推理与证明数系的扩充与复数的引入课件.ppt

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1、推理与证明数系的扩充与复数的引入第1页，此课件共62页哦第2页，此课件共62页哦第一节第一节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理基础梳理基础梳理1.合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行

2、归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.第3页，此课件共62页哦2.演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.典例分析典例分析题型一题型一 归纳推理归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是 ()

3、A.(44,25)B.(45,25)C.(25,45)D.(24,44)第4页，此课件共62页哦分析分析 归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.解解 质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；猜想：质点到达(n,n)处，走过长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了

4、20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是（24,44）.学后反思学后反思 归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.举一反三举一反三第5页，此课件共62页哦在数列an中，(nN*),试猜想这个数列的通项公式.1121,2nnnaaaa1212312343422221231,2223224232122,.125122naaaaaaaaaan 猜想：a解析解析题型二题型二 类比推理类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.分析分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等

5、，都可以和向量加以比较.解解 （1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：第6页，此课件共62页哦 a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思学后反思 （1）类比推理是个别到个别的推理，或是由一

6、般到一般的推理.（2）类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.举一反三举一反三第7页，此课件共62页哦2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点 为圆心，r为半径的圆的方程为00,xy22200 xxyyr解析解析 (1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的四个点确定一个球;(3)球的表面积与体积可求;(4)在空间直角坐标系中，以点 为

7、球心，r为半径的球的方程为 .000,xyz2222000 xxyyzzr题型三题型三 演绎推理演绎推理第8页，此课件共62页哦【例3】(12分)已知函数 ,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.af xbxx分析分析 利用演绎推理证明.证明证明 设 ,.1则 .3当 时，6 0,即 ,.7f(x)在(0,上是减函数；.8当 时，,.10 0,即 ,.11f(x)在 ,+)上是增函数.12120 xx12211212aaabxbxxxbxxx x120 xxab2112120,0,aaxxx xbb x x12f xf x12f xf x12f

8、 xf xab21axxb2112120,aaxxx xbb x x12f xf x12f xf xab第9页，此课件共62页哦学后反思学后反思 这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0,上满足减函数的定义和f(x)在 ,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.abab举一反三举一反三3.用三段论证明函数f(x)=-+2x在(-,1上是增函数.2x证明证明 设 (-,1,(-,1,则1x2x12xx 2122212211221221121221121212121212122

9、121,222222.1,2,20,20,0,.xxxyf xf xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xf xf xf x 第10页，此课件共62页哦易错警示易错警示【例】在RtABC中，三边长分别为a,b,c,则 .类比在三棱锥中有何结论?222cab错解错解 在三棱锥V-ABC中,有2222VVBCABSSSS错解分析错解分析 错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.正解正解 在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则2222VVBCABSSSS考点演练考点演练第11页，此课件共62页哦11.观察下列等式:由上面两式的结

10、构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.4336cos6sin36cos6sin;4340cos10sin40cos10sin00020200020210.（2010宁夏银川模拟）观察下列不等式：1 ,由此猜想第n个不等式.1211112311131.23721111.2231511151.23312解析:由1 ，可猜想第n个不等式为 211121.23212311131.23212411141.23212511151.232121111.23212nn12答案:1111.23212nn第12页，此课件共62页哦解析解析 由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .猜

11、想:若-=30,则=30+,也可直接写成下面进行证明:故34223sincossincos422003sincos30sincos3040000001 cos 2601 cos2sincos30221 cos21 cos2 cos60sin2 sin60sincoscos30sinsin30221111331 cos2cos2cos2sin2sin2222444434左边右边22003sincos30sincos304第13页，此课件共62页哦12.用“三段论”的形式写出下列演绎推理.（1）若两角是对顶角，则这两角相等，所以若两角不相等，则这两角不是对顶角.（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形

12、，所以正方形的对角线相等.（3）0.332是有理数.（4）y=sin x（xR）是周期函数.解析：（1）两个角是对顶角，则两角相等，（大前提）1和2不相等，（小前提）1和2不是对顶角.（结论）（2）每一个矩形的对角线相等，（大前提）正方形是矩形，（小前提）正方形的对角线相等.（结论）第14页，此课件共62页哦（3）所有的循环小数都是有理数，（大前提）0.332是循环小数，（小前提）0.332是有理数.（结论）（4）三角函数是周期函数，（大前提）y=sin x是三角函数，（小前提）y=sin x是周期函数.（结论）第15页，此课件共62页哦第二节第二节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明基础梳

