大学 高等数学 竞赛训练 积分学.doc
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大学生数学竞赛训练三积分学一、 （15分）计算。解：原式二、 （20分）设曲面和球面1）求位于内部的面积2）设，求位于内部的体积。解：1）解方程组得 方法二、。2）此为旋转体的体积 方法二、三、 （15分）求，其中为球面，并取外侧。解：对应外侧的单位法向量为由对称性可得，所以。四、 （15分）设函数具有二阶导数，且，函数在区间上连续，证明： 证明：利用泰勒公式，对任取的有 其中在之间，因为，所以我们有取，则有两边在上关于可得 五、 （15分）计算。解：设，则有，又因为，所以。方法二、原式 六、 （20分）设具有二阶连续偏导数，光滑曲线是区域的边界，证明： 其中是沿曲线外法向量的方向导数。证明：设曲线的单位外法向量为，则曲线的正方向（逆时针方向）对应的单位切向量为，因为 所以。第4页（共4页）
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