2022年2022年集合函数 .pdf

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1、1 第一部分集合和函数复习知识结构：函数函数图形的变换数函数的图像性质幂函数、指数函数、对性）奇偶性、对称性、周期函数的性质（单调性、值域函数的概念、定义域、集合和集合的运算一、集合知识：1.集合的基本概念指定的某些对象的全体称为一个集合集合中的每个对象叫做这个集合的元素，a是集合 A 的元素表示成aA，a 不是集合A 的元素表示成a?A.（1)集合的性质：对于一个给定的集合，其元素具有确定性、互异性、无序性（2）集合的表示：集合的表示方法有列举法、描述法以及图示法（3）常见的数集有：N(自然数集）、N*或 N+（正整数集）、Z（整数集）、Q(有理数集）、R（实数集）、C（复数集）2集合的性质

2、任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A=B.如果CACBBA，那么，.注：Z=整数（）Z=全体整数 （）3.（x，y）|xy=0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集.（x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例：1323yxyx解的集合(2，1).点集与数集的交集是.（例：A=(x，y)|y=x+1 B=y|y=x2+1 则 AB=）4.n 个元素的子集有2n个.n 个元素的真子集有2n1 个.n 个元素的非空真子集有 2n2 个.5

3、.集合与集合的关系（1)A?B 定义为：任一aA，都有 a B.A=B?A?B 且 B?A.（2）AB x xA 且 xB（3）AB x xA 或 xB(4)?U A=x x?A 且 xU（其中 U 为全集，以下相同）6.集合的交、并、补的性质名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2（1）A?A?A A（?U A）?AUA AUU AU（?U A）U?U（?U A）A（其中?为空集）（2）A BBA ABB A.（3）（AB）CA（BC），（AB）CA（B C）（4）若 A?B，则 A BA，ABB.（5）A（BC）（AB）（AC）A（BC）（AB）（AC）（

4、6）?U（A B）（?U A）（?U B），?U（AB）（?U A）（?U B）二、函数的概念：1.函数的概念给定两个非空的数集A 和 B，如果按照某个对应关系f,对于 A 中任何一个数x，在 B中都有唯一确定的数y 与之对应，那么就把对应关系f 叫做定义在A 上的函数，记作 f;A B或 y=f(x),xA.此时的 x 叫自变量，集合A 叫做函数的定义域，集合C=f(）叫做函数的值域且C?B.函数有三个要素：定义域、值域和对应关系2.函数的表示列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法解析法：一个函数的对应关系

5、可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法3.分段函数（1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数称为分段函数（2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集4.映射的概念如果两个集合A 与 B 之间存在着对应关系f,而且对于A 中的每一个元素x，B 中总有唯一确定的元素y 与它对应，就称这种对应是从A 到 B 的映射如果A 到 B 的映射满足A中的不同元素的像也不同，B 中每一个元素都有原像，则称这样的映射为一一映射三、函数的性质：1.函数的单调性(1)定义：对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当 x1 x2时

6、，都有 f(x1）f(x2），则称 f(x)在这个区间上是增（减）函数，该区间称为f(x）的单调递增（减）区间(2)特征：增（减）函数的y 值，随自变量x 值的增大而增大（减小），即从左边往右边看增函数的图象是上升的，减函数图象是下降的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3 2.函数的奇偶性（1)定义：对于函数f(x)定义域内任一个x，都有 f(-x)-f(x)(f(-x)=f(x)），则 f(x)叫做奇函数（偶函数）（2）定义域的对称性：函数定义域关于原点对称，是函数为奇（偶）函数的必要条件（3)图象的对称性：f(x)是奇（偶）函数?f(x)的图象关于原点

7、（y 轴）对称3.函数的周期性对于函数f(x)，若存在不为零的常数T，对定义域内任意x 都有 f(x T)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，常数T 叫做此函数的周期四、幂函数、指数函数、对数函数1.幂函数把函数 y=za(常数 a是实数)叫做幂函数.一般只考虑a=1,2,3,21-1 时的幂函数的图像和性质及其简单应用.2.指数函数（1)分数指数幂及运算性质定义:anm=nma,anm_=nma1,（a 0，a 0，m,n N*，且 1）；运算性质:as at=as+t,(as)t=ast,(ab)=asbs（其中 a 0,b0,s,tQ）.(2)指数函数的定义把函数 y=a（常数 a0

