2022年曲线的离心率求法 .pdf

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1、1/8圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：cea（其中c为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：0,1e（2）双曲线：1,+e2、圆锥曲线中,a b c的几何性质及联系（1）椭圆：222abc，（2）双曲线：222cba3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,a b c的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两

2、条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,a b c进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解（3）利用三角形的相似关系（4）利用点线距离关系4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,a b c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,

3、a b c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：0,1e，双曲线：1,+e二、考点一：求离心率方法一：焦点三角形问题例 1（1）：设12,F F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F，则椭圆的离心率为（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2/8A33 B36 C13 D16答 案：A 小 炼 有 话 说：在 圆 锥 曲 线 中，要 注 意O为12F F中 点 是 一 个 隐 含 条 件，如 果 图 中 存 在 其 它 中 点，则

4、 有 可 能 与O搭 配 形 成 三 角 形 的 中 位 线。（2）：椭圆2221 02 312xybb与渐近线为20 xy的双曲线有相同的焦点12,FF,P为它们的一个公共点,且1290F PF,则椭圆的离心率为_ 答案：306小 炼 有 话 说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。（3）：设21FF，分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49|,3|2121abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为A.34B.35C.49D.3 答案：B（4）过椭圆x2a2y2b21(a

5、b0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13方法二：利用坐标运算例 2（1）已知椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，A，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM，BN 的斜率分别为k1，k2，若|k1 k2|14，则椭圆的离心率为_（2）：如图，在平面直角坐标系xOy中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.答案：1212,A ABB22221(0)xyababF12A B1B FOTMOT2

6、75e名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3/8方法三：三角形的相似关系例 3从椭圆x2a2y2b2 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32方法四：利用点线距离关系例 4(2017 全国卷)已知双曲线C：x2a2y2b2 1(a0，b0)的右顶点为A，以 A 为圆心，b 为半径作圆A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点若 MAN 60，则 C 的离心率为 _例 3：如图所示

7、，已知双曲线222210 xyabab的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于,A B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的 2 倍，若2AFFB，则该双曲线的离心率为（）A.3 24 B.2 33 C.305 D.52答案：B 考点二：求离心率的取值范围方法一：通过一些不等关系得到关于,a b c的不等式例 1（1）.椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与 A2B2交于 P 点，若 B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_（2）已知椭圆E：x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 l：3x4y

8、0 交椭圆E于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1（3）：已知 F是双曲线2221xab2y0,0ab的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A1,B1,2C1,12D2,12答案：B 小 炼 有 话 说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4/8方法二

9、：题目中某点的坐标是否有范围要求例 2（1）：已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为12,0,0FcFc，若椭圆上存在点P使1221sinsinacPF FPF F，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.0,21B.2,12C.20,2D.21,1答案：D（2）：已知12,FF是椭圆2222:10 xyEabab的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得12PFPF，则椭圆离心率的取值范围是（）A.5,15 B.2,12 C.50,5 D.20,2思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，12F PF达到最大值。所以若椭圆上存在12PFPF的点P，则短轴顶

10、点与焦点连线所成的角90，考虑该角与,a b c的关系，由椭圆对称性可知，2452OPF，所以22ta n1OFcOPFOPb，即2222cbcbcac，进而2212ca即212e，解得22e，再由0,1e可得2,12e思路二：由12PFPF可得1290F PF，进而想到焦点三角形12F PF的面积：122212tan2F PFF PFSbb，另 一 方 面：121212F PFPPSF Fycy，从 而22PPbcybyc，因 为P在 椭 圆 上，所 以,Pyb b，即2Pbybbcc，再同思路一可解得：2,12e思 路 三：12PFPF可 想 到120PFPF，进 而 通 过 向 量 坐

11、标 化，将 数 量 积 转 为 方 程。设12,0,0P x yFcFc，则有12,PFcxyPFcxy，则222120P FP Fxyc，即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径rb时才可有交点，所以cb，同思路一可解得2,12e名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5/8注：本题对P在圆上也可由12PFPF判定出P在以12F F为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为222xyc，因为P在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222b xa ya bxyc代入消去x可

