复变函数分式线性映射讲稿.ppt

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1、复变函数课件分式线复变函数课件分式线性映射性映射1第一页，讲稿共二十八页哦一、分式线性映射的概念一、分式线性映射的概念.),0(均为常数均为常数dcbabcaddczbazw 称为称为分式线性映射分式线性映射.说明说明:否则否则,由于由于.,0)(dd2常常数数有有 wdczbcadzw那末整个那末整个z平面映射成平面映射成 w平面上的一点平面上的一点.0)1保角性保角性的限制，保证了映射的的限制，保证了映射的 bcad小知识小知识2第二页，讲稿共二十八页哦分式线性映射的分式线性映射的逆映射逆映射,也是分式线性映射也是分式线性映射.2)由由)0(bcaddczbazw)0(bcadacwbdw

2、z3)两分式线性映射两分式线性映射)0(w)0(zz仍复合为分式线性映仍复合为分式线性映)0)(bcaddczbazw射射3第三页，讲稿共二十八页哦4)分式线性映射分式线性映射 1w,1,121 令令一个一般形式的分式线性映射是由下列三种一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成特殊的简单映射复合而成:,)1(bzw .射射的的研研究究的的研研究究可可化化为为对对以以上上映映对对 w),(2为为常常数数则则BABAw ,)2(azw .1)3(zw 4第四页，讲稿共二十八页哦二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射bzw .1平移映射平移映射(为方便起见为方便起见

3、,令令w平面与平面与z平面重合平面重合)(,所所表表示示的的向向量量即即复复数数沿沿向向量量在在此此映映射射下下bbz,.bw的方向平移一段距离后 就得到o)()(wz zbw5第五页，讲稿共二十八页哦o)()(wz zbw二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射bzw .1平移映射平移映射(为方便起见为方便起见,令令w平面与平面与z平面重合平面重合)(,所所表表示示的的向向量量即即复复数数沿沿向向量量在在此此映映射射下下bbz.,wb就就得得到到后后的的方方向向平平移移一一段段距距离离6第六页，讲稿共二十八页哦)0(,.2 aazw旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换事实

4、上事实上,设设 iiearez ,那末那末,)(ierw因此因此,把把z先转一个角度先转一个角度到到缩短缩短伸长伸长再将再将)(z.,w就就得得到到倍倍后后 wz o)()(wz 7第七页，讲稿共二十八页哦关于横轴对称关于横轴对称zw1.3 反演变换反演变换此映射可进一步分解为此映射可进一步分解为,11zw 1ww 欲由点欲由点z作出点作出点w,可考虑如下作图次序可考虑如下作图次序:wwzz1关键关键:?1wz 在在几几何何上上如如何何由由8第八页，讲稿共二十八页哦对称点的定义对称点的定义:设设C为以原点为中心为以原点为中心,r为半径的圆周为半径的圆周.在以在以PP ,与与如果有两点如果有两点

5、线上线上圆心为起点的一条半直圆心为起点的一条半直满足关系式满足关系式,2rPOOP 那末就称这两点为关于这圆周的那末就称这两点为关于这圆周的对称点对称点.规定规定:无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.9第九页，讲稿共二十八页哦rCo.P.P.设设P在在C外外,从从P作作C的切线的切线PT,由由T作作OP的垂的垂.,即互为对称点即互为对称点与与那么那么交于交于与与线线PPPOPPT OTPTPO OPOTOTPO:22rOTPOOP 作图作图:T.10第十页，讲稿共二十八页哦,irez 设设,11 1 ierzw 则则有有.1 1 zw从从而而故可知故可知:的对称点的对称点是关于

6、单位园周是关于单位园周与与1 1 zwzozw1ww.1w.z.关于单位圆对称关于单位圆对称关于实轴对称关于实轴对称,11 ierww 11第十一页，讲稿共二十八页哦三、分式线性映射的性质三、分式线性映射的性质1.1.一一对应性一一对应性例如例如:,01 wzzw映映射射成成将将映映射射,时时即即当当 z,11 wzzw 改改写写成成如如果果把把,时时可可知知当当 w结论结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应分式线性映射在扩充复平面上一一对应.0 w.0 z12第十二页，讲稿共二十八页哦2.2.保角性保角性zw1 )1(考察考察，因因21zw .,0映映射射是是共共形形的的与与所所以以除除去

7、去 zz若若规定规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角的交角,等于它们在映射等于它们在映射 zw1 下所映成的通过下所映成的通过原点的两条象曲线的交角原点的两条象曲线的交角.1 处处是是共共形形的的在在那那么么映映射射 zzw13第十三页，讲稿共二十八页哦综上所述知综上所述知:)0()()2(abazzfw考考察察,0)(azf因为因为,1 baz 若若令令.1:处是共形的处是共形的在在映射映射同理同理 wwz.0 1 处处是是共共形形的的在在所所以以映映射射 zzw.1 是共形的是共形的在扩充复平面上是处处在扩充复平面上是处处映射映射zw .,映映射射是