8、且 al）叫做指数函数3.对数函数（l）对数的定义及其运算性质定义：若abN，则 logaNb（a0，a1，N0）运算性质:loga(MN)=logaM+logaN,logaNM=logaM-logaN，logaMn=nlogaM(M0,N0,a0,a 1)恒等式：logal0，log.a a 1，alogaNN（a0，a1，N0）等（2）对数换底公式：logababccloglog（b0，a0，c0：a 1 c1）（3)把函数 Y=logax（常数 a0 且 a1）叫做对数函数4.反函数(1)反函数的概念:设函数 y=f(x)的定义域是A、值域是 C.如果从 y=f(x)中用 y 把x 表示

9、出来，得到x=(y),并且对于C 中任意一个,在 A 中有唯一的x 与之对应，那么x=(y)就表示 x 是 y 的函数，这个函数叫做原函数的反函数习惯上，把 y=f(x)的反函数记为y=f1（x）(2)简单的反函数的求法：先从 y=f(x)中将 x 用 y 表示出来,再按习惯(即用 x 表示自变量,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4 用 y表示函数值)将解出来的表达式中的x 与 y 的位置同时互换,即得原函数的反函数y=f1(x)(3)互为反函数的性质：互为反函数的两个函数的主要性质有:反函数的定义域和值域,分别是原函数的值域和定义域；互为反函数的两个函

10、数的图象关于直线y=x 对称；原函数与其反函数具有相同的单调性5.指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax(a0，a1)与对数函数y=logax（a0，a1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，其图象和主要性质如下表指数函数 y=ax.(a0，a 1)对数函数y=logax（a0，a1)定义域R(0,+)值域(0,+)R 图象y 0a1 a1O x y a1O 0a1性质(1)图象恒过定点(0,1).(2)当 a0 时在 R 上递增;当 0a1 时在 R 上递减.(1)图象恒过定点(1,0).(2)当 a1 时在(0,+)上递增;当 0a0向 左 h0向 上k 0向 下 平 移个 单

11、位时(时)ky=f(x)+k的图象对称变换：将 y=f(x)的图象作关于轴的对称xy=f(x)的图象；将 y=f(x)的图象作关于轴的对称yy=f(x)的图象；将 y=f(x)的图象作关于原点的对称y=f(x)的图象；将 y=f(x)的图象作 关 于直 线=x对 称y的y=f 1(x)(原函数的反函数）的图象；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5 将 y=f(x)的图象关 于 直 线=a对 称x的y=f(2 a x)的图象（若函数y=f(x)满足f(x-a)=f(a-x)，则 y=f(x)的图象关于直线y 轴对称）；将 y=f(x）的图象保 留 轴 右 边

12、 的 图象 去 掉 轴 左 边 的 图 象yy并作关于，轴的对称，得y=f(|x|）的图象；将 y=f(x）的图象保 留 轴 上 方 的 图 象并 将轴下 方 的 图 象 翻 折 到 轴 上 方yXxy|f(x)|的图象伸缩变换：将 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（1)或伸长（0 1)到原来的1，可以得到y=f(x)的图象；将 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A1）（0A1 时缩短）到原来的 A 倍，可以得到函数y=Af(x)的图象等一、集合部分：例题：1、设集合 A13xx，32a，那么下列关系正确的是（）AAaBAaCAaDAa2、已知集合4),(,2),(yxyxNyxyxM

13、，那么集合NM为（）A1,3 yxB)1,3(C1,3D)1,3(3.设集合 M=x2-1-xx21，N=xx+2x-3 3，B=xx2x60，则 AB=（）（A）（3，2（1，）（B）（3，21，2）（C）3，2）（1，2（D）（，3（1，2U B A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -6 3.设 A，B，U 均为非空集合，且满足A?B?U，则下列各式中错误的是（）（A)（?U A）BU（B)（?U A)（?U B)U（C）A（?U B)?（D)（?U A)（?U B)?U B 4.如图 1-2 所示，U 为全集，M，P，S 是 U 的三个子集，则阴影部