12、得：2222222bcya ya b，整理后可得：422422bc ybyc，由,yb b可得：4222bybcbc，同思路一即可解得：2,12e答案：2,12e小 炼 有 话 说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解（3）已知 F1，F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆 C 离心率的取值范围是()A.23，1B.13，22C.13，1D.0，13（4）：设点12,AA

13、分别为椭圆222210 xyabab的左右焦点，若在椭圆上存在异于点12,AA的点P，使得2POPA，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A.10,2 B.20,2 C.1,12 D.2,12答案：D 小 炼 有 话 说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标三、好题精选1、（2016，新余一中模拟）已知点A是抛物线24xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PAm PB，当m取最大值时，点P恰好在以,A B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.21B.212C.512D.5

14、12、已知12,FF分别是双曲线222210 xyabab的左、右焦点，过点1F且垂直于x轴的直线与双曲线交名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -6/8于,A B两点，若2ABF是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A21,B21,C1,12 D31,3、设12,FF分别是双曲线222210,0 xyabab的左右焦点，若双曲线左支上存在一点M，使得110F MOMOF，O为坐标原点，且1233MFMF，则该双曲线的离心率为（）A.31B.312C.62D.6224、（2016四 川 高 三 第 一 次 联 考）椭 圆222210 xyabab和 圆2

15、2222btxyc，（c为椭圆的半焦距）对任意1,2t恒有四个交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A.40,5B.4,15C.170,17D.17 4,1755、（2015，新课标 II）已知,A B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（）A.5B.2C.3D.26、（2016，宜昌第一中学12 月考）已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点M在双曲线的左支上，且217MFMF，则此双曲线离心率的最大值为（）A43B53C2D737、（2015，山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线22122:10,0 xyCab

16、ab的渐近线与抛物线22:20Cxpy p交于点,O A B，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C离心率为 _ 8、（2014，浙江）设直线300 xymm与双曲线222210,0 xyabab的两条渐近线分别交于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -7/8点,A B，若点,0P m满足PAPB，则该双曲线的离心率是_ 习题答案：1、答案：A 解析：由抛物线方程可得：0,1,0,1AB，过P作准线的垂线，垂足为M，所以PBPM，所以1sinPAmPBPAM，可知m取得最大值时，PAM最小，数形结合可知当AP与抛物线相切时，PAM最小。设:1APykx，联立方程2

17、41xyykx，即2440 xkx，则01k，此时2,1P，则2 2,2PAPB，所以22 2221aPAPBa，则12121cea2、解析：2ABF为钝角三角形，且2221,45AFBFAF F即112AFF F，222220bccaaca即221012eee答案：B 3、思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形12MF F的特点，从110F MOMOF入手，可得11F MOMOF，数形结合可得四边形1OMPF为菱形，所以12OMOFOF，可判定12MF F为直角三角形。1212:3:33,3MFMFMFk MFk，可得2212122 3F FMFMFk122122 331233F Fc

18、keaMFMFkk答案：A 4、解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则2222btcabtcb对任意1,2t恒成立，即222bcabcb，平方变形后可得：222225405404,11517017eecaceeac答案：B 5、解 析：设 双 曲 线 方 程 为222210,0 xyabab，如 图 所 示：2,120BMABaABM，过点M作MNx轴于N，在Rt BMN中，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8/8,3BNa MNa，所 以2,3Maa，代 入 双 曲 线 方 程 可 得：2222321aaab可 得：1:1:1:2aa b cb，从而2ce

19、a答案：D 6、解析：由双曲线可知21162MFMFMFa，所以13aMF，因为点1MFca，即3aca，所以43ca，即最大值为43答案：A 7、解 析：由1C方 程 可 得 其 渐 近 线 方 程 为byxa，与 抛 物 线 联 立 可 解 得 交 点22222222(,),(,)pbpbpbpbABaaaa，抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为,02p2222242240AFpbpbaakpbaba，由AFOB及OBbka，可得：2244baaabb，即2222244:5:4baaba，从而22:9:4ca，所以32e8、解 析：双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为：byxa，分 别 联 立 方 程：33,xymxymbbyxyxaa可解得：,3333mabmmabmABababababaAB中点2222223,99mambDbabaPDAB222222222309333 299PDmbbakbabmamba2242abab222255cabbcb52cea名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -