数据分布特征测度.ppt

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1、数据分布特征测度现在学习的是第1页，共27页6.1.16.1.1数据分布特征测度数据分布特征测度的内容的内容6.1.1 6.1.1 数据分布特征测度概述数据分布特征测度概述1.分布特征识别：考察变量数列的分布特征与分布类型等。分布特征识别：考察变量数列的分布特征与分布类型等。2.集中趋势测度：有算均、调均、几均、中位数和众数等平均指标集中趋势测度：有算均、调均、几均、中位数和众数等平均指标3.离散趋势测度：有全距、方差与标准差、变异系数等变异指标。离散趋势测度：有全距、方差与标准差、变异系数等变异指标。4.偏度与峰度测定偏度与峰度测定:考察次数分布非对称程度和分布曲线尖峭程度。考察次数分布非对

2、称程度和分布曲线尖峭程度。6.1.2 数据分布特征测度的作用数据分布特征测度的作用1.1.认识作用。认识总体内部结构与分布特征、一般水平与差异程度认识作用。认识总体内部结构与分布特征、一般水平与差异程度.2.2.比较作用。通过集中趋势与离散趋势测度，可作横向和动态比较。比较作用。通过集中趋势与离散趋势测度，可作横向和动态比较。3.3.数量标准作用。在制定管理定额中，常以相应的平均数为基础。数量标准作用。在制定管理定额中，常以相应的平均数为基础。4.4.推断作用。样本平均数和样本标准差，是抽样推断的重要依据。推断作用。样本平均数和样本标准差，是抽样推断的重要依据。6.1.3 数据分布特征测度的原

3、则数据分布特征测度的原则 1.1.注意总体各单位的同质性。注意总体各单位的同质性。2.2.用组平均数补充总年均数。用组平均数补充总年均数。3.3.用次数分布补充总平均数。用次数分布补充总平均数。4.4.集中趋势与离散趋势测度相结合。集中趋势与离散趋势测度相结合。5.5.注意一般与个别相结合。注意一般与个别相结合。现在学习的是第2页，共27页6.2 6.2 次数分布的类型与识别次数分布的类型与识别 6.2.1 次数分布的类型次数分布的类型次数分布：变量的不同取值及其相应的频数所构成的分布数列次数分布：变量的不同取值及其相应的频数所构成的分布数列.频率分布：变量的不同取值及其相应的频率所构成的分布

4、数列频率分布：变量的不同取值及其相应的频率所构成的分布数列.次数分布或频率分布的主要类型有三种：次数分布或频率分布的主要类型有三种：1.1.钟形分布：钟形分布：“两头小，中间大两头小，中间大”为特征的次数分布或频率分布。曲线图犹如为特征的次数分布或频率分布。曲线图犹如一口古钟；故称钟形分布。一口古钟；故称钟形分布。钟形分布可分为对称分布、右偏分布和左偏分布三种类型钟形分布可分为对称分布、右偏分布和左偏分布三种类型.2.2.U U形分布：形分布：“两头大，中间小两头大，中间小”为特征的次数分布或频率分布。曲线图象为特征的次数分布或频率分布。曲线图象英文字母英文字母“U U”.3.J J 型分布：

5、有正型分布：有正J型分布和反型分布和反J型分布两种类型型分布两种类型现在学习的是第3页，共27页6.2.2 次数分布类型的识别次数分布类型的识别主要考察变量数列次数或频率分布的类型与分布特征主要考察变量数列次数或频率分布的类型与分布特征,描述总体或样本的结描述总体或样本的结构与分布。主要有图示识别法、位置测度法和偏度测定法等。构与分布。主要有图示识别法、位置测度法和偏度测定法等。图示识别法图示识别法:离散型数列宜采用直线图和条形图，连续型数列宜采用直方图、折离散型数列宜采用直线图和条形图，连续型数列宜采用直方图、折线图、平滑图。线图、平滑图。【例例6.1】现在学习的是第4页，共27页6.3 集