14、分所表示的集合是（）（A)（MP）S（B)（MP)S（C）(MP)（?U s)（D）（MP）（?U s）5.若全集 U=R,f(x),g(x)均为 x 的二次函数P=xf(x)0 ，Q=xg(x)0，则不等式组0)(0)(xfxg的解集用P，Q 表示为6.设集合 A5，log2（a3），集合 Ba，b，若 AB2，则 AB7.已知集合 A a2，a1，3，B a3，2a1，a21，若 AB 3，求实数 a 的值8.已知 A xylg(4x24），B y y2x23，则 AB9、若不等式022bxax的解集为)31,21(，求ba的值10已知25Axx，121 Bx mxm，BA,求m的取值范围

15、。11已知集合22,1,3,3,21,1AaaBaaa，若3ABI，求实数a的值。二、函数的概念和性质例题 1、下列各组函数中表示同一函数的是哪一组？f（x）1 与（x）xo；f（x）1 gx2与 g（x）21gx；f(x）x21 与 g(）x21f(）ax（a）与 g（）at（a）2、给定映射f:（x，y)（xy，xy)，求在 f 下（2，3)的像及（2，3)的原像3、求下列函数的定义域（1）y1g（164x）+（x+1）0；（2）y=2x1)-xn(1x；（3）y=2x-25+lgcosx;4、已知22(1)()(12)2(2)xxfxxxx x，若()3f x，则x的值是（）MPSU图-

16、21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -7 A1B1或32C1，32或3D35、设)10(),6()10(,2)(xxffxxxf则)5(f的值为（）A10B11C12D136、证明 f(x)exxe1在(0，）上是增函数7、函数 f(x）=log0.5（x2-6x 8)的递增区间是；递减区间是.8、在区间(-,0)上为增函数的是().(A)y=-log0.5(1-x)(B)y=xx_1(C)y=-(x+1)2Dy=1+x2 9、设 aR,f(x)1_22x-a 是奇函数，求a 的值10、已知 f(x)x2 asinxx8，且 f(-2)10，则 f(2).

17、11、已知 f(x)是定义在（-1，1)上的偶函数，且在区间0，1)上是增函数，若有不等式f(a-2）-f(3-a)0 成立，求实数a 的取值范围练习：1.下列函数中，与函数yxx313_1+具有相同奇偶性的是（）.(A)y=|x+l|x-1|(B)y=2-x(C)y=xxxsin_1)sin_1(sin(D)y=xx313_1+212.定义在 R 上的函数f(x)在(-,2)上是增函数，且y=f(x 十 2)图象的对称轴是直线x=0，则下列关系式成立的是（）（A)f(-1）f(3）（C）f(-1）=f(-3）（D)f(2）0 总成立，求实k的取值范围.8、已知)(xf是奇函数，而且函数在（0

18、，+）上是减少的。证明)(xf在（-，0）上是减少的。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8 三、幂函数、指数函数和对数函数例题：1、计算（1）计算 12532+(21_)161+3433121的值；（2）求适合不等式x1 x2的 x 的取值范围（3)22)2(lg20lg5lg8lg325lg?2、求下列函数的定义域：（1）、)24(log2xy；（2）、1210log3xy3、已知121loga，（1）当10a时，a的取值范围是；（2）当1a时，a的取值范围是；4、已知yxyxyxlglg4lg3lg)32lg()lg(。求yx:的值。5、研究函数xxy

19、11lg的定义域、单调性和奇偶性。练习 1.方程 5x-110 3x8 x的解集是（）.(A)1，4|(B)141，(C)41，(D)4,412.如果 1x y，则下列不等式成立的是（）（A）3y-x3 x-y（B）3 x-13 1-y（C）3 x-131-y，（D）logo.2（x-l）logo.2（y-1）3.不等式（31）x2-83-2x的解集是.4.函数 y=2-x2+6x-17的值域为，递增区间为.5.已知log18 9=a,18b=5：用 a,b 表示log36 45 6.已知522xx，求（1）xx44；（2）xx88；7.已知bxbxxfalog)(（0,1,0 xaa）(1)求)(xf的定于域；（2）判断)(xf的奇偶性并加以证明；（3）讨论)(xf单调性。8.已知 8,21x，试求函数)4(log)2(log)(22xxxf的最大值和最小值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -