大学 高等数学 竞赛训练 级数.doc

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大学生数学竞赛训练四级数一、（20分）设 1）证明： 2）计算证明：1）设，因为 所以，当时，为常数，即有 （注意这里利用了极限）2） 。二、（15分）设在点的一个邻域内有连续导数，且。证明：级数收敛，但级数发散。证明：因为，由连续性可得，由导数的连续性可得存在的一个邻域内，这就说明当充分大时，数列是递减的，并且，由莱布尼茨判别法可得，级数收敛；由单调增可得，级数是正项级数，对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在有 当充分大时有，因为级数发散，由比较判别法，级数发散。三、（15分）求级数的和。解：因为 所以。四、（15分）设是以为周期的连续函数，是的傅里叶系数，证明贝塞尔不等式 证明：因为，设，则有以上利用了是正交系，所以五、（20分）已知，求与轴所围成图形的面积。解： 简单计算可得仅有两个解，并且当时，所以所求面积为六、（15分）判断级数的敛散性。解：因为 由比较判别法可得，级数收敛，再用比较判别法可得级数收敛。第4页（共4页）