6、中趋势测度集中趋势测度 集中趋势是指变量数列中数据分布的中心值或一般集中趋势是指变量数列中数据分布的中心值或一般水平。集中趋势测度就是计算变量数列的平均数，而平水平。集中趋势测度就是计算变量数列的平均数，而平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数等五种，前三种称为数值平均数，后两种称为位和众数等五种，前三种称为数值平均数，后两种称为位置平均数。置平均数。现在学习的是第5页，共27页6.3.1 6.3.1 算术平均数算术平均数基本算式基本算式:总体标志总量总体标志总量/总体单位总量总体单位总量【例例6.2】1.简单算术平均数简单算术

7、平均数:未分组资料未分组资料 平均数平均数=x/n【例例6.3】2.加权算术平均数加权算术平均数:分组资料求平均数分组资料求平均数计算加权算术平均数应注意两点：计算加权算术平均数应注意两点：(1)(1)权数权数绝对权数和绝对权数和比重权数之分比重权数之分.(2)(2)权数对平均数大小起权衡轻重的作用，比重权数更能反映权数权数对平均数大小起权衡轻重的作用，比重权数更能反映权数的实质。的实质。(3)(3)根据组距数列计算的平均数只是一个近似值。根据组距数列计算的平均数只是一个近似值。【例例6.4】【例例6.5】现在学习的是第6页，共27页3.算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质现在学习的是第7

8、页，共27页5.总平均数与分段平均数总平均数与分段平均数以总平均数为临界点，可将数列划分为低于总平均数和高于总平均数的两部分，进而可以总平均数为临界点，可将数列划分为低于总平均数和高于总平均数的两部分，进而可计算低段计算低段n n1 1个数据的平均数和高段个数据的平均数和高段n n2 2个数据的平均数来概括数据分布的特征，分段个数据的平均数来概括数据分布的特征，分段平均数可补充说明总平均数的不足，亦可度量先进平均水平和落后平均水平，作平均数可补充说明总平均数的不足，亦可度量先进平均水平和落后平均水平，作为制订先进平均定额的依据为制订先进平均定额的依据.【例例6.6】6.6.几种特殊的算术平均数

9、几种特殊的算术平均数(1)等级平均数。通常把属性数列中的等级量化为等级平均数。通常把属性数列中的等级量化为1、2、3，用观察的次数作权数，用观察的次数作权数，用加权平均法计算平均等级来反映集中趋势。，用加权平均法计算平均等级来反映集中趋势。【例例6.7】(2)评分平均数。通常把人们对评价项目的评分值作为评分平均数。通常把人们对评价项目的评分值作为x x，把事先规定的项目重，把事先规定的项目重要程度作权数要程度作权数f f，计算评分平均数。，计算评分平均数。【例例6.8】(3)截尾平均数。由于算术平均数易受极端值的影响，有时为了消除少数特截尾平均数。由于算术平均数易受极端值的影响，有时为了消除少

10、数特别大或特别小的数值影响，而采用截尾平均数。如评级评奖项目的平均分值的计别大或特别小的数值影响，而采用截尾平均数。如评级评奖项目的平均分值的计算，可去掉一些最低分和最高分，再求平均分算，可去掉一些最低分和最高分，再求平均分.【例例6.9】现在学习的是第8页，共27页6.3.2 6.3.2 调和平均数调和平均数调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数.有简单调均与加权调均有简单调均与加权调均两种，计算公式为：两种，计算公式为：调和平均数可避免算术平均数易受极端值的影响，但本意上的调和平均数应调和平均数可避免算术平均数易受极端值的影响，但本意上的调

11、和平均数应用很少，在实际工作中，常把调和平均数作为算术平均数的变形来使用。其变形形用很少，在实际工作中，常把调和平均数作为算术平均数的变形来使用。其变形形式为：式为：【例例6.10】【例例6.11】【例例6.12】现在学习的是第9页，共27页6.3.3 6.3.3 几何平均数几何平均数1.1.几均是数列中几均是数列中 n n 个变量值的连乘积的个变量值的连乘积的n n次方根次方根.适宜于求数列的平均比率或适宜于求数列的平均比率或平均速度。亦有简单几均与加权几均之分，计算公式为：平均速度。亦有简单几均与加权几均之分，计算公式为：计算时，应注意各变量值中不能有数值为零或为负数的数出现。计算时，应注

