶极子的场的迭加。0ER0-+0E现在学习的是第36页，共48页 第一步：第一步：用两个点电荷用两个点电荷Q激发一均匀场激发一均匀场 点电荷点电荷Q放在对称轴放在对称轴z=a处，处，a很大，很大，Q也很大，也很大，在坐标原点附近的区域内。在坐标原点附近的区域内。第二

26、步：第二步：将一中性导体球放在均匀场中将一中性导体球放在均匀场中0E+Q-Qz0EaaoEE0200241aQE现在学习的是第37页，共48页这样一来，这样一来，Q相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由象电荷来代替它，即由象电荷来代替它，即 此时此时+Q在球面上感应的电量为在球面上感应的电量为 ，-Q在球面上感应在球面上感应电量为电量为 ，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接，这仍然保持导体球为电中性（不管导体球接地与否）。根据唯一性定理，导体球外的地与否）。根据唯一性定理，导体球外的+Q-QzaaR0bboQaR0QaR0)(0QaR)(0Q

27、aR现在学习的是第38页，共48页电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即电势就是这四个点电荷分别在某点产生的电势的迭加，即因为因为aR，则选则选 略去略去 和和212024020212024020212221220)cos2()cos2()cos2()cos2(41aRRaRRQaRaRRaRRQaRRaaRQRaaRQ外22aR2240baRR224022RaRRb现在学习的是第39页，共48页即即又因为又因为 皆为小量，应用展开式皆为小量，应用展开式212002120021210)cos21()cos21()cos21()cos21(14aRRaRRaRRaRRaRaQaRaQ

28、外aRRRaRaR2020和)(211)1(21为小量xxx现在学习的是第40页，共48页则有则有coscoscos2414cos2cos2cos24)cos1()cos1()cos1()cos1(402300223000230020020000ERRRERaQRaRQaRRaRaQRaRRRRaRaRaRaRaQ外现在学习的是第41页，共48页 第一项恰好等于原均匀场以第一项恰好等于原均匀场以o点为参考点电势。第二项恰好点为参考点电势。第二项恰好等于位于等于位于o点的电偶极矩为点的电偶极矩为 的电偶极子的电势。的电偶极子的电势。zeREP03004)(40300电偶极场即原场外ERRPzEP

29、外200241aQEzzeaQReaRQaRP23020022原点附近像电荷代替感应电荷所产生的电偶极矩原点附近像电荷代替感应电荷所产生的电偶极矩现在学习的是第42页，共48页5.半径为半径为R0,电容率为电容率为的介质球置于均匀外电场的介质球置于均匀外电场E0中中，求电，求电势分布。势分布。解：解：设设均匀电场均匀电场E0方向为方向为Z轴正方向，则轴正方向，则E0可看成是由可看成是由Z轴上两个等量异号轴上两个等量异号电荷激发电荷激发，一是位于，一是位于z z=-=-处的正电荷处的正电荷Q Q，一是位于，一是位于z z=+=+处的负电处的负电荷荷-Q Q。这一对正负电荷的镜像电荷正好组成一个电

30、偶极子位于坐标。这一对正负电荷的镜像电荷正好组成一个电偶极子位于坐标原点，所以，求球外空间的电势原点，所以，求球外空间的电势1时，可用原点处的电时，可用原点处的电偶极子偶极子p代代替极化电荷的作用。替极化电荷的作用。300141RRpREcos4cos200RpRE(1)现在学习的是第43页，共48页求球内空间的电势求球内空间的电势2时，可以认为介质时，可以认为介质充满整个空间，充满整个空间，极化电荷的作用用极化电荷的作用用z z=处的点电荷处的点电荷Q代替。这一对代替。这一对等量异号电荷与激发等量异号电荷与激发E0的点电荷的点电荷Q处于同一位置，设处于同一位置，设总电量总电量为为kQ，则激发

31、的电场为，则激发的电场为kE0，电势为，电势为cos002RkEkRE(2)0021RRRR在介质球面上（在介质球面上（R=R0），满足），满足00210RRRRRR(3)(4)由由(3)可得：可得：(5)30004)1(RpkE现在学习的是第44页，共48页由由(4)可得：可得：(6)30002)(RpkE联立联立(5)、(6)解得：解得：00030024ERp0023k所以，所以，23000001cos2cosRREREcos230002RE与课本与课本P49例例2结果完全相同，但计算量小得多。结果完全相同，但计算量小得多。现在学习的是第45页，共48页思考：思考：如果将介质球换成导体球，

32、结果如何？如果将介质球换成导体球，结果如何？导体球表面上的感应电荷同样可用球心处的电偶极子导体球表面上的感应电荷同样可用球心处的电偶极子p代替。代替。cos4cos200RpRE(1)(1)式在球面上（式在球面上（R=R0），满足），满足00RR(2)由由(2)解得：解得：03004ERp(3)代入代入(1)式得：式得：coscos23000RRERE与课本与课本p.51例例3结果完全相同。但计算量很小。结果完全相同。但计算量很小。现在学习的是第46页，共48页6有一点电荷有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为为 a 和和 b，求空间的电势。，求空间的电势。Q 假想电荷应在第假想电荷应在第 I 象限之外。象限之外。要保证互相垂直的要保证互相垂直的两个接地导体板的电两个接地导体板的电势同时为零，应当放势同时为零，应当放几个电荷？几个电荷？解：（解：（1）分析：）分析：Q（-a,-b,0）-Q（a,-b,0）xyOQ（a,b,0）-Q（-a,b,0）现在学习的是第47页，共48页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第48页，共48页