大学 高等数学 竞赛训练 微分方程.doc

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大学生数学竞赛训练五微分方程一、 （15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式 1）求导数；2）证明：当时，成立不等式：。解：1）设，则有 当时有 两边关于求导得 解微分方程得 由条件可得，因此2）当时，所以此时有；又因为，当时，所以此时有，因此当时，有 二、 （15分）设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。解：1）如果为常数，则有 因为，所以，由此可得，此时方程变为 令，则有2）如果不是常数，则有，代入原方程可得 （1） （2）由（1）、（2）可得 令，则有，解得，因为它们是线性无关的，所求通解为 三、 （15分）有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点处，求他攀登的路线方程。解：设所求曲线在面上的投影为，则其切向量与函数的梯度平行，因此有 此为一阶齐次方程，解得，由可得，再由题意得到 所求曲线方程为。四、 （15分）求方程的通解。解：设，则有，原方程化为 解得 五、 (15分)设，求在上的连续函数使得其在上满足方程 及初值条件。解：解方程得 当时，当时，由的连续性可得，又因为可得，所求函数为。六、 （15分）已知二元函数有二阶连续的偏导数，并且满足 证明：。证明：因为二元函数有二阶连续的偏导数，所以 由此可得。第4页（共4页）