12、意各变量值中不能有数值为零或为负数的数出现。【例例6.13】【例例6.14】【例例6.15】2.2.几均、算均、调均的关系几均、算均、调均的关系对同一变量数列而言，若分别计算几均、算均、调均，则有算均最大、调均最小、几对同一变量数列而言，若分别计算几均、算均、调均，则有算均最大、调均最小、几均居中，三者的关系用不等表示为均居中，三者的关系用不等表示为:现在学习的是第10页，共27页6.3.4 6.3.4 中位数中位数中位数变量数列中居中间位置的变量值，又称二分位数。由于中位数位置居中，其值不中位数变量数列中居中间位置的变量值，又称二分位数。由于中位数位置居中，其值不大不小，因而，可用来代表数列

13、的一般水平。大不小，因而，可用来代表数列的一般水平。1.1.未分组资料求中位数。先将未分组资料求中位数。先将 n n 个数值由小到大排列个数值由小到大排列;其次其次,用（用（n n+1+1）/2/2 确定中确定中位数所处位置；最后视位数所处位置；最后视n n为奇数还是偶数确定中位数为奇数还是偶数确定中位数.2.2.单项数列求中位数。先用较小累计制求累计次数，其次用公式（单项数列求中位数。先用较小累计制求累计次数，其次用公式（f+1）/2决定决定中位数的位次和所在的组别，最后确定中位数中位数的位次和所在的组别，最后确定中位数.3.3.由组距数列确定中位数，先采用较小或较大累计制计算各组累计次数；

14、由组距数列确定中位数，先采用较小或较大累计制计算各组累计次数；其次用（其次用（f+1）/2确定中位数的位次和所处的组别，最后根据均匀分布假设，用下确定中位数的位次和所处的组别，最后根据均匀分布假设，用下列公式求中位数列公式求中位数:【例例6.16】【例例6.16】【例例6.18】现在学习的是第11页，共27页6.3.5 6.3.5 众众 数数众数是变量数列中出现次数最多的变量值。由于众数在数列中出现的频率较高，有时众数是变量数列中出现次数最多的变量值。由于众数在数列中出现的频率较高，有时利用众数来表示现象的一般水平或集中趋势。众数利用众数来表示现象的一般水平或集中趋势。众数 M0 M0 的确定

15、有以下两种情形：的确定有以下两种情形：1 1、单项分组数列求众数。直接找出次数最多的变量值即为众数、单项分组数列求众数。直接找出次数最多的变量值即为众数2 2、组距变量数列求众数。对称分布时众数、组距变量数列求众数。对称分布时众数M0M0为众数组（次数最多的组）为众数组（次数最多的组）的组中值的组中值(粗众数粗众数)。非对称分布时。非对称分布时,众数会受众数组前后两组次数（众数会受众数组前后两组次数（f-1及及f+1）的影响）的影响众众数有两种计算方法：数有两种计算方法：【例例6.18】金氏插值法。根据众数组前后两组次数，用下列公式求众数金氏插值法。根据众数组前后两组次数，用下列公式求众数:切

16、伯插值法。根据众数组次数分别与前后两组次数之差求众数切伯插值法。根据众数组次数分别与前后两组次数之差求众数:现在学习的是第12页，共27页6.3.6 四分位数四分位数将一群由小到大排列的数列分为四等分，可得到三个分割点将一群由小到大排列的数列分为四等分，可得到三个分割点Q1Q1、Q2Q2、Q3Q3，分别称为下，分别称为下四分位数、中位数、上四分位数。这三个临界点就是四分位数四分位数、中位数、上四分位数。这三个临界点就是四分位数.【例例6.20】6.3.7 五数概括法和箱线图五数概括法和箱线图 五数概括法是用数列中的最小值五数概括法是用数列中的最小值(min)(min)、下四分位数、中位数、上四