13、理基础梳理1.证明（1）证明分为 与 .直接证明包括 、等；间接证明主要是 .（2）综合法:一般地，利用 ，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，出发，逐步寻求使 ，直至最后，把要证明的结论归结为 （已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫做分析法.直接证明间接证明综合法分析法反证法已知条件和某些数学定义、定理、公理等从要证明的结论它成立的充分条件判定一个明显成立的条件第16页，此课件共62页哦原命题不成立正确的推理假设错误证明了原命题成立“由因导果”（4）反证法：一般地，假设 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过 ,最后

14、得出矛盾，因此说明 ，从而 ，这样的证明方法叫做反证法.2.直接证明（1）综合法是 ，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“,”或“”.12.nABBB第17页，此课件共62页哦（2）分析法是 ，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3.间接证明用反证法证明问题的一般步骤:（1）：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明

15、显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)“执果索因”反设归谬结论第18页，此课件共62页哦典例分析典例分析分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.题型一题型一 综合法的应用综合法的应用【例1】已知ab0，求证：.baba证明 ab0,b ,即2b ,进而-2b,a-+ba+b-2b,即0()2a-b,abab2ab2ab2ba baba学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确

16、的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.第19页，此课件共62页哦举一反三举一反三1.设a0,b0,a+b=1,求证：.证明：a+b=1,当且仅当a=b=时“=”成立.abbaba1ab1abbabbaabaab1b1a18422)2ba(babaab222218ab1b1a1题型二题型二 分析法的应用分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I24S.第20页，此课件共62页哦分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论

17、，宜采用分析法.证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I24S,只需证a2+b2+c2+2S4S,即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负值即可,第21页，此课件共62页哦即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I24S.学后反思 (1)应用分析法易于找到思路的起始

18、点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.2.若sin+cos=1,求证：sin6+cos6=1.举一反三举一反三第22页，此课件共62页哦证明：由sin+cos=1 sin2+cos2+2sin cos=1 sin cos=0.欲证sin6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1,即证sin4+cos4-sin2cos2=1,即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0.由式知,上式成立，故原式成立.题型三题型三 反证法的应用反证法的应用【例3】(1

19、4分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证：a,b,c中至少有一个大于0.263第23页，此课件共62页哦分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.证明 假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,.2则a+b+c0,.4而a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3.6-30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,.8a+b+c0,10这与a+b+c0矛盾.12因此a,b,c中至少有一个大于0.14236第24页，此课件

20、共62页哦学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.举一反三举一反三3.已知a,b,c是一组勾股数，且 .求证：a,b,c不可能都是奇数.222abc证明：假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,又a,b,c都是奇数,也都是奇数,是偶数，,与已知 相矛盾,a,b,c不可能都是奇数.222abc2a2b2c22ab222abc222abc第25页，此课件共62页哦分析 证明函数是偶函数，关键是证明函数关于y轴对称，即对称轴是x=

21、0.题型四题型四 利用分析综合法证明题目利用分析综合法证明题目【例4】（12分）设f(x)=a +bx+c(a0)，若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：fx+12为偶函数.2x证明 要证f(x+)为偶函数，只需证明其对称轴为x=0，即只需证 ,只要证a=-b4由已知，抛物线f(x+1)的对称轴x=与对称轴x=关于y轴对称，.8即有 ,a=-b,f(x+)为偶函数.12121022ba12ba2ba122bbaa 12第26页，此课件共62页哦学后反思 （1）本题证明的前半部分用的是分析法，要证结论成立，只需证明a=-b，后半部分用综合法证明了a=-b,这一例是典型的分析综合法

22、证明.（2）在用分析综合法证明时，可先分析再综合，也可以先综合再分析.举一反三举一反三4.（2009豫南七校联考）数列 中，=1,n2时，其前n项的和 满足 .(1)求证：数列 是等差数列；（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证：na1anS212nnnSaS1nS21nnSbn nbnT12nT 第27页，此课件共62页哦解析：（1）将 (n2)代入 得 两边取倒数得 (n2)，=2n-1(n2)，即 (n2).当n=1时，上式也成立.数列 构成以 为首项，公差为2的等差数列.（2）1nnnaSS212nnnSaS121nnnSSS1112nnSS1nS121nSn11111Sa1nS111

