数值分析二分法迭代法及收敛性课件.ppt

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1、数值分析二分法迭代法及收敛性数值分析二分法迭代法及收敛性第1页，此课件共32页哦3.1.1 3.1.1 引言引言本章主要讨论单变量非线性方程f(x)=0 (1.1)的求根问题，这里xR,f(x)Ca,b.在科学与工程计算中有大量方程求根问题，其中一类特殊的问题是多项式方程)2.1(),0()(01110 aaxaxaxaxfnnnn其中系数ai(i=0,1,n)为实数.3.1 方程求根与二分法第2页，此课件共32页哦n=1,2时方程的根是大家熟悉的，n=3,4时虽有求根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合数值计算，而n5时就不能用公式表示方程的根.因此，通常对n3的多项式方程求根与一

2、般连续函数方程(1.1)一样都可采用迭代法求根.第3页，此课件共32页哦方程f(x)=0的根 x*，又称为函数f(x)的零点，它使得f(x*)=0，若f(x)可分解为f(x)=(x-x*)mg(x)，其中m为正整数，且g(x*)0.当m=1时，则称x*为单根，若m1称x*为(1.1)的m重根，或x*为函数f(x)的m重零点.若x*是f(x)的m重零点，则.0)(,0)()()()()1(xfxfxfxfmm注：第4页，此课件共32页哦3.1.2 3.1.2 二分法二分法如果 f(x)在区间a,b上连续,f(a)f(b)0,则在a,b 内有方程的根.（Bisection Method）二分法原理

3、第5页，此课件共32页哦二分法的实施过程二分法的实施过程取a,b的中点 将区间一分为二.若 f(x0)=0,则x0就是方程的根,否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧.,)(210bax 若f(a)f(x0)0,则x*(a,x0),令 a1=a,b1=x0;若f(x0)f(b)0,则x*(x0,b),令 a1=x0,b1=b.不论出现哪种情况,(a1,b1)均为新的有根区间,它的长度只有原有根区间长度的一半,达到了压缩有根区间的目的.第6页，此课件共32页哦如此反复进行,即可的一系列有根区间套 ,11nnbababa 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间an,bn的长度为)(ababnn

4、n 21若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去.当 n 时，区间必将最终收缩为一点x*，显然 x*就是所求的根.第7页，此课件共32页哦 若取区间an,bn的中点)(nnnbax 21作为x*的近似值，则有下述111*()()22nnnnxxbaba 只要 n 足够大,(即区间二分次数足够多)，误差就可足够小.),(,*11 nnnbaxx二分法的误差估计第8页，此课件共32页哦例1 用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在(1,1.5)的实根,要求误差不超过0.005.解 由题设条件，即：则要005.021)15.1(21)(21211 nnnab|x*-xn|0.0

5、05由此解得 取 n=6,按二分法计算过程见下表,x6=1.3242 为所求之近似根.,6.512lg2 n第9页，此课件共32页哦n an bn xn f(xn)说明01234561.01.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242-+-+-(1)f(a)0(2)根据精 度要求，取到小数点后四位 即可.二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根，只是用其为根求得一个较好的近似值.第10页，此课

6、件共32页哦二分法的计算步骤:步骤1 准备 计算函数f(x)在区间a,b端点处的值f(a),f(b).若f(a)f(a+b)/2)0,则以(a+b)/2代替b，否则以(a+b)/2代替a.步骤2 二分 计算函数f(x)在区间中点(a+b)/2处的值f(a+b)/2).步骤3 判断 若f(a+b)/2)=0，则(a+b)/2即是根，计算过程结束，否则检验.反复执行步骤2和步骤3，直到区间a,b长度小于允许误差，此时中点(a+b)/2即为所求近似根.第11页，此课件共32页哦3.2 迭代法及其收敛性迭代法及其收敛性3.2.1 不动点迭代法 将方程 f(x)=0 改写为等价方程形式 x=(x).(2

7、.1)若要求 x*满足 f(x*)=0，则 x*=(x*)；反之亦然，称 x*为函数(x)的一个.求 f(x)的就等于求(x)的，选择一个初始近似值 x0，将它代入(2.1)右端，即可求得 x1=(x0).第12页，此课件共32页哦.lim xxkk可以如此反复迭代计算 xk+1=(xk)(k=0,1,2,).(2.2)(x)称为迭代函数.如果对任何x0a,b，由(2.2)得到的序列xk有极限则称迭代方程(2.2)收敛.且x*=(x*)为(x)的不动点，故称(2.2)为不动点迭代法.第13页，此课件共32页哦当(x)连续时，显然x*就是方程 x=(x)之根(不动点).于是可以从数列xk中求得满

8、足精度要求的近似根.这种求根方法称为不动点迭代法,1()(0,1,2,)kkxxk 称为迭代格式,(x)称为迭代函数,x0 称为迭代初值,数列xk称为迭代序列.如果迭代序列收敛,则称迭代格式收敛,否则称为发散.1()(0,1,2,)kkxxk .lim xxkk第14页，此课件共32页哦 03224xxx分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下：14)(2 xxx 32)(243 xxxx 4121)23()(xxxx 解 对方程进行如下三种变形：例2 用迭代法求方程x4+2x2-x-3=0 在区间1,1.2内的实根.第15页，此课件共32页哦准确根 x*=1.124

9、123029,可见迭代公式不同,收敛情况也不同.第二种公式比第一种公式收敛快得多,而第三种公式不收敛.73496,8.49530710 xx12()41kkkxxx 4213()23kkkkxxxx 12411()(32)kkkkxxxx 26271.124123xx671.124123xx第16页，此课件共32页哦xyoy=(x)y=x解x=(x)求 y=x 与y=(x)的交点的横坐标x*x0(x0,x1)(x1,x2)(x1,x1)x1x2迭代法的几何意义第17页，此课件共32页哦xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0 x1

10、p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1第18页，此课件共32页哦注：迭代法的研究涉及四个问题：(1)迭代公式的选取；(2)迭代公式收敛性的判定；(3)在收敛情况下，如何比较收敛速度；(4)迭代停止的条件。第19页，此课件共32页哦3.2.2 3.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性不动点的存在性与迭代法的收敛性 首先考察(x)在a,b上不动点的存在唯一性.设(x)Ca,b满足以下两个条件：1 对任意xa,b有a(x)b.)4.2(.)()(yxLyx 2 存在正数La及(b)0,f(b)=(b)-b0,由连续函数性质可知存在 x*(a,b)使 f(x*)=0，即x*=(x

11、*)，x*即为(x)的不动点.再证不动点的.设x1*,x2*a,b都是(x)的不动点，则由(2.4)得.)()(21212121 xxxxLxxxx 引出矛盾，故(x)的不动点只能是唯一的.第21页，此课件共32页哦 设(x)Ca,b满足定理1中的两个条件，则对任意x0a,b，由(2.2)得到的迭代序列xk收敛到不动点x*，并有)6.2(.1)5.2(.1101kkkkkxxLLxxxxLLxx 证明 设x*a,b是(x)在a,b上的唯一不动点,由条件1，可知xka,b，再由(2.4)得.)()(011xxLxxLxxxxkkkk 因0L1时称超线性收敛，p=2 时称平方收敛.第31页，此课件共32页哦 对于迭代过程 xk+1=(xk)，如果(p)(x)在所求根 x*的邻近连续（p 1），并且)8.2(.0)(,0)()()()()1(xxxxpp 则该迭代过程在 x*的邻近是 p 阶收敛的.由于(x*)=0，根据定理3立即可以断定迭代过程xk+1=(xk)具有局部收敛性.再将(xk)在根x*处做泰勒展开,利用条件(2.8),则有.,)(!)()()()(之间之间与与在在 xxxxpxxkpkpk 注意到(xk)=xk+1，(x*)=x*，由上式得第32页，此课件共32页哦