线性代数行列式的概念和性质.ppt

《线性代数行列式的概念和性质.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数行列式的概念和性质.ppt（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、关于线性代数行列式的概念和性质现在学习的是第1页，共32页3.1 行列式的概念和性质3.2 行列式值的计算3.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等)本章的主要内容重点内容 行列式的计算现在学习的是第2页，共32页1、概念2、性质3.1 行列式的概念和性质现在学习的是第3页，共32页一、概念 对任一n阶矩阵nnnnaaaaA1111用式子nnnnaaaa1111或用大写字母或用大写字母D表示表示,常把上述表达式称为 A 的行列式(determinant),记作det A 表示一个与 A 相联系的数，而把相联系的那个数称为行列式的值.今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式.现在学习的是

2、第4页，共32页定义把删去第i 行及第j 列后所得的(n1)阶子矩阵称为对应于元 aij 的余子矩阵，并以Sij 记之.对一n阶矩阵nnnnaaaaA1111对 n=2,3,用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：nnnnaaaaA1111det def kknkkSa1111det1 定义 一阶矩阵 a11 的行列式之值定义为数a11，即det a11 defa11现在学习的是第5页，共32页例 设11122122aaDaannnnaaaaA1111det def kknkkSa1111det1 ，计算该行列式的值解因有 S11=a22,S12=a21,故22211211detaaaaA 1

3、22112111111det1det1SaSa21122211 aaaa11122122aaaa+现在学习的是第6页，共32页例 设,计算 det A 的值.137243372A27334273173421731196121479432182332132734112111解nnnnaaaaA1111det def kknkkSa1111det1 现在学习的是第7页，共32页323122213113333123212112333223221111333231232221131211111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa223132211333212331123223332211

4、aaaaaaaaaaaaaaa312213322113332112312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa若写出计算3 阶行列式值的公式为现在学习的是第8页，共32页333231232221131211aaaaaaaaa11 22 33a a a 112332a a a 132132a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式 说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每一

5、项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.现在学习的是第9页，共32页定义对 n 阶行列式 det A，称det Sij 为元 aij 的余子式称为元 aij 的代数余子式.例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 2 323231detAS det23S 11121423313234414244detaaaSaaaaaa det1ijijijAS 1112134444212223313233detaaaSMaaaaaa 4 44444441AMM 现在学习的是第10页，共32页根据该定义，可重新表达行列式的值nnnnaaaa

6、A1111det def kknkkSa1111det1 111nkkka A其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.相当于把行列式按第一行展开注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式.现在学习的是第11页，共32页nnaaa22112121nnaaa TAtdennaaa2112性质1 行列式与它的转置行列式相等.TAAdetdet,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa Adet2、性质定理 对n 阶矩阵 A，有111detnkkkAa A 行列式的值也

7、可按第1列展开计算.现在学习的是第12页，共32页例如推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.,571571 266853.825825 361567567361266853性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数 k 乘此行列式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 现在学习的是第13页，共32页请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用 乘以此行列式.推论对 n 阶矩阵A，有 AAndetdet 推论 行列式中若有两行(

8、列)元素成比例,则此行列式为零证nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0 现在学习的是第14页，共32页推论一行(或列)元素全为0的行列式值等于零性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa 则 D 等于下列两个行列式之和 111111112122212211ininininnninnnninnaaaaaaaaaaaaDaaaaaa 例如现在学习的是第15页，共32页性质

9、5把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa 1111112122221()()()ijjnijjnijnninjnjnnaakaaaaakaaackcaakaaa k例如行列式等值变形法则现在学习的是第16页，共32页定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122iiiiininDa AaAa A 1,2,in)niAaAnjijij,1(det1)njAaAniijij,1(det1或表达为若行列式按列展开，有定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(

10、列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即11220,.kikiknina AaAa Aki 行列式的展开定理现在学习的是第17页，共32页证将行列式按第 i 行展开,有11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaaaaaaa 如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有1122iiiiinina Aa Aa A现在学习的是第18页，共32页1122kikiknina AaAaA 11121121212nkkknkkknnnnnaaaaaaaaaaaa 行列式含有两个相同的行,值为 0.综上所述,得公式1122kikiknina AaAa A 0Dkiki 当当 当当1122

11、ljljnlnja Aa Aa A 0Dljlj 当当 当当现在学习的是第19页，共32页注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的 利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：方法计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.现在学习的是第20页，共32页例 计算行列式31125134.20111

12、533D 解 3112513420111533D 51111113100105530 132cc 43cc 3 3511(1)1111550 511620550 21rr 1 362(1)55 40 现在学习的是第21页，共32页定理 设L 是有如下分块形式的(n+p)阶矩阵ijlBCOAL其中 A 是 n 阶矩阵，B 是 p 阶矩阵，则有BALdetdetdetBABOCAUdetdetdet在 A、B 是方阵时也成立定理若A、B是两个同阶矩阵，则BAABdetdet)det(注意 公式中C 的元之具体值对结果无影响.现在学习的是第22页，共32页例 设 1111111111110kkkkk

13、nnnknnnaaaaDccbbccbb 11111det(),kijkkkaaDaaa11121det(),nijnnnbbDbbb12.DD D 证明 现在学习的是第23页，共32页证明 1111110;kkkkkpDpppp对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 1Dijrr 1D设为对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 2Dijcc 2D1121110.nnnnnqDqqqq 设为现在学习的是第24页，共32页1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb 11111111110kkkkkkkkkaapDppaapp 证明：对 作运算 ，把 化为下三角形行列

14、式 1Dijrr 1D对 D 的前 k 行作运算 ，则ijrr 111kkkppp现在学习的是第25页，共32页11111211110nnnnnnnnnbbqDqqbbqq对 作运算 ，把 化为下三角形行列式 2Dijcc 2D对 D 的后 n 列作运算 ，则ijcc 111111111110kkkknnnknnnpppDccbbccbb 111nnnqqq现在学习的是第26页，共32页对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ，把 D 化为下三角形行列式11111111110,kkkknnknnnpppDccqccqq 1111kknnDppqq 12.D D ijrr ijcc

15、故现在学习的是第27页，共32页3521110513132413D 例：设 ,D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作 Mij 和Aij，求分析：利用11121314AAAA 及11213141.MMMM212223241112131431323334411112131411424344121314aaaaaaaaaaaAAAAaaaaaaaaa 2122232411121314313233344142434435213(5)21aaaaAAAAaaaaaaaa 2122232411121314313233344142434411111111aaaaAAAAaaaaaaaa 现在学习的是第

16、28页，共32页125202100 解：111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 1111110522021100 115222110 21cc 2502 4.现在学习的是第29页，共32页3521110513132413D 例：设 ,D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作 Mij 和Aij，求分析：利用11121314AAAA 及11213141.MMMM112111213141314112131422232411213141323334424344aaaaaaAAAAaaaaaaaaaaaaaa1121314111213141MMMMAAAA 现在学习的是第30页，共32页1115211053113413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0.1121344111213141MMMMAAAA 现在学习的是第31页，共32页感谢大家观看现在学习的是第32页，共32页