线性代数二次型.ppt

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1、关于线性代数二次型现在学习的是第1页，共42页二次型的概念21211 112 1 2112222222(,22,)2nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa x定义叫做二次型。12nxxx，含有n个自变量 的二次齐次函数如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。例如 2(,)363f x y zxyxzyzz22(,)1f x yxyxy是二次型 不是二次型 我们要研究它的什么问题?现在学习的是第2页，共42页12),(22cybxyaxyxf为平面上一条二次曲线cossinsincosyxyyxx122ybxaxyoxy经坐标变换:222),(cybxy

2、axyxf22),(ybxayxg几 何 背 景现在学习的是第3页，共42页1222),(222nyzmxzdxyczbyaxzyxf为空间上一二次曲面的一般形式cossinsincosyxyyxx1222zcybxayo经坐标变换:222),(zcybxazyxgxzxyznyzmxzdxyczbyaxzyxf222),(222几 何 背 景现在学习的是第4页，共42页经坐标变换2442332222114321),(ydydydydyyyyg43344224322341143113211224442333222221114321222 222 ),(xxaxxaxxaxxaxxaxxaxax

3、axaxaxxxxf1、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？现有两个问题：现在学习的是第5页，共42页二次型 f对称矩阵 A对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩一一对应 111211122222121212(,),nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxaaaxx Ax二次型可表示为 矩阵形式 （其中A为对称矩阵）二次型的矩阵及其秩现在学习的是第6页，共42页例4.14 设二次型2221231231213(,)2322f x xxxxxx xx x求（1）f的矩阵A;（2）当X=123(,)(1,0,1)TTx xx时，

4、求f的值。解:111120103A（1）（2）1111(1,0,1)(1,0,1)12001031f 1(2,1,4)01 6现在学习的是第7页，共42页例4.15 设B为n阶方阵，12(,)Tnf x xxx BxnxR因为求证二次型矩阵是()2TABB 证明 2TBBA2TTTBBA所以Tx Ax2TTBBxx()2TTxBB x由于Tx Bx是一代数式，故TTx B x()TTTx B xTx BxTx Ax则()2TTxBB xTx Bx12(,)Tnf x xxx Bx从而二次型矩阵是()2TABB现在学习的是第8页，共42页例4.16求二次型的矩阵A,并求f的秩。11212212(

5、,)3 4xf x xxxx解:由例4.15，得到2TBBA1212134342T512542由于904A 故f的秩为2。则()2R A 由于对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩，如何求二次型的矩阵？现在学习的是第9页，共42页例4.17求二次型经过线性变换11212232(,)26xf x xxxx解:11221222xyyxyy之后的表达式。令12,Txxx12,Tyyy有21,1 2xy则11223226xfxxx112221322112261 2yyyy1122100035yyyy22121035yy现在学习的是第10页，共42页只含平方项的二次型 222121 122,nnnf

6、x xxxxx对应的矩阵为对角形矩阵 12n 现在学习的是第11页，共42页二次型的标准形定义2221122()nnf Hyd yd yd y就称此二次型为原来二次型的标准形。如果二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型()f xx Ax现在学习的是第12页，共42页定理1经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。如例4.17 经线性变换 22121035fyy化得标准形 11212232(,)26xf x xxxx11221222xyyxyy现在学习的是第13页，共42页用配方法把二次型化成标准型2221231122233(,)(6)825f x xxxx xxx xx222122233(3

7、)25xxxx xx222122233(3)(2)5xxxx xx22212233(3)()4xxxxx112223333yxxyxxyx作线性变换2221234fyyy11232233333xyyyxyyxy即 解 可得二次型的标准形 2221231122233(,)6825f x xxxx xxx xx 例 现在学习的是第14页，共42页定义设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得TBC AC则称矩阵A与B是合同的,称矩阵C为合同变换矩阵.结论 实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。现在学习的是第15页，共42页 证明 A是对称矩阵，则 AT=A。于是TB()TTC ACTTC

