数值积分方法课件.ppt

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1、第1页，此课件共36页哦/3/20220e1113ytrrytCdyyyy()?baIf x dxabf(x)数值积分的应用背景:1)被积函数的原函数不能表示为初等函数某些实际问题仅有一些离散函数值,无法给 出被积函数表达式3)被积函数过于复杂,难以求得其原函数借助于被积函数在一些点的函数值,推算出满足一定精度的定积分近似值-数值积分方法第2页，此课件共36页哦预备知识牛顿莱布尼兹公式如果函数f(x)在区间a,b上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿莱布尼兹公式()()()baf x dxF bF a来求定积分。第3页，此课件共36页哦预备知识积分中值定理若f是a,b上的连续函数，则存在xa,

2、b，使()()()baf x dxfbax第4页，此课件共36页哦预备知识广义积分中值定理若f在a,b上连续，g在a,b上可积，且g(x)在a,b上不变号，存在x,xa,b，使()()()()bbaaf x g x dxfg x dxx第5页，此课件共36页哦数值积分问题牛顿莱布尼兹公式()()()baf x dxF bF au 找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示 23sin,1.xxexxu 原函数表达式过于复杂 u f(x)是由测量或计算得到的数据表 32223xx 3332232323616xxxxx2292723ln2233232 2xxxx 第6页，此课件共36页哦yy=f

3、(x)xbaoxk+1xkxk-110()lim()nbkkankIf x dxf xx数值积分问题01knaxxxxb1kkkxxx10()()nbkkakIf x dxf xx第7页，此课件共36页哦5.1 插值型求积公式00()()()()()()nnbbnkkkkaakkIflx f x dxlx dI fx f x0()(),()()nbnkkkkakIfA f xAlxfdxI0()()()()nnkkkf xL xlx f x()()baI ff x dx01knaxxxxbf(x)在这些节点的值f(xi)，求定积分第8页，此课件共36页哦0()(),nnkkkIfA f x定义

4、设有计算 的求积公式()()baI ff x dx如其求积系数 ，则称此求积公式为插值型求积公式.定积分转换成被积函数的有限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.(),0,1,2,.bkkaAlx dx kn5.1 插值型求积公式第9页，此课件共36页哦两点公式 x0=a,x1=b,n=1 1()()()()xbxaf xL xf af babba001()2bbaaxbAlx dxdxbaab111()2bbaaxaAl x dxdxbaba()()()()2babaI ff x dxf af b()()()2baT ff af b梯形公式：5.1 插值型求积公式一、梯形公式-两点线性

5、插值几何意义：用梯形面积代替被积函数的曲边梯形面积第10页，此课件共36页哦梯形公式误差5.1 插值型求积公式广义积分中值定理若f在a,b上连续，g在a,b上可积，且g(x)在a,b上不变号，存在x,xa,b，使()()()()bbaaf x g x dxfg x dxx利用这一定理梯形与曲边梯形面积的对比：正负决定 第11页，此课件共36页哦三点二次拉格朗日插值积分-辛卜生公式x0 x2x1y=f(x)L2(x)5.1 插值型求积公式第12页，此课件共36页哦辛卜生公式:取x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,n=212000102()()1()()()6bbaaxxxxAlx dxdx

6、baxxxx()()()4()()62babaabI ff x dxf aff b()()4()()62baabS ff aff b辛卜生公式：02111012()()2()()()3bbaaxxxxAl x dxdxbaxxxx01222021()()1()()()6bbaaxxxxAlx dxdxbaxxxx5.1 插值型求积公式误差 精度较梯形高第13页，此课件共36页哦yxoy=f(x)ab5.2 复合梯形公式 第14页，此课件共36页哦分段线性插值-复合梯形法 等分求积区间，比如取步长 ，分a,b为n等分，分点为 ,k=0,1,2,nbahn0kxxkh2.在区间 xk,xk+1上求

7、 1()kkxkxIf x dx3.取和值，作为整个区间上的积分近似值 10()nbkakIf x dxI第15页，此课件共36页哦复合梯形公式 1()()2kkkhIf xf x111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x11()()2()()2nnkkhTff af xf b()()()2baT ff af b误差由各小区间梯形误差累加小区间增多,误差减小控制1()()()()xbxafxLxfafbabba第16页，此课件共36页哦x0 x1x2xkxk+1xn-1xn复合梯形公式(节点加密)1/2x3/2x1/2kx1/2nx1121/210024nnnkkkkkkhTIf

8、xf xf x1/21/2144kkkkkhhIf xf xf xf x1()()()()xbxafxLxfafbabba1/2124kkkkhIfxfxfx1()()()()xbxafxLxfafbabba11()()2()()2nnkkhTff af xf b111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x121/20122nnnkkhTTf x)2(2110nknhkhafhT第17页，此课件共36页哦复合梯形公式(节点加密)由 递推逐渐逼近，达到计算精度即停止。条件成立则终止计算并以T2n为定积分 的近似值第18页，此课件共3

