大学课件 高等数学下册 第七章_多元函数微分学(一).ppt

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1、1,第七章 多元函数微分学(一),典型例题,主要内容,堂上练习题,小结,2,一、主要内容,定义2 (点函数),设D是n维空间中的一个点集,如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则,有确定的数u与之对应,则称对应法则,是定义在D上的函数.,记为,点集D称为这个函数的定义域.,第1节 多元函数,一. 定义,3,二. 多元函数定义域,定义域为符合实际意义的,自变量取值的全体.,实际问题中的函数:,自变量取值的全体.,纯数学问题的函数:,定义域为使运算有意义的,规定:分母不为0;负数不能开偶次方;0和负数没有对数;正弦,余弦的绝对值不超过1;00无意义.,4,记作,定义2,有,成立.,的极限.,设二元

2、函数,P0(x0, y0)是D的聚点.,的定义,义域为D,如果存在常数 A,也记作,三. 多元函数的极限,5,说明,(1) 定义中,(2) 二元函数的极限也叫,(double limit),的方式是任意的；,二重极限.,6,相同点,多元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数在某点的极限存在的充要,?,定义相同.,差异为,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而多元函数,于P0时,相同点和差异是什么,条件是左右极限都存在且相等;,都有极限,且相等.,7,确定极限,关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.,不存在,的方法,则可断言极限不存在;,若极限值与 k 有关,(1),(2),此时

3、也可断言,找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.,存在,沿直线,8,四、多元函数的连续性,设二元函数,则称函数,定义3,P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0D.,如果,连续.,如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的,每一点连续,则称函数,在D内连续,或称函数,是 D内的连续函数.,的定义域为D,9,有界闭区域上连续的多元函数的性质,至少取得它的最大值和最小值各一次,介于这两值之间的任何值至少一次,(1) 最大值和最小值定理,(2) 介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上,在有界闭区域D上的多元连续函数,如果,在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得,1

4、0,第2节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,定义,存在,内有定义，,函数有相应的增量,如果极限,则称此极限为函数,(称为关于x的偏增量).,记为,对x的偏导数,11,记为,或,同理,可定义函数,为,记为,或,对x的偏导数,对y的偏导数,12,那么这个偏导数,仍是,的二元函数,它就称为函数,如果函数,对自变量x的偏导函数,(简称偏导数),记作,或,同理,可定义函数,对自变量y的,偏导函数,(简称偏导数),记作,或,在区域D内任一点,(x, y)处对x的偏导数都存在,13,结论:,14,偏导数的概念可以,推广到二元以上函数,设,则,求多元函数,对某个变元,的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求

5、导即可.,只要把其他变元当作常量,而把函数当,15,二、偏导数的几何意义,设二元函数,在点,有,如图,为曲面,偏导数.,上的一点,过点,作平面,此平面,与曲面相交得一曲线,曲线的,方程为,由于偏导数,等于一元函数,的,导数,故由一元函数导数的几何意义,16,可知:,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对,x轴的斜率;,偏导数,在几何上表示,曲线,在点,处的切线对y轴的斜率.,17,纯偏导,混合偏导,定义,三、高阶偏导数,高阶偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,18,多元函数的高阶混合偏导数如果连,一般地,续就与求导次序无关.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域D内,定理,连续，,那么

6、在,导数,该区域内,19,第3节 全微分及其应用,处的,全微分.,可表示为,可微分,在点,则称函数,称为函数,记作,即,函数若在某平面区域D内处处可微时,则称,可微函数.,这函数在D内的,而不依赖于,一、全微分的定义,20,可微与偏导数存在有何关系呢？,?,微分系数,全微分有类似一元函数微分的,A=? B=?,两个性质:,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.,的线性函数;,高阶无穷小.,21,1. 可微分的必要条件,( 可微一定有偏导数存在).,定理1,(可微必要条件),如果函数,可微分,且函数,的全微分为,二、可微的条件,22,都不能保证函数在该点连续.,多元函数在某点可微是否保证,事实

7、上,显然,答:,由全微分的定义有,可得,多元函数可微必连续,连续的定义,?,不连续的函数,上一节指出,多元函数在某点各个偏导数,即使都存在,函数在该点连续,如果函数,可微分,则函数在该点连续.,一定是不可微的.,23,根据可微的定义有下面结论:,24,2. 可微分的充分条件,定理2,(微分充分条件),偏导数,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,叠加原理也适用于二元以上函数的情况.,称为二元函数的微分符合叠加原理,如三元函数,则,25,考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:,选择题, f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个

8、偏导数连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.,若用“”,表示可由性质P推出性质Q,则有,26,二、典型例题,例1 求下面函数的定义域,27,设函数,证明:,当P(x, y)沿x轴的方向,当P(x, y)沿y轴的方向,也有,证,函数的极限不存在.,无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例2,28,函数的极限存在且相等.,当P(x, y) 沿直线 y = kx 的方向,其值随k的不同而变化.,所以,极限不存在,说明函数取上面两个,无限接近,于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数,证明:,函

9、数的极限不存在.,特殊方向,29,练习,取,解,当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,30,极限不存在.,取,31,例3 证明函数,分别对于每个自变量x和y都连续,但作为二元函数在点 却不连续.,32,例4 求极限,解,其中,33,例5 求极限,解,将分母有理化,得,34,求多元函数的偏导数,例 6 求 的偏导数.,利用一元函数,只需将y,的求导法对x求导即可.,看作常量,并不需要新的方法,例 7 求 的偏导数.,35,三个偏导数.,解,求某一点的偏导数时,例8,变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的,可将其它变量的值,再求导,

10、常常较简单.,36,证,例9,37,思考,曲线,在点(2,4,5)处的切线,与x轴正向所成的倾角是多少?,解,在点(2,4,5)处的切线,与y轴正向所成的倾角是多少?,思考,曲线,38,解,例10,按定义得,39,但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.,按定义得,由以上计算可知,在点,处可偏导,40,二元函数f(x, y)在点 (x0, y0)处两个偏导数 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是 f (x, y) 在该点连续的 ( ).,A. 充分条件而非必要条件,B. 必要条件而非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分条件又非必要条件,D,41,例11,验证函数,满

11、足拉普拉斯方程:,42,例12,解,有,43,按定义得,44,例13,45,例14. 设函数,证明: (1) 函数,例15. 设函数,证明: (1) 函数,(2) 函数,46,三、堂上练习,1. 函数,的连续范围是_.,2. 已知函数,3. 函数,在_处间断.,47,4. 讨论函数,的连续性.,5. 设,48,答案: 0,解,6. 设,49,7. 设,其中 有二阶连续偏导,求,8. 设,其中 可微,证明:,50,9. 设,10. 证明:,51,四、小结,多元函数的概念, 二元函数的几何意义,理解,二元函数的极限与连续的概念,了解,有界闭区域上多元连续函数的性质,了解,多元函数的偏导数与全微分,理解概念,会求偏导 与全微分,全微分存在的必要条件和充分条件,了解,