8、A CTC ACB（1）（2）TBC AC()R()R()R A定理4.10对于任意可逆矩阵C,令TBC AC如果 A 是对称矩阵,则B也是对称矩阵,且R(A)=R(B).现在学习的是第16页，共42页将二次型化为标准形的实质问题PAP一般形式 化为标准形式 12(,)nf x xxxAx经可逆变换 xPy本质问题：寻找可逆矩阵P，使得 12(,)nf y yyyy回顾上一章知识，能否解决？如何解决？上一章的结论:对于实对称阵A,一定存在正交阵P使得A相似对角阵,即:112(,)TnP APP APdiag 现在学习的是第17页，共42页 证：由于A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使P A

9、P 用正交变换化二次型为标准型xPyfy P A P yyy2221122nnyyy对 作 正交变换 则有 fx Ax定理4.11任给二次型()Tf xx Ax总有正交变换x=Py使 f 化为标准形22112nfyy其中12,n 为A的所有特征值.现在学习的是第18页，共42页fx AxxPyfy P A P yyy2221122nnyyyP A P 12n正交变换对称矩阵A正交矩阵P12()nPeee用正交变换化二次型为标准型 现在学习的是第19页，共42页用正交变换化二次型为标准型的具体步骤2.求矩阵A的特征值1,n3.对每个特征值 ，求对应的特征向量 i4.将特征向量正交化、单位化，得到

10、12,ne ee12nPeeexPy2221122nnfyyy1.写出二次型的矩阵A5.构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵 正交变换 标准形 现在学习的是第20页，共42页221122624fxx xx61 21 21A261251500121EA121 0,1 5 得特征值10.60.8e20.80.6e0.60.80.80.6P22121 01 5fyy可顺次求得单位特征向量例 用正交变换，化下列二次型为标准形 解 二次型的矩阵为 由 令 xPy则经正交变换 ，可得标准形 现在学习的是第21页，共42页123124242,421xAxxx 例、试用正交变换化二次型fx Ax

11、为标准型矩阵A的特征多项式为1242424212(4)(5)14,特征值23514,对于1212（，）235对于，2311 （，0，1），（，2，0）正交化22，3233222，0.5,2,0.5)（得线性无关的特征向量 可得特征向量 解:现在学习的是第22页，共42页123,是正交特征向量组。单位化1112 1 2(,)3 3 3e123(2,1,2),(1,0,1),(0.5,2,0.5)22211(,0,)22e 3332 2 22(,)636e 123Peee21236212 2033212362作正交变换123123(,)(,)x xxP y yy代入f，得到标准型222123455

12、fyyy 现在学习的是第23页，共42页例求下列平面图形所围图形的面积：223231xxyy解3113A3113AI268(2)(4)A 的特征值为2,4经过正交变换xxPyy曲线可化为标准形22241xy11242 2S22(,)323f x yxxyy现在学习的是第24页，共42页惯性定律 对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标）。fx Axfy P APyyy xPyP正 交 矩 阵2221122rryyyf 的惯性指标=f 的矩阵 A 的非零特征值的个数=R(A

13、)f 的正惯性指标=f 的矩阵 A 的正特征值的个数f 的负惯性指标=f 的矩阵 A 的负特征值的个数现在学习的是第25页，共42页二次型的规范形 二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：2222221212sssrfyyyyyy以 1 或-1 为系数的标准形称为二次型的规范形。结论：二次型的规范形是唯一的。补充现在学习的是第26页，共42页4.4.3 二次型的正定性 定义：().00f xx AxAxfx（1）称二次型是，如果对于此时称对称矩阵正定二次型任意有正为定矩阵。().00f xx AxAxfx（2）称二次型是，