23、12121212 2121nnSbnnnnn111111111.233557212111112212nTnnn第28页，此课件共62页哦易错警示易错警示【例】用反证法证明：若ab0,则 ab错解 假设 不大于 ，即 .因为a0,b0,所以 即a0,b0,所以 又由 这些都与已知条件ab0矛盾，所以 ababab22abababababab第29页，此课件共62页哦考点演练考点演练10.完成反证法证题的全过程.已知：a1,a2,，a7是1，2，7的一个排列.求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数=0.但奇数0，这

24、一矛盾说明p为偶数.答案:1271,1,.7aaa 12711.7aaa 127.12.7aaa第30页，此课件共62页哦证明：由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,则 .又由正弦定理,得 ,11.在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证：.C sin B)-(A sincba222c A 2bcoscc A 2bcos-ccba22222C sinA Bcos 2sin-C sinc A 2bcoscC sin A)-sin(BA)sin(B-C sinC sin B)-(A sin C sin A)-sin(BC sin-C sinC sin B)-(A sincba

25、222第31页，此课件共62页哦12.已知a,b,c,d都是正数，且bcad,求证：aaccbbdd解析：a,b,c,dR+且bcad,又 ,不等式成立.ac ba bdacabcadbdbbd bbd b0bcadbd bacabdb0c bdd accacbcaddbdd bdd bdcacdbd第32页，此课件共62页哦第三节第三节 数学归纳法数学归纳法基础梳理基础梳理1.数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与 有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当 时结论正

26、确,证明当n=时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.正整数n=k(kN*,且kn0)k+1第33页，此课件共62页哦典例分析典例分析题型一题型一 与自然数与自然数n有关的等式的证明有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.1111.2 44 66 822241nnnn证明 （1）当n=1时，左边=124=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,成立;1111.2 44 66 822241kkkk第34页，此课件共62页哦当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等

27、式对于任意nN*都成立.11111.2 44 66 822222242114141241211141242411kkkkk kkkkkkkkkkkkkk学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.第35页，此课件共62页哦举一反三举一反三1.用数学归纳法证明：111111111.234212122nnnnn解析：（1）当n=1时，左边=,右边=,等式成立.（2）假设n=k(kN*)时,成立;当n=k+1时,左边=n=k+1时，等式成立.综上可得，对于任意nN*等式都成立.1112212111111111.23

28、4212122kkkkk11111111.234212212211111.1222122111111.2322112211111.2322121kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk第36页，此课件共62页哦题型二题型二 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题【例2】求证：（nN*）能被9整除.31 71nn分析 当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究 与 之间的关系，以便利用归纳假设 能被9整除来推证 也能被9整除.31 71kk 134 71kk31 71kk 134 71kk证明 设（1）f(1)=(31+1)7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n

29、=k(kN*)时命题成立，即 (kN*)能被9整除.则 31 71nf nn 31 71kf kk 1134 7131 719 23 7kkkf kf kkkk第37页，此课件共62页哦由于f(k)能被9整除，能被9整除，所以 能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n,能被9整除.学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.9 23 7kk 19 23 7kf kf kk 31 71nf nn举一反三举一反三2.用数学归纳法证明：(nN*)能被x+2整除.13nx第38页，此课件共62页哦证明：（1）当n=1时，1-(3+x)

30、=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时，能被x+2整除,则可设 =(f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时，能被x+2整除.综上可知，对任意nN*,1-(3+x)n能被x+2整除.13kx13kx 23xx fx 1313313121323223213kkxxxxxf xxxx f xxxx f xxx f x 第39页，此课件共62页哦题型三题型三 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式【例3】求证：(n2,nN*).分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.1115.1236nnn证明 （1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k2,kN

31、*)时不等式成立，即 成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n2，nN*都成立.111157534566061115.1236kkk111111.111233132331111111.123313233151111511536313233163316kkkkkkkkkkkkkkkkkkk第40页，此课件共62页哦学后反思 在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.举一反三举一反三3.求证：(nN*).111.11231nnn证明：（1）当n=1时，左边=,n=1时不等式成立.

32、（2）假设n=k(kN*)时原不等式成立,即 则当n=k+1时,左边=1111111311 1121 323412111.11231kkk111111.23313233341111111.12313233341111113233341kkkkkkkkkkkkkkkkk 第41页，此课件共62页哦 左边1,n=k+1时原不等式成立.综上可得,原不等式对于一切nN*都成立.11112032333413 32341kkkkkkk题型四题型四 用数学归纳法证明有关数列问题用数学归纳法证明有关数列问题【例4】(14分)在数列an中，,当nN*时满足 ,且设 .求证：各项均为3的倍数.121aa21nnn

33、aaa4nnba nb分析 由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意 是由递推关系给出的.na第42页，此课件共62页哦证明 （1）,.2当n=1时，能被3整除6（2）假设n=k(kN*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.则当n=k+1时,.10由归纳假设，是3的倍数，故可知 是3的倍数.当n=k+1时命题成立.12综合（1）（2）知，对任意nN*，数列 各项都是3的倍数.14121aa3122aaa4323aaa143ba1b1444342424141441414414414232kkkkkkkkkkkkkkkbaaaaaaaaaaaaaa4ka1kb nb第43

34、页，此课件共62页哦学后反思 在证n=k+1时，对 应用递推关系式裂项，裂项后需产生 项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.41ka4ka举一反三举一反三4.是等比数列,公比为q.求证：对于一切nN*都成立.11nnaa q na证明：（1）当n=1时，,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即 .则当n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可得，等式对一切nN*都成立.1 101111aa qa qa11kkaa q1111111kkkkkaa qa qqa qa q第44页，此课件共62页哦易错警示易错警示【例】已知 (nN*).用数学归纳法证明

35、 时，=.1111.23f nn 22nnf122kkff错解 111222kkkff错解分析 中共有n项相加,中应有 项相加，中应有 项相加,中应有 项.1111.23f nn 2kf2k12kf12k122kkff122kk正解 1111122.21222kkkkkff第45页，此课件共62页哦解析：（1）当n=1时，左边=1，右边=1,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时等式成立,即1+4+7+(3k-2)=k(3k-1)成立；则当n=k+1时,1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2)=(k+1)3(k

36、+1)-1,12121212解析:首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法.10.（改编题）用数学归纳法证明“能被6整除”的过程中，当n=k+1时，对式子 应变形为：.35nn3151kk答案:35316kkk k11.用数学归纳法证明：1+4+7+(3n-2)=n(3n-1).12考点演练考点演练第46页，此课件共62页哦即当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知，原等式对任意nN*都成立.12.已知数列 计算数列和 、,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.1111,.,1 4 4 7 7 103231nn1S2S3S4S解析：上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数

37、n表示为3n+1,于是可以猜想 证明：（1）当n=1时，左边=,右边=,猜想成立.1111 44S 211244 77S 321377 1010S 43141010 1313S 31nnSn114S 113 1 14 第47页，此课件共62页哦（2）假设当n=k(kN*)时猜想成立，即 成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时，猜想成立,根据（1）（2）知猜想对任意nN*都成立.1111.1 44 77 10323131kkkk21111.1 44 77 10323131231113413131 3431 34311131 34311kkkkkkkkkkkkkkkkkkk第48页，此课件共6

38、2页哦第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入基础梳理基础梳理a+biabbb=0b0a=0且b0NoImagea=c且b=da=0且b=01.复数的有关概念（1）形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中a叫做复数z的实部，叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当 时，它是实数；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数.（2）复数的相等如果a,b,c,d都是实数，那么a+bi=c+di ;a+bi=0 .第49页，此课件共62页哦直角坐标系实数实轴虚轴原点纯虚数虚数一一对应的一一对应的相等互为相反数时a-bi2.复平面的概念建立 来表示复数的平面叫做复平面,x

39、轴叫做 ,y轴叫做 .实轴上的点都表示 ;除 外，虚轴上的点都表示 ;各象限内的点都表示 .复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 ，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是 .3.共轭复数概念当两个复数的实部 ，虚部 ，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即 =a+bi,则 =(a,bR).zz第50页，此课件共62页哦(ac)+(bd)i交换律结合律21zz123zzz4.复数的加法与减法（1）复数的加、减法运算法则（a+bi）(c+di)=.（2）复数加法的运算定律复数的加法满足 、，即对任何 C,有 =.（3）复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若

40、复数 对应的向量 不共线，则复数 是以 为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数.复数减法的几何意义123,z zz12zz123zzz12,z z12,OZ OZ 12zz12,OZ OZ OZ 第51页，此课件共62页哦21zz(ac-bd)+(bc+ad)I123zzz1 21 3z zz z复数 是连接向量 的终点，并指向被减向量的向量 所对应的复数.5.复数的乘法与除法设 =a+bi,=c+di，（1）复数的乘法运算法则 =(a+bi)(c+di)=;交换律 =;结合律 =;分配律 .（2）复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)=(c+di0).12zz12,OZ OZ 21zz

41、1z2z1 2z z12zz123zzz123zzz2222acbdbcadicdcd第52页，此课件共62页哦典例分析典例分析题型一题型一 复数的概念复数的概念【例1】已知复数z=(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.2m解 z=(-3m)+(-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由 m(m-3

42、)0,(m+2)(m-3)0,解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.2m2m第53页，此课件共62页哦学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.举一反三举一反三1.求适合等式（2x-1）+i=y+(y-3)i的x、y的值，其中xR，y是纯虚数.解析：xR，y是纯虚数,可设x=a,y=bi(a,bR且b0)，代入等式得 （2a-1）+i=bi+(bi-3)i,即 2a-1+i=-b+(b-3)i,2a-1=-b,1=b-3,解得 a=b=4,x=,y=4i.3232第54页，此课件共62页哦题型二题型二 复数代数形式的运

43、算复数代数形式的运算【例2】计算 学后反思 复数除法一般是将分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.32042248482 32112 3117iiiiii 分析 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和 =2i,=i等运算结果，能使运算更加简捷.21 i11ii解 原式=160222160222 31 2 3484848482111712 31 2 313011 12iiiiiiiiiiiiiii 第55页，此课件共62页哦2.求7+24i的平方根.题型三题型三 复数集上的代数方程复数集上的代数方程【例3】(12分)已知1+i是方程 +bx+c=0的一个根（b,cR）

44、.(1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的根.2x解析：设平方根为x+yi(x,yR),则 =7+24i,即 +2xyi=7+24i,=7,2xy=24,故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.2xyi22xy22xy4,4.xy43xy解得或第56页，此课件共62页哦分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.解 (1)1+i是方程 +bx+c=0的根,+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,.2 b+c=0,2+b=0,解得 b=-2,c=2,.4b,c值为b=-2,c=2.6(2)方程为 -2x+2=0,7把1-i代入方程左边,得 -2(1-i)+2=

45、-2i-2+2i+2=0,10即方程成立，所以1-i也是方程的根.122x21 i2x21 i第57页，此课件共62页哦学后反思 (1)对于实系数一元二次方程a +bx+c=0(a0),当 时，在复数集上有两个共轭虚根 ,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.2x240bac21,242bacb ixa 举一反三举一反三3.已知关于x的方程 -(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.2x解析：设实根为 ,则 -(2+i)-a+3i=0，整理得 -2 -a+(3-)i=0,-2 -a=0,3-=0,解得 =3,a=3

46、.故a的值为3，方程的这个实根为3.0 x20 x0 x20 x0 x0 x20 x0 x0 x0 x第58页，此课件共62页哦易错警示易错警示【例】m取何实数值时，复数 是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？22223231025mmzmmim错解 (1)当 =0时，即m=-5或m=2时，z是实数.(2)当 0时，即m-5且m2时，z是虚数.(3)当 =0,0,即 m=2或m=,m-5且m2.即m=时，z是纯虚数.2310mm2310mm2232mm2310mm1212错解分析 出错的原因是漏掉了“在分母上不能等于0”这一条件.m5在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意.225m 第

47、59页，此课件共62页哦正解 (1)当 =0,0时,解得 m=-5或m=2,m5,即m=2,当m=2时，z是实数.(2)当 0,0时，解得 m-5且m2,m5,当m5且m2时,z是虚数.(3)当 =0,0,0时，解得 m=2或m=-12,m-5且m2,m5,即m=-12,当m=-12时，z是纯虚数.2310mm225m 2310mm225m 2232mm2310mm225m 第60页，此课件共62页哦考点演练考点演练10.（2008上海）若z是实系数方程 的一个虚根，且|z|=2,则p=.答案:4220 xxp解析:|z|=2,1+p-1=4,p=4.2442211122ppizpi 11.（2009福建改编）若 =a+bi(i为虚数单位)，a,bR,求a+b的值.21 i第61页，此课件共62页哦解析：=a+bi,=a+bi,即1+i=a+bi,a=1,b=1,a+b=2.21 i2 111iii解析：x为实数,-6x+5和x-2都是实数.由题意得 -6x+50,x-20,解得 1x5,x2,即1x2.故实数x的取值范围是（1，2）.2x2x12.已知复数 -6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的取值范围.2x第62页，此课件共62页哦