9、6页哦教材P68-例5.1(1)牛顿-莱布尼兹公式0.8670(2)梯形公式0.75(3)辛卜生公式0.8775(4)复合梯形公式T4=0.8617第19页，此课件共36页哦5.3 其它复合求积公式 借用积分中值定理若f是a,b上的连续函数，则存在xa,b，使得()()()baf x dxfbax将其用于积分的近似计算，取=b,得-积分右矩形公式复合右矩形公式第20页，此课件共36页哦如在区间a,b内插入节点xj=a+jh(j=0,1,n),h=(b-a)/n得到复合右矩形求积公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的误差估计)()()(axfafxfx),(bax复合右矩形公式第21页，此课件

10、共36页哦复合辛卜生公式()()4()()62baabS ff aff b记每2个节点间增加一个中值节点,节点数由n2n.节距变为h=(b-a)/2n.)(2122212jjjxxx)()(4)(3)()(2122211222jjjnjnjxxbaxfxfxfhdxxfdxxfjj展开,得)(2)(4)()(31121122njjnjjnxfxfbfafhS第22页，此课件共36页哦利用数据表 计算积分12041Idxx104arctg|3.1415926.Ix复合求积方法比较 取n=8用复合梯形公式11()()2()()2nnkkhTff af xf b111)00()(2nnnkkkkkh

11、TIf xf x 8111131(0)222282848253722218483.13899Tfffffffff=第23页，此课件共36页哦取n=4,用复合辛卜生公式复化求积方法 )(2)(4)()(31121122njjnjjnxfxfbfafhS14159.3)43()21()41(2)87()85()83()81(4)1()0(4201318fffffffffS第24页，此课件共36页哦定义如果一个求积公式(a)对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但至少对一个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。0()(),()nbkkakf x dxA f xa定理 对于求积公式

12、(a)具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对 f(x)=1,x,.xm 精确成立，而对f(x)=xm+1，不精确成立。5.4 数值积分公式的代数精度第25页，此课件共36页哦求代数精度的阶数-确定以下求积公式的代数精度5.4 数值积分公式的代数精度)()(2)(bfafabdxxfba111()(1)2(0)(1)2f x dxfff?阶代数精度1阶代数精度111()(1)4(0)(1)3f x dxfff()()4()()62baabS ff aff b?阶代数精度第26页，此课件共36页哦5.4 数值积分公式的代数精度证明代数精度的阶数第27页，此课件共36页哦0()()0,1,2.nb

13、kkakf x dxA f xkn若求积节点xk任意选取，则求积公式中含有2n+2个待定参数xk和Ak(k=0,1,n),适当选取这些参数，可使求积公式具有2n+1次代数精度，称这种用n+1个求积节点而具有2n+1次代数精度的求积公式为高斯求积公式，n+1个节点为高斯点。5.4 高斯求积公式对于插值型求积公式第28页，此课件共36页哦例：求形如 111100)()()(xfAxfAdxxf的两点高斯求积公式。100111()()()f x dxA f xA f x11()(1)(1)f x dxff梯形公式：高斯公式：对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，使求积公式对f(x

14、)=1，x，x2，x3 都准确成立 3次代数精度5.4 高斯求积公式第29页，此课件共36页哦111100)()()(xfAxfAdxxf01001 122001 133001 120230AAA xAxA xAxA xAx5.4 高斯求积公式)31()31()(11ffdxxf31,31,11010 xxAA第30页，此课件共36页哦111100)()()(xfAxfAdxxf求三点高斯求积公式高斯公式：对求积公式中的6个待定系数A0,A1,A2,x0,x1,x2，使求积公式对f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5都准确成立 代数精度阶数(2n+1)=55.4 高斯求积公式)()()()(

15、221100 xfAxfAxfAdxxfban+1个求积节点数为3n=2)515(95)0(98)515(95)(11fffdxxf得三点高斯求积公式:第31页，此课件共36页哦111100)()()(xfAxfAdxxf5.4 高斯求积公式高斯求积公式在定积分 中的应用badxxf)(构造对应函数x(t)=k+jt,使x(-1)=a且x(1)=b 得 k=(a+b)/2,j=(b-a)/2，相应有tabbatx22)(dtabdx2)232()232(2)22(2)(11ababfababfabdtbatabfabdxxfba)31()31()(11ffdxxf第32页，此课件共36页哦P7

16、5.例5.6(1)梯形公式0.75(2)辛卜生公式0.8775(3)复合梯形公式T4=0.8617第33页，此课件共36页哦求二重积分的四点高斯求积公式(了解)其中:将二点高斯求积公式直接应用到二重积分的累次积分中第34页，此课件共36页哦3.用n=8的复合梯形求积公式，计算积分 220 xnIedx并与精确值(I=0.88208139)比较。(计算中保留6位小数)881701.0)47()23()45()1()43()21()41(2)2()0(41218fffffffffT2.习题五 5.8,P80作 业1.P78，实验五 5.1,积分区间改成2,3.(增加(5)用两点高斯求积公式）第35页，此课件共36页哦感谢大家观看第36页，此课件共36页哦