大学 高等数学 竞赛训练 试题.doc

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一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）1）解：因为 所以，原式2）设，求。解：因为 所以。3）求，其中。解：4）求幂级数的和函数，并求级数的和。解：设，则有上式两边关于求导得。二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证： 1）如果，则 2）如果存在正整数，使得，则。证明：1）因为所以存在有。对任意的，存在整数，当时有又因为存在整数当有，所以取当时有这就证明。2）设，则有。三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。求证：在开区间内至少存在一点，使得。证明：因为，在之间，所以，其中，又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。在点处（其中）有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。求证：和。证明：此题是错题。六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。记第一型曲面积分为。求证：证明：当时， 。当不全为零时，用微元法证明。用平面去切球面，其中设平面切球面所得半弦长，则所切小环带展开后长为，宽为。第4页（共4页）