大学课件 高等数学下册 7-1.PPT

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1、第七章 多元函数微分学第一节 多元函数,理学院数学系 主讲教师：付一平,一、平面点集,第一节 多元函数,坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集记作 E(x y)| (x y)具有性质P,例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C(x y)| x2y2r2 或CP| |OP|r 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离,1. 邻域,(圆邻域),在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,平面上的方邻域为,E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.,内点、 外点、 边界点、聚点、孤立点：,内点,外点 如果存在点P的某个

2、邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点,边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边界点,聚点 如果点P的任一去心邻域内都含有属于E的点 则称P点为E的聚点聚点本身可能属于E，也可能不属于E.,孤立点 如果点P属于E，但不是E的聚点，即存在点P的一个领域U(P),使 则称P是E的孤立点.,开集、闭集、连通集、区域、有界区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E 的所有聚点都属于E , 则称 E 为闭集；, 若集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 E 是连通的 ;, 连通

3、的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。, 对区域 E , 若存在正数 K , 使一切点 PE 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 E 为有界域 ,界域 .,否则称为无,例如，在平面上,开区域,闭区域,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 球心在原点、半径为a的上半球面方程为,1. 二元函数的定义,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（2） 二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,单值分支:,n 元有序实数组,的全体称为,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第,记作,即,一个点,（3）n维空间,

4、n 维空间,k 个坐标 .,n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,n维空间中两点间距离公式 ：,4. n元函数的定义,例如 三元函数,定义域为,单位闭球,三、多元函数的极限,说明：,（2）定义中 的方式是任意的；,（3）二元函数的极限也叫二重极限,（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（1）函数f在点P0可以有定义，也可以无定义；,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,要证,注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A .,(2)由此我们可以得到,确定极限 不存在

5、的方法：,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,例3. 讨论函数,例4：证明： 当 时极限不存在.,证明：取 沿直线 趋于原点的路径,所以极限不存在.,例5 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,例6 求极限,解,其中,与二元函数的极限类似，可以定义n元函数的极限,四、多元函数的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例8 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区

6、域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上必能取得它的最大值和最小值,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上比能取得介于这两值之间的任何值,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元连续函数的和，差，积均连续. 分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合函数也是连续的,（3）运算性质,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,例9,解,1. 点集,邻域 :,区域,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,五、小结,有,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,思考题,