14、如果对于此时称对称矩阵半正为任意有半正定二次型定矩阵。().00f xx AxAxfx（3）称二次型是，如果对于此时称对称矩阵负定二次型任意有负为定矩阵。().00f xx AxAxfx（4）称二次型是，如果对于此时称对称矩阵半负为任意有半负定二次型定矩阵。现在学习的是第27页，共42页例 判定下列二次型的正定性 222123123(,)23f x x xxxx22212312312(,)32f x x xxxxx x222123123(,)3f x x xxxx 22212312312(,)32f x xxxxxx x 22212312312(,)32f x x xxxxx x 正定 负定

15、半负定 半正定 不定 现在学习的是第28页，共42页二次型为正定二次型的必要条件是:所有平方项的系数都大于零 2121(,)2nniiiijijiijf x xxa xa x x二次型为负定二次型的必要条件是:所有平方项的系数都小于零 定理4.12 实二次型为正定二次型的充分必要条件是:二次型的标准形的n个系数都大于零。现在学习的是第29页，共42页定理4.12 实二次型为正定二次型的充分必要条件是:二次型的标准形的n个系数都大于零。证明设可逆变换,xPy使得()()fxfPy21.niiiy充分性任给0,x 则10,yPx若0(1,2,),iin故()()fxfPy21niiiy0必要性反证

16、.假设某个0,s取=(0,0,1,0,0),sye0()()sfxfPe021niiiys而00,sxPe结论与f为正定矛盾。现在学习的是第30页，共42页判定二次型的正定性定理4.13 若A是n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：（1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n；（3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP；（4）A的n个特征值全大于零。现在学习的是第31页，共42页()f xx Axnfn 二次型为负定的充分必要条件是：它的标准形的 个系数全为负，即的负惯性指标为。推论现在学习的是第32页，共42页例 证明：如果A是正定矩阵，则A1、AT都是正定矩阵。因为是正定

17、矩阵，所以的特征值全大于零设的特征值为，则而的特征值为1A1,所以1,TAA的特征值全大于零所以1,TAA为正定矩阵的特征值为TA.证明现在学习的是第33页，共42页1210,340解出特征值故A是正定矩阵，f 是正定二次型。222112132233222222fxx xx xxx xx例 判断二次型的正定性 211121112A解法1 二次型的矩阵为 211121112EA2(1)(4)0现在学习的是第34页，共42页定理4.14 (hurwitz定理）定义设n阶方阵ij n nAa（）我们把n个行列式111Aa111222122aaAaa1111nnnnnaaAaa都叫做矩阵的顺序主子式。

18、()f xx Ax二次型为正定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有顺序主子式大于现在学习的是第35页，共42页推论()f xx Ax二次型为负定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于，偶数阶顺序主子式大于现在学习的是第36页，共42页211121112EA2(1)(4)01210,340解出特征值故A是正定矩阵，f 是正定二次型。222112132233222222fxx xx xxx xx例 判断二次型的正定性 211121112A解法1 二次型的矩阵为 现在学习的是第37页，共42页222112132233222222fxx xx xxx xx211121112AA的三个

19、顺序主子式为120,A 22130,12A 340AA所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。例 判断二次型的正定性 解法2 二次型的矩阵为 现在学习的是第38页，共42页解 二次型的矩阵520260004AA的三个顺序主子式为150,A 252260,26A31040AA 所以 f 为负定二次型。2225644fxyzxy 例 判断二次型的正定性 现在学习的是第39页，共42页解二次型的矩阵为1,At2151,15tAt32 51AAt要使A正定,则应有22212312312(,)522f x x xtxxxx x例当 为何值时,下列二次型是正定的 t15t 10150002tAA的三个顺序主子式为 现在学习的是第40页，共42页1.将二次型化为标准形 2.求出二次型矩阵的特征值 3.计算二次型矩阵的顺序主子式判别正定二次型（矩阵）的 三种方法：现在学习的是第41页，共42页感谢大家观看现在学习的是第42页，共42页