组合数的性质 (2).ppt

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1、关于组合数的性质(2)现在学习的是第1页，共18页2组合数的性质组合数的性质现在学习的是第2页，共18页1 1、组合定义、组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，个元素的所有组合的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC2 2、组合数、组合数:3、组合数公式、组合数公式:210242322CCCC 计计

2、算算有简洁的计算方法吗？有简洁的计算方法吗？现在学习的是第3页，共18页引例引例1：某小组有7人:选出3人参加,可以有多少种不同的选法?选出4人参加,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？3537C3547 C即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.现在学习的是第4页，共18页4737CC对应从从7 7位同学中选位同学中选出出3 3位同学构成位同学构成一个组合一个组合剩下的剩下的4 4位同学位同学构成一个组合构成一个组合从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学的组合数的组合数37C即：从从7 7

3、位同学中选位同学中选出出4 4位同学的组位同学的组合数合数47C思考二思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？现在学习的是第5页，共18页 一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下nm个元素,因此从n个不同元素中不同元素的每一个组合,与元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数.即 mnnmnCC这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.性质性质1mnnmnCC现在学习的是第6页，共18页性质性质1 1的证明的证明 mnnmnCmnnmnnmnmnC)!()!(!)!(!说

4、明：说明：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在m mn n时也能成立时也能成立,规定规定01nC 1 1、为简化计算、为简化计算,当当m m 时时,通常将计算通常将计算 改为计算改为计算 2nCmnCn mn 3xynnCC、xyxyn 或或例如例如:20111201120102011201120102011CCC4 4、该性质又叫、该性质又叫对偶法则对偶法则现在学习的是第7页，共18页练习练习（1）计算：97100C=161700（2）已知：725225xxCC,求x 414ttCCtC20（3）已知：,求x=6或7=190 现在学习的是第8页，共18页引例引例2 2：一个口袋内装有大小

5、相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球和个白球和1 1个个黑球黑球（1 1）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,共有多少种取法？共有多少种取法？（2 2）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,使其中含有使其中含有1 1个黑个黑 球球,有多少种取法？有多少种取法？（3 3）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,使其中不含黑球使其中不含黑球,有多少有多少种取法？种取法？3537C解解：2127C 5638C 我们发现：我们发现：372738CCC这是为什么呢这是为什么呢?现在学习的是第9页，共18页 我们可以这样解释我们可以这样解释:从口袋内的从口袋内的8 8个球中所个球中所取出

6、的取出的3 3个球个球,可以分为两类可以分为两类:一类一类含有含有1 1个个黑球黑球,一类一类不含有不含有黑球黑球.因此根据分类计数原理因此根据分类计数原理,上述等上述等式成立式成立.372738CCC思考思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？现在学习的是第10页，共18页1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是，11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有，一一类类不不含含有有，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个

7、个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个；由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnCCC性质性质2 2现在学习的是第11页，共18页性质性质2 2的证明的证明 11mnmnmnCCC现在学习的是第12页，共18页注注:1:1 公式特征公式特征:下标相同下标相同而而上标差上标差1 1的两个组合数之和的两个组合数之和,等于下标比原下标多等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大的相同的而上标与原组合数上标较大的相同的一个

8、组合数一个组合数2 2 此性质的作用此性质的作用:恒等变形恒等变形,简化运算简化运算.4 该性质又叫增一法则该性质又叫增一法则11mnmnmnCCC3 3 等式体现：等式体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想.11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元现在学习的是第13页，共18页练习：练习：mnC 化简（用化简（用 形式表示）形式表示）mnC89999099CC92004102005CC变式一：90100C102004C899990100-CC变式二：9099C0C -8m7mC变式三：81mC90899999CC现在学习的是第14页，共18页例例 1 计算计算19

9、8200(1);C329999(2);CC 332898(3).2CCC 22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC 现在学习的是第15页，共18页0129456131CCCC（）计算；2222234102CCCC（）计算；例例2常用的等式常用的等式:111010kkkkkkCCCC现在学习的是第16页，共18页练习：_,8771nCCCnnn则若(1)（2）已知 ,C12=C11+C11 7 7 x x则则 n,C3241863n18则则）若若（nC69584737CCCC(4)计算计算（5）2100252423AAAA 计计算算1456或或2210CCCCC5545352515222)6(计计算算现在学习的是第17页，共18页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第18页，共18页