17、分位数和最大值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值(max)(max)来概括数据的变动的范围和特征。来概括数据的变动的范围和特征。箱线图是根据这五个数据绘制的图形来显箱线图是根据这五个数据绘制的图形来显示数据，即以示数据，即以Q1Q1和和Q3Q3为盒箱的边界，以为盒箱的边界，以Q3Q3-Q1Q1的间距作为盒箱的长度，然后标出最小的间距作为盒箱的长度，然后标出最小值、最大值和中位数的位置，箱线图的下方可标出横坐标。值、最大值和中位数的位置，箱线图的下方可标出横坐标。现在学习的是第13页，共27页6.4 6.4 离散趋势测度离散趋势测度 离散趋势是指变量数列中变量值之间的差异程度、分散离散趋势

18、是指变量数列中变量值之间的差异程度、分散程度或离中程度。标志变异指标是衡量变量数列中变量值离散程度或离中程度。标志变异指标是衡量变量数列中变量值离散程度的综合指标。程度的综合指标。标志变异指标可以评价平均数代表性大小、衡量事物变动的标志变异指标可以评价平均数代表性大小、衡量事物变动的均衡性或稳定性。标志变异指标越小，平均数的代表性越大，事均衡性或稳定性。标志变异指标越小，平均数的代表性越大，事物变动则具有较强的均衡性或稳定性。物变动则具有较强的均衡性或稳定性。常用的离散趋势测度指标有异众比率、全距、四分位差、平均差常用的离散趋势测度指标有异众比率、全距、四分位差、平均差、方差与标准差、变异系数

19、、基尼系数、方差与标准差、变异系数、基尼系数。现在学习的是第14页，共27页6.4.26.4.2 异众比率异众比率异众比率是非众数组的次数占总次数的比率，计算公式为：异众比率是非众数组的次数占总次数的比率，计算公式为：一般用于测度属性水准数据的离散程度一般用于测度属性水准数据的离散程度,也可用于测度数量水准数据的离散程也可用于测度数量水准数据的离散程度。异众比率越大，众数的代表性越差；反之，众数的代表性越大。度。异众比率越大，众数的代表性越差；反之，众数的代表性越大。6.4.3 6.4.3 全距全距全距是数列中最大变量值与最小变量值之差，又称极差，表示某一总体全距是数列中最大变量值与最小变量值

20、之差，又称极差，表示某一总体全部变量值的变动范围。全距越大，平均数的代表性越低，反之，则越强。全全部变量值的变动范围。全距越大，平均数的代表性越低，反之，则越强。全距距R R的计算公式为：的计算公式为：R R=最大变量值最小变量值最大变量值最小变量值 （单项数列）（单项数列）R R=最高组上限最低组限下最高组上限最低组限下 （组距数列）（组距数列）全距计算简单方便，通俗易懂，但易受极端值影响，不能反映全部数据的实际离全距计算简单方便，通俗易懂，但易受极端值影响，不能反映全部数据的实际离散程度。散程度。现在学习的是第15页，共27页3121QQQD6.4.3 6.4.3 四分位差四分位差为了克服

21、全距易受极端值的影响为了克服全距易受极端值的影响,可采用四分位间距和四分位差来衡量数列中变可采用四分位间距和四分位差来衡量数列中变量值的变异程度。四分位间距是上四分位数与下四分位数之差，亦即在数列中间的量值的变异程度。四分位间距是上四分位数与下四分位数之差，亦即在数列中间的50%的数的数据的间距。四分位差据的间距。四分位差QD则定义为则定义为四分位差不够通俗，未考虑全部数据的差异，实际应用较少。四分位差不够通俗，未考虑全部数据的差异，实际应用较少。6.4.4 6.4.4 平均差平均差平均差是数列中各变量值与算术平均数的离差绝对值的算术平均数。记作平均差是数列中各变量值与算术平均数的离差绝对值的

22、算术平均数。记作AD。采用离差绝对值计算平均离差，是为了消除正负离差相抵为采用离差绝对值计算平均离差，是为了消除正负离差相抵为0的影响，以便反映平均的离散的影响，以便反映平均的离散程度。计算公式为：程度。计算公式为：平均差能全面地准确地反映各变量值的离散程度，但带有绝对值符号，运算上很平均差能全面地准确地反映各变量值的离散程度，但带有绝对值符号，运算上很不方便，实际应用很少。不方便，实际应用很少。【例例6.21】x现在学习的是第16页，共27页6.4.5 6.4.5 方差与标准差方差与标准差1。方差是各变量值与算术平均数的离差平方的平均数，方差的平方根称为标准差。方差是各变量值与算术平均数的离