8、是共共形形的的时时所所以以当当 z14第十四页，讲稿共二十八页哦 babazw 成成为为则则01)(,00 a 且且处解析处解析在在,0处共形处共形在在因而因而 ba.:处处共共形形在在即即 zbazw.共共形形的的在在扩扩充充复复平平面面上上是是处处处处映映射射bazw 综上所述综上所述:定理一定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性应的，且具有保角性15第十五页，讲稿共二十八页哦3.保圆性保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质圆周的性质.特殊地特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周

9、直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射映射)0(abazw特点特点:经经平平移移旋旋转转伸伸缩缩而而得得到到平平面面内内一一点点将将0 zz.0w象点象点所以此映射在扩充复平面上具有保圆性所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.16第十六页，讲稿共二十八页哦2)映射映射zw1 若若z平面上圆方程为平面上圆方程为:0)(22 dcybxyxa,1,ivuzwiyxz 令令iyx 1ivu 2222,vuvyvuux 有有.0)(22 acvbuvud代入代入z平面圆方程得其象曲线方程平面圆方程得其象曲线方程:即即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.17第十七页，讲

10、稿共二十八页哦 .)0(,1 复合而成复合而成因为映射由因为映射由 abazwzw)0()(bcaddczbazzfw3)分式线性映射分式线性映射定理定理二二 分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周,即具有保圆性即具有保圆性.说明说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线那末它就映射成直线.如果如果18第十八页，讲稿共二十八页哦4.保对称性保对称性对称

11、点的特性对称点的特性 C0z.1z.2z.,:0的的一一对对对对称称点点RzzC ,21是是关关于于圆圆周周设设zz.,0zz 切切点点为为的的切切线线作作从从.20的的割割线线是是显显然然 zz010220zzzzzz 因为因为.0Rzz 所以所以.,:的半径的半径的切线就是的切线就是且且上上在在即即CCz z.,2R 19第十九页，讲稿共二十八页哦.正交正交与与因此因此C,反之反之,21正正且且与与是是经经过过设设Czz,交交的的任任一一圆圆周周,处处正正交交在在交交点点与与又又因因zC (21半半径径为为无无的的特特殊殊情情形形的的直直线线是是与与显显然然过过 zz.,0zC因而必过因而

12、必过正交正交其其必必与与穷穷大大),.0的切线的切线就是就是的半径的半径因此因此 zzC C0z.1z.2z.z.20第二十页，讲稿共二十八页哦结论结论 :,021的的一一对对对对称称点点的的是是关关于于圆圆周周RzzCzz .,21正正交交与与的的任任何何圆圆周周经经过过Czz 充要条件是充要条件是:,20102Rzzzz 则则.21的的一一对对对对称称点点是是关关于于圆圆周周与与即即Czz21第二十一页，讲稿共二十八页哦即即分式线性映射具有保对称性分式线性映射具有保对称性.定理定理三三 .的一对对称点的一对对称点的象曲线的象曲线 C ,21也也是是关关于于它它们们的的象象点点在在分分式式线

13、线性性映映射射下下ww ,21那么那么的一对对称点的一对对称点是关于圆周是关于圆周设点设点Czz22第二十二页，讲稿共二十八页哦证证 ,:21的的圆圆周周与与经经过过设设zz,:21的的任任一一圆圆周周与与经经过过ww 分式线性映射分式线性映射 ,角角性性而而分分式式线线性性映映射射具具有有保保正正交交与与因因为为C.)(必必正正交交的的象象与与所所以以CC .,21的对称点的对称点是一对关于是一对关于与与因此因此Cww 证毕证毕23第二十三页，讲稿共二十八页哦小知识小知识分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究研究,所以也称为所以也称为

14、默比乌斯映射默比乌斯映射.:.2经变形得经变形得dczbazw 0 bazdwcwz对每一个固定的对每一个固定的w,此式关于此式关于z是线性的是线性的;对每一对每一个固定的个固定的z,此式关于此式关于w也是线性的也是线性的,因此称上式因此称上式是双线性的是双线性的.分式线性映射也称分式线性映射也称双线性映射双线性映射.默比乌斯默比乌斯24第二十四页，讲稿共二十八页哦四、小结与思考四、小结与思考 分式线性映射是一类比较简单而又很重要的分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合应熟悉分式线性映射的分解和复合,及及其保角性、保圆性和保对称性其保角性、保圆性和保对称性.25第二十五页，讲稿共二十八页哦试试将将其其分分解解为为简简单单已已知知映映射射,143 izzw.变变换换的的复复合合思考题思考题26第二十六页，讲稿共二十八页哦思考题答案思考题答案,)43(,1,23121zizzzizz .33izw 放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.27第二十七页，讲稿共二十八页哦默比乌斯资料默比乌斯资料 August MbiusBorn:17 Nov 1790 in Schulpforta,Saxony(now Germany)Died:26 Sept 1868 in Leipzig,Germany 28第二十八页，讲稿共二十八页哦