2022年专题：椭圆的离心率解法大全,推荐文档 .pdf

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1、1 专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（ace或221abe）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率e322，椭圆1422myx的离心率为21，则m 解析 当焦点在x轴上时，32124mm；当焦点在 y 轴上时，316214mmm，综上316m或 3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是534，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为 解析 由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为225，已知)0.0(121nmnm则当 mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率

2、为236，设椭圆2222byax=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1，在RtABC中，90A，1ACAB，如果一个椭圆过A、B 两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率36e2，如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB与 BF交于 D,且901BDB,则椭圆的离心率为()解析 eaccacbab221)(2153，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N 两点，椭圆的左焦点为F1，直线名师资料总结

3、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -2 MF1与圆相切，则椭圆的离心率是13变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M、N 两点，如果MF=MO，则椭圆的离心率是134,椭圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)的两焦点为F1、F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？解：F1F2=2c BF1=c BF2=3c c+3c=2a e=c a=3-1 变式（1）：椭圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)的两焦点为F1、F2，点 P在椭圆上，使 OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2

4、,则 OF2=OF1=OP,F1PF2=90 图形如上图，e=3-1 变式（2）椭圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1X轴，PF2 AB,求椭圆离心率？解：PF1=b2 aF2 F1=2c OB=b OA=a PF2 AB PF1F2 F1=ba 又 b=a2-c2a2=5c2 e=55变式(3):将上题中的条件“PF2 AB”变换为“POAB(O为坐标原点)”相似题：椭圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)，A是左顶点，F 是右焦点，B是短轴的一个顶点，ABF=90，求 e?解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2a

5、2+b2+a2 =(a+c)2=a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1-52(舍去)变式(1):椭圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)，e=-1+5 2,A 是左顶点，F 是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=5-12的椭圆为 优美椭圆。性质：（1）ABF=90（2）假设下端点为B1,则 ABFB1四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2):椭圆12222byax(ab0)的四个顶点为A、B、C、D，若四

6、边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=215提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，由面积得：22barab，但cr4，设椭圆）（0ba1byax2222的左、右焦点分别为21FF、，如果椭圆上存在点P，使90PFF21，求离心率e的取值范围。解：设0,cF,0,cF,y,xP21法 1：利用椭圆范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -3 由PFPF21得222cyx，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2222222babacax2222)(eaca。由椭圆的性质知22ax0，得），以122e