23、差平方的平均数，方差的平方根称为标准差。采用离差平方的方法是为了避免正负离差相抵为零的问题。方差用表示，标准差用表示。其采用离差平方的方法是为了避免正负离差相抵为零的问题。方差用表示，标准差用表示。其计算公式为：计算公式为：标准差和平均差都能全面反映数列中变量值的离散程度，但标准差比平标准差和平均差都能全面反映数列中变量值的离散程度，但标准差比平均差大（采用离差平方来消除正负离差互相抵消的问题时，夸大了绝对值大的均差大（采用离差平方来消除正负离差互相抵消的问题时，夸大了绝对值大的离差的影响）。标准差运算方便，实际工作中常采用。离差的影响）。标准差运算方便，实际工作中常采用。【例例6.22】现在

24、学习的是第17页，共27页2.方差的性质方差的性质【例例6.23】现在学习的是第18页，共27页5.4.5 5.4.5 离散系数离散系数离散系数也称标志变异系数，是衡量数列变量值离散程度的相对指标，通常用离散系数也称标志变异系数，是衡量数列变量值离散程度的相对指标，通常用标志变异指标与相应的算术平均数对比求得。最常用的是标准差系数，标准差系数是标志变异指标与相应的算术平均数对比求得。最常用的是标准差系数，标准差系数是标准差与算术平均数之比，计算公式为：标准差与算术平均数之比，计算公式为：通常将通常将1-标准差系数称为集中度或均衡度。标准差系数称为集中度或均衡度。标准差系数的应用应注意以下几点。

25、标准差系数的应用应注意以下几点。（1）若两个数列或两个总体的均值相同，可直接比较标准差大小来衡量平）若两个数列或两个总体的均值相同，可直接比较标准差大小来衡量平均数代表性大小或现象的均衡性，而不必计算标准差系数。均数代表性大小或现象的均衡性，而不必计算标准差系数。（2）若两个数列或两个总体的均值不相同，则应计算标准差系数来比较其平均数代表）若两个数列或两个总体的均值不相同，则应计算标准差系数来比较其平均数代表性大小或现象的均衡性性大小或现象的均衡性。【例例6.24】某省城镇居民可支配收入差异分析某省城镇居民可支配收入差异分析现在学习的是第19页，共27页6.4.7 6.4.7 基尼系数基尼系数

26、基尼系数又称落伦茨系数，是反映收入和财富平等与否程度的重要指标基尼系数又称落伦茨系数，是反映收入和财富平等与否程度的重要指标,亦可用亦可用于测定某些变量数列的离散程度于测定某些变量数列的离散程度,衡量事物变动的均衡性或稳定性。基尼系数就是依衡量事物变动的均衡性或稳定性。基尼系数就是依据落伦茨曲线据落伦茨曲线A、B两块面积而计算的比重：两块面积而计算的比重：基尼系数的取值介于基尼系数的取值介于0 0与与1 1之间，越接近于之间，越接近于1 1，越不平等；越接近于，越不平等；越接近于0 0，越平等。，越平等。一般认为，基尼系数在一般认为，基尼系数在0.20.2以下高度平均以下高度平均;02-0.4

27、;02-0.4合理合理;0.4-0.6;0.4-0.6差距较大差距较大;0.6;0.6以上高以上高度不平均度不平均;小于小于0.20.2或大于或大于0.60.6则不合理。则不合理。基尼系数计算方法很多基尼系数计算方法很多,较简便的方法有以下较简便的方法有以下3 3种（公式见教材）：种（公式见教材）：(1)等距分组测定法：要求收入按相等组距分组。等距分组测定法：要求收入按相等组距分组。(2)等级测定法：要求将全部家庭户或人口按其收入等分为等级测定法：要求将全部家庭户或人口按其收入等分为n组。组。(3)简易测定法：要求将全部家庭户或人口按其收入等分为简易测定法：要求将全部家庭户或人口按其收入等分为

