离散型随机变量及其分布函数.ppt

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1、关于离散型随机变量关于离散型随机变量及其分布函数及其分布函数现在学习的是第1页，共33页一、离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量的分布函数离散型离散型(1)离散型离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷若随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量个，则称其为离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它现在学习的是第2页，共33页实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命中直至

2、命中时的射击次数时的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:.,3,2,1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30,3,2,1,0现在学习的是第3页，共33页实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a,b)内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.).,0 (2)连

3、续型连续型 若若随机变量所有可能的取值可以连续随机变量所有可能的取值可以连续地充满某个区间地充满某个区间,则称其为则称其为连续型随机变量连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 现在学习的是第4页，共33页说明说明 ;,2,1,0)1(kpk.1)2(1 kkp.,2,1,),2,1(的分布律的分布律量量称此式为离散型随机变称此式为离散型随机变为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 定义定义现在学习的是第5页，共33页离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量

4、的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或现在学习的是第6页，共33页例例1 1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯.每每盏灯以盏灯以 的概率禁止汽车通过的概率禁止汽车通过.以以 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信号灯表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信号灯的工作是相互独立的），求的工作是相互独立的），求 的分布律的分布律.01)pp（XX解：X的分布律为Xkp01234 p(1)p p2(1)pp3(1)pp4(1)p现在学习的是第7页，共33页 xxkkpxXPxF)(分布函数分布律kkxXP

5、p 离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：也就是：也就是：.)()(xxxxkkkkxXPpxXPxF现在学习的是第8页，共33页二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只取只取0与与1两个值两个值,它的分布律为它的分布律为1.两点分布两点分布则称则称 X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布或或伯努利分布伯努利分布.Xkp0p 11p现在学习的是第9页，共33页 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可任何一个只有两种可能结果的随机现象能结果的随

6、机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布都属于两点分布.说明说明现在学习的是第10页，共33页2.二项分布二项分布若若X的分布律为：的分布律为：则则nkqpCkXPknkkn0,1,2,称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分布。记为。记为 ),(pnBX,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布1 n两点分布两点分布现在学习的是第11页，共33页?)20,1,0(20.20,2.0.1500,一一级级品品的的概概率率是是多多少少只只中中恰恰有有只只元元件件问问只只现现

7、在在从从中中随随机机地地抽抽查查品品率率为为级级已已知知某某一一大大批批产产品品的的一一小小时时的的为为一一级级品品用用寿寿命命超超过过某某种种型型号号电电子子元元件件的的使使按按规规定定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大但由于这批元件的总数很大,且且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽因而此抽样可近似当作放回抽样来处理样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例

8、例2现在学习的是第12页，共33页解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),.,(2020BX则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(201080202020 kkkXPkk012.00 XP058.01 XP137.02 XP205.03 XP218.04 XP175.05 XP109.06 XP055.07 XP022.08 XP007.09 XP002.010 XP时时当当11,001.0 kkXP现在学习的是第13页，共33页图示概率分布图示概率分布现在学习的是第14页，共33页.,400,02.0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独

9、立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).,(020400BX则则的的分分布布律律为为X,)98.0()02.0(400400 kkkkXP .400,1,0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1 .9972.0 例例3现在学习的是第15页，共33页3.泊松分布泊松分布 0,1,2,0,1,2,!0.,().keP XkkkXX 设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数 则称服从参数为 的泊松分布 记为现在学习的是第16页，共33页泊松分布的背景及应用泊松

10、分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放射出的与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒)，发现，发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从泊松分布服从泊松分布.现在学习的是第17页，共33页地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆

11、发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等都服从泊松分布话呼唤次数等都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水现在学习的是第18页，共33页电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.现在学习的是第19页，共33页泊松定理泊松定理(,)(

12、1)0,lim!nkkn knnnnknXB n pP XkC ppnpkP Xkek设且满足则对任意非负整数有证明证明,npn由 得现在学习的是第20页，共33页knnknppknknkXP )()()!(!1(1)(1)1)!kn kn nnkknn（）（1211(1)(1)(1)(1)(1)!knkkknnnnn1211(1)(1)(1)(1)(1)!nkkkknnnnn,l i m!knnP Xkekll 令令有有现在学习的是第21页，共33页二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大,p 很小很小上面我们提到上面我们提到现在学习的是第22页，共33页 ：设：设1000 辆车通过辆车

13、通过,出事故的次数出事故的次数为为 X,则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算,1.00001.01000 所求概率为所求概率为-10009991000=10.99990.00010.99991.0047.0!11.0!011.01.0 ee解解2 XP1012 XPXPXP),.,(000101000BX例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小

14、于2的概率是多少的概率是多少?现在学习的是第23页，共33页4.几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的对该批产品做有放回的抽样检查抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽在此之前抽到的全是正品到的全是正品),那么所抽到的产品数目那么所抽到的产品数目 X 是一个随机是一个随机变量变量,求求X 的分布律的分布律.,1,qpXkpk21pqppqk 1 现在学习的是第24页，共33页)(121kkAAAAPkXP )()()(

15、)(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ),2,1(k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解.,3,2,1所所取取的的可可能能值值是是X,个个产产品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示设设iAi现在学习的是第25页，共33页5.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为),min,(nMmCCCmXPnNmnMNmM210 .,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到超几何分布在

16、关于废品率的计件检验中常用到.说明说明现在学习的是第26页，共33页1.常见离散型随机变量的分布常见离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布三、内容小结三、内容小结超几何分布超几何分布现在学习的是第27页，共33页).,(,)10(),2,1(,0,1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布

17、的推广二项分布是二项分布是 .)10(.2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、现在学习的是第28页，共33页).,2,1,0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n现在学习的是第29页，共33页例例1 1 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人需配备适量的维修工人(工人工人配备多了就浪费配备多了就浪费,配备少了又要影响生产配备少了又要影响生产)

18、,现有同类型设现有同类型设备备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们我们也只考虑这种情况也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).,(,010300BX那那末末所需解决的问题所需解决的问题,N是是确确定定最最小小的的使得使得合理配备

19、维修工人问题合理配备维修工人问题备份题备份题现在学习的是第30页，共33页由泊松定理得由泊松定理得,!303 NkkkeNXP故有故有,99.0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01.0.8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.99.0 NXP现在学习的是第31页，共33页例例2 (人寿保险问题人寿保险问题)有有2500个同年龄同社会阶层的个同年龄同社会阶层的人在保险公司里参加了人寿保险人在保险公司里参加了

20、人寿保险,在每一年里每个人死在每一年里每个人死亡的概率为亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元元保险费保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里领取家属可在公司里领取2000元元.问问(1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少?保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解:设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则)002.0,2500(BX现在学习的是第32页，共33页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页