3.2.1 基本不等式的证明同步练习--高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册.docx

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1、第二节基本不等式同步练习（课时1基本不等式的证明）一、基础巩固知识点1利用基本不等式证明不等式1.(多选)2022江苏徐州七中高一上期中已知a0,b0,且a+b=1,则()A.a2+b212B.ab12C.1a+1b2D.a+b22.2022河南洛阳高一上月考已知a,b,c均为正实数,求证:(1)a+b+cab+bc+ac;(2)a2+b2+b2+c2+c2+a22(a+b+c).3.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:(1x-1)(1y-1)(1z-1)8.知识点2利用基本不等式求最值4.2022陕西咸阳高二上质量调研已知m,n(0,+),且m+n=2,则mn有()A.最

2、大值1B.最大值2C.最小值1D.最小值25.2022江苏连云港高一上期末函数y=1-2x2-8x2的最大值是()A.7B.-7C.9D.-96.2022重庆巴蜀中学高一上月考已知a,b是正实数,3a+2b=ab,则2a+b的最小值是()A.83B.7+23C.5+23D.7+437.2022黑龙江佳木斯一中高一下开学考试已知a0,b0,若不等式2a+1bm2a+b恒成立,则实数m的最大值为.8.2022江苏连云港赣榆一中高一上月考(1)已知x1,求4x+1+1x1的最小值;(2)已知0x0,b0,则“a+b4”是 “ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又

3、不必要条件2.若-4x0,b0,a2+b2-ab=4,下列不等式中正确的有()1a+1b1,ab4,a+b4,a2+b28.A.1个B.2个C.3个D.4个4.对任意1x2及1y3,不等式2x2-axy+y20恒成立,则实数a的取值范围是()A.a92B.a22C.a113D.a225.(多选)2022江苏宿迁高一上期末若m0,n0,且3m+n=1,则()A.mn的最大值为112B.1m+mn的最小值为5C.1m+1+2n+2的最小值为16(5+26)D.9m2+n2的最大值为126.2022江苏南京高一上期末已知正实数x,y满足3x2+4xy+y2=2,则9x+5y的最小值为.7.2022江

4、苏省泰州中学高一下期初已知ab0,则a+4a+b+1ab的最小值为.8.已知a,b,c均为正实数.(1)求证:2b+3caa+a+3c2b2b+a+2b3c3c3. (2)若a+b+c=3,证明:1a+b+1b+c+1c+a32.9.2022江苏南京高一上联考在“基本不等式”应用探究课中,甲和乙探讨了下面两个问题:(1)已知正数x,y满足x+2y=1,求1x+2y的最小值.甲给出的解法是:由x+2y=122xy,得xy122,则1x+2y22xy=22xy8,所以1x+2y的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题,并给出正确解法.(2)结合上述问题(1)的结构形式,试求1x+312x

5、(0x8.4.A因为m,n(0,+),且m+n=2,所以mn(m+n2)2=1,当且仅当m=n=1时取等号,所以mn有最大值1.5.B由题意可得x20,所以y=1-(2x2+8x2)1-22x28x2=-7,当且仅当2x2=8x2,即x=2时取等号,所以函数y=1-2x2-8x2的最大值是-7.故选B.6.D由3a+2b=ab,得3b+2a=1,所以2a+b=(2a+b)(3b+2a)=6ab+2ba+726ab2ba+7=43+7,当且仅当3b+2a=1,6ab=2ba,即a=2+3,b=3+23时取等号.故选D.7.98.(1)因为x1,所以x-10,所以4x+1+1x1=4(x-1)+1

6、x1+524(x1)1x1+5=9,当且仅当4(x-1)=1x1,即x=32时取等号,所以4x+1+1x1的最小值为9.(2)因为0x0,b0时,a+b2ab(当且仅当a=b时取等号),则当a+b4时,有2aba+b4,解得ab4,故充分性成立;当a=1, b=4时,满足ab4,但此时a+b=54,故必要性不成立,综上所述,“a+b4”是“ab4”的充分不必要条件.故选A.2.D3.D由题意,得a2+b2=ab+42ab,即ab4,当且仅当a=b=2时取等号,故正确;由得,1a+1b21ab214=1,当且仅当a= b=2时取等号,故正确;由a2+b2-ab=4,得(a+b)2=3ab+412

7、+4=16,即a+b4,当且仅当a=b=2时取等号,故正确;a2+b2= ab+44+4=8,当且仅当a=b=2时取等号,故正确.故选D.4.D依题意,对任意1x2及1y3,不等式2x2-axy+y20恒成立等价于对任意1x2及1y3,a2x2+y2xy=2xy+yx恒成立.设t=yx,则2xy+yx=t+2t.因为1x2,1y3,所以121x1,所以12yx3,即12t3.因为t+2t2t2t=22,当且仅当t=2t,即t=2时取等号,所以a22,故选D.5.ABC6.437.328.证明：(1)因为a,b,c均为正实数,所以2ba+a2b2(当且仅当a=2b时等号成立),3ca+a3c2(

8、当且仅当a=3c时等号成立),3c2b+2b3c2(当且仅当2b=3c时等号成立),以上三式相加,得(2ba+a2b)+(3ca+a3c)+(3c2b+2b3c)6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),所以(2ba+a2b-1)+(3ca+a3c-1)+(3c2b+2b3c-1)3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),即2b+3caa+a+3c2b2b+a+2b3c3c3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).(2)由题可得(a+b)+(b+c)+(c+a)=6, 则左边=16(a+b)+(b+c)+(c+a)a+b+(a+b)+(b+c)+(c+a)b+c+(a+b)+(b+c)+(c+a)c

9、+a=16(3+b+ca+b+a+bb+c+c+aa+b+a+bc+a+c+ab+c+b+cc+a)16(3+2b+ca+ba+bb+c+2c+aa+ba+bc+a+2c+ab+cb+cc+a)=32,当且仅当b+ca+b=a+bb+c,c+aa+b=a+bc+a,c+ab+c=b+cc+a,a+b+c=3,即a=b=c=1时取“=”.故1a+b+1b+c+1c+a32成立.9.(1)甲的解法错误.原因是:使用了两次基本不等式,两次基本不等式取等号的情况不能同时成立.正确解法:1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=1+2yx+2xy+45+22yx2xy=9,当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时等号成立.(2)令x=m,1-2x=n,则m0,n0,2m+n=1,所以1x+312x=1m+3n=(1m+3n)(2m+n)=5+nm+6mn5+2nm6mn=5+26,当且仅当nm=6mn,即m=12+6,n=62+6时等号成立,所以当x=12+6时,1x+312x的最小值为5+26.学科网（北京）股份有限公司