28、5部分。部分。【例例6.25】BAAG现在学习的是第20页，共27页6.4.8 6.4.8 是非标志的方差是非标志的方差是非标志是指能将全部总体单位划分为具有和不具是非标志是指能将全部总体单位划分为具有和不具有某种特征两组的分组标志。有某种特征两组的分组标志。设全部总体单位数为设全部总体单位数为N，具有某种特征的单位数为，具有某种特征的单位数为N1，不具有某种特征的单位数为，不具有某种特征的单位数为No。在总体单位数中。在总体单位数中，具有某种特征的单位数的比率用，具有某种特征的单位数的比率用 P 表示，不具有某种表示，不具有某种特征的单位数的比率用特征的单位数的比率用 q 表示，即：表示，即

29、：NNp1NNq11qp现在学习的是第21页，共27页则比率则比率p p（成数）的平均数、标准差为（成数）的平均数、标准差为：比率比率 p p 的平均数：的平均数：p p因此，成数的平均数就是该成数的本身，成数的方因此，成数的平均数就是该成数的本身，成数的方差就是差就是 pq 或或 p（1-p）。）。由于成数由于成数 p 总是大于总是大于 0 小于小于 1，从成数方差的计算公式可知，从成数方差的计算公式可知，成数方差的最小值为成数方差的最小值为 0（即（即p=0或或P=1时）；最大值为时）；最大值为0.25（即（即P=50%时），此时成数的标准差是时），此时成数的标准差是0.5。【例例6.26

30、】比率p的方差：pqppp)1(2比率p的标准差：)1(2PPp现在学习的是第22页，共27页6.5 6.5 偏度与峰度偏度与峰度5.5.1 5.5.1 偏度偏度偏度又称偏态，是指变量数列中次数分布的非对称程度。有时平均数与标偏度又称偏态，是指变量数列中次数分布的非对称程度。有时平均数与标准差相同的数列，其次数分布的形态可能不完全一样，这与次数分布的对称程准差相同的数列，其次数分布的形态可能不完全一样，这与次数分布的对称程度有关。如果次数分布是完全对称的，称为对称分布，如果不是完全对称的，度有关。如果次数分布是完全对称的，称为对称分布，如果不是完全对称的，则称偏态分布。一般来说有下列几种情形则

31、称偏态分布。一般来说有下列几种情形：现在学习的是第23页，共27页次数分布偏态的测定方法有以下两种：次数分布偏态的测定方法有以下两种：1.1.算术平均数与众数比较法算术平均数与众数比较法利用算均、中位数利用算均、中位数M Me e、众数、众数M0M0之间的关系测定偏态。之间的关系测定偏态。2.2.动差法动差法 现在学习的是第24页，共27页6.5.2 峰峰 度度峰度是次数分布曲线顶端的尖峭程度，又称峰态。峰度是次数分布曲线顶端的尖峭程度，又称峰态。峰度通常有三种：正态峰度峰度通常有三种：正态峰度(常态峰常态峰)、尖顶峰度、尖顶峰度(高狭峰高狭峰)、平顶峰度、平顶峰度(低阔峰低阔峰)。峰度的测定

32、，通常用四阶中心动。峰度的测定，通常用四阶中心动差差M4除以除以 即（即（）所得的相对数为测量值，用）所得的相对数为测量值，用2表示峰态系数，即：表示峰态系数，即：422M224442MMM现在学习的是第25页，共27页根据经验，有下列三条判断准则：(1)2=3，正态峰度(常态峰a)(2)23尖顶态峰度(高狭峰b)(3)23平顶峰度(低狭峰c)(4)2=1.8，矩形分布(5)21.8，u形分布 现在学习的是第26页，共27页6.5.3 6.5.3 偏度和峰度的应用偏度和峰度的应用偏度和峰度主要用于检查样本的分布是否属于正态偏度和峰度主要用于检查样本的分布是否属于正态分布，然后判断总体的分布是否接近于正态分布。若样分布，然后判断总体的分布是否接近于正态分布。若样本次数分布的偏度系数本次数分布的偏度系数 1 接近于接近于0，而峰度系数，而峰度系数 2 接接近于近于3，则可推断总体的次数分布接近于正态分布。，则可推断总体的次数分布接近于正态分布。现在学习的是第27页，共27页