证明02：四边形和多边形【学生】.docx

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1、专题二：平行四边形与多边形1多边形的关联知识（1）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n2)个三角形；n边形对角线条数为（2）内角和：n边形内角和公式为(n2)180；（3）外角和：任意多边形的外角和为360.2正多边形（1）正n边形的每个内角为，每一个外角为（2）正n边形有n条对称轴.3平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等（2）角：对角相等，邻角互补（3）对角线：互相平分4平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）对角线互

2、相平分的四边形是平行四边形.（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形5矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长宽=2SABD=4SAOB（如图）6矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形7菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底高=对角线乘积的一半8菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形9正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平

3、分；（3）面积=边长边长=2SABD=4SAOB10正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分【基础例题】1若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（ ）A正五边形B正六边形C正八边形D正十边形2已知：如图，点在的边上，CF/AB，交于，（1）如图1，求证：；（2）如图2，若，请直接写出和面积相等的三角形3如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）已知，求四边形AODE的面积4如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F

4、是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t（1）若ABE的面积为30，直接写出S的值；（2）求证：AE平分DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值5如图，在矩形ABCD中，AB16cm，AD6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/秒的速度向点B移动，点Q以2cm/秒的速度向点D移动，当点P到达 点B处时，两点均停止移动（1）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？ （2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明 理由6如图，在四边形中，对角线，交于点，平分，

5、过点作交的延长线于点，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长7如图，在ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BE=DF（1）求证：ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求ABCD的面积8已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想9如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BHAE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF(1)求证：

6、AE=BF(2)若正方形边长是5，BE=2，求AF的长10如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分ACD交BD于点E，(1)求DE的长；(2)过点E作EFCE，交AB于点F，求BF的长；(3)过点E作EGCE，交CD于点G，求DG的长变式拓展1一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500，则这个多边形的边数是（ ）A8B9C10D112下列关于多边形的说法不正确的是（ ）A内角和外角和相等的多边形是四边形B十边形的内角和为1440C多边形的内角中最多有四个直角D十边形共有40条对角线3有公共顶点，的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接交正六边形于点，则的度数为

7、（）ABCD4如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为4，求四边形的面积5如图，在ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AEEFFC（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若CDE90，DC8，DE6，求DEBF的周长6如图，在长方形纸片中，将长方形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，此时（1）求的值；（2）在边上是否存在一个动点，且不与点、重合，使的周长最小如果存在求出的周长最小值：如果不存在，请说明理由；7如图在四边形中，交于点，点、点分别是、的中点（1）如果，观察猜想与之间的关系，并证明你的猜想（2）如果，求线段的取值范围8如图，在ABC中，点D是BC边的中点，点E是

8、AD的中点，过A点作AFBC，且交CE的延长线于点F，联结BF（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当ABAC时，求证：四边形AFBD是矩形；9如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEBD（1）求证：OEDC（2）若AOD120，DE2，求矩形ABCD的面积10如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若，求AE的长.11如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOCO，BODO，且ABC+ADC180（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若ADF：FDC3：2，DFAC，求BDF的度数12如图

9、，在ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，PHAB于点H(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由 13如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动.(1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；(2)几秒后，DPQ的面积是24cm2.14在RtABC中，BAC=90,D是BC的中点，E是AD的中点过点A作AFBC交BE

10、的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积15如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 16如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若AB8cm，BC4cm，求四边形DEBF的面积17如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点（1）求证：

11、四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S18如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，BCF=120，求菱形BCFE的面积19（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE，求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯

12、形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积20四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF（1）求证：ADEABF；（2）若BC=12，DE=5，求AEF的面积21如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE，CF（1）求证：AE=CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长22如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形（

13、1）如果，当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 ，线段的数量关系为 ；当点在线段的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由 23如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，EBF是等腰直角三角形，其中EBF=90，连接CE、CF（1）求证：ABFCBE；（2）判断CEF的形状，并说明理由24如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点（1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点

14、，分别交于点，求的值【巩固拔高】1.一个多边形的内角和是1080，则这个多边形的边数是（）A. 9 B. 8 C.7 D.62.已知一个正多边形的一个外角为36，则这个正多边形的边数是（）A7B8C98D103.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.ADBCB.OA=OC,OB=OD C.ADBC,AB=DCD.ACBD4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （ ） A.ABDC，ADBC B.AB=DC，AD=BC C.ABDC，AD=BC D.OA=OC，

15、OB=OD 5.如图,在ABCD中,将ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若B=60,AB=3,则ADE的周长为()A.12B.15C.18D.216.如图,ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OEBD交AD于点E,连接BE,若ABCD的周长为28,则ABE的周长为()A.28B.24C.21D.147.如图,E是ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是()A.ABD=DCE B.DF=CF C.AEB=BCD D.AEC=CBD8.如图，在ABC中，A40，ABAC，点D在AC边上，以C

16、B，CD为边作BCDE，则E的度数为 A40 B50 C60 D709.如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ）A 21B. 28C. 34D. 4210如图，是面积为的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）A.B.C.D.的大小与点位置有关11.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.12.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,BEO的周长是8,则BCD的周长为.13.如图ABCD中,ADC=119,BEDC于点E,DFBC于点F,BE与DF交于

17、点H,则BHF=度.14.以ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系若A点坐标为（2，1），则C点坐标为 15如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,ABED,ACFD,AD交BE于O.求证:AD与BE互相平分.16.如图,在ABCD中,点E是BC边的一点,将边AD延长至点F,连接CF,DE,使得AFC=DEC.(1)求证:四边形DECF是平行四边形;(2)如果AB=13,DF=14,tanDCB=125,求CF的长.17.如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C处,BC与AD相交于点E.(1)连接AC,则AC与BD的位置关系是

18、;(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.18.如图，在中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE=DF.连接EF,分别与BC、AD交于点G、H.求证：EG=FH.【巩固拔高】矩形、菱形、正方形1.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2. 如图,菱形ABCD中,D=150,则1=()A.30B.25C.20D.153. 已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为()A.22B.25C.42D.2104.如图在平行四边形ABCD中,M,N是BD上的两点,BM=DN,连接A

19、M,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()A.OM=12ACB.MB=MOC.BDACD.AMB=CND5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点,若AB=AD=5,BD=8,ABD=CDB,则四边形ABCD的面积为()A.40B.24C.20D.156.如图,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE长为3 cm,则对角线AC和BD长之比为()A.12B.13C.12D.137.如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为()A.45B.43C.10D.88、下列条件不能判断ABCD

20、是正方形的是()A.ABC=90且AB=AD B.AB=BC且ACBDC.ACBD且AC=BD D.AC=BD且AB=BC9.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形10、如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60,则CF的长是()A.3+14B.32C.3-1D.2311、.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱形

21、,那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)12、 已知一个菱形的边长为2,较长对角线长为23,则这个菱形的面积是./13、.如图K24-7,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为.13、. 把图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图,图所示的正方形,则图中菱形的面积为.14.如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF.(1)求证:ACEF;(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O,若BD=4,tanG=12,求AO的长.15.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.(1)求证:ABECDF;(2)当ACEF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.16. 如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若A=50,则当BOD=时,四边形BECD是矩形.17、.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AGED交DE于点F,交CD于点G.(1)求证:ADGDCE;(2)连接BF,求证:AB=FB.21学科网（北京）股份有限公司