差分方程稳定性讲稿.ppt

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1、关于差分方程稳定性第一页，讲稿共十五页哦1.1.差分方程模型差分方程模型 对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (1-1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称xn=x(n)是差分方程(1-1)的解,包含个任意常数的解称为(1-1)的通解,x0,x1,xk-1为已知时称为(1-1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1-1)的特解.k 若x0,x1,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.第二页，讲稿共十五页哦 若有常数a是差分方程(1-1)的解,即F(n

2、;a,a,a)=0,则称 a是差分方程(1-1)的平衡点.又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有xna(n),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.第三页，讲稿共十五页哦 二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r 0,且a+b+1 0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其

3、平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.第四页，讲稿共十五页哦 当1,2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当1,2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当1,2=(cos+i sin)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知,当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时,平衡点x*是稳定的.则第五页，讲稿共十五页哦对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上

4、述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程1|*)(|xf时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是不稳定的.当1|*)(|xf时,x*是稳定的；当1|*)(|xf1(*)(*)(*),nnxfxxxf x第六页，讲稿共十五页哦)1()(Nxrxtx,2,1),1(1kNyryyykkkk2.建模实例：差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)某种群 t 时刻的数量(人口)yk 某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N

5、 是平衡点第七页，讲稿共十五页哦kkyNrrx)1(1rb记)1()1(1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry)1(1)1(1)2()1(1kkkxbxx一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论 x*的稳定性变量代换(2)的平衡点brrx111*第八页，讲稿共十五页哦(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的稳定平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识(刚学过的):一阶非线性差分方程)1()(1kkx

6、fx的平衡点及稳定性第九页，讲稿共十五页哦)21()(*xbxf1)(*xf0yxxy)(xfy 4/b*x2/11)1()(xbxxfx)1(1kkkxbxx的平衡点及其稳定性平衡点bx11*稳定性31 b2/1/11*bx*xxk（单调增）0 x1x1x2xx*稳定21)1(b)1)(3*xfbx*不稳定另一平衡点为 x=01 rb1)0(bf不稳定b 2第十页，讲稿共十五页哦3)3(b01/21y4/bxy)(xfy 0 x1x*x2xx32)2(b2/1/11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy)(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1(1kkkxbxx的平衡点及其

7、稳定性第十一页，讲稿共十五页哦)1(1kkkxbxx初值 x0=0.2数值计算结果bx11*b 3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360

8、.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第十二页，讲稿共十五页哦)(xffx)(),(*1*2*2*1xfxxfxb

9、bbbx23212*2,1(*)()()()2(12kkkkxfxffxfx)(1kkxfx倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论*xxk（不）*212*12,xxxxkk子序列单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点bx11*10*2*1xxxx*不稳定，研究x1*,x2*的稳定性)1()(xbxxf)1(1)1(xbxxbxb3.3b第十三页，讲稿共十五页哦)()()()(*2*1)2()2(*2*1xfxfxfxfxxxx)21)(21()(*2*12,)2(*2*1xxbxfxxx1)(*2,1)2(xf倍周期收敛*212*12,xxxxkk449.361b)21()(xbxfbbbbx23212*2,1的稳定性2)2()()(xfxfx1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第十四页，讲稿共十五页哦感谢大家观看第十五页，讲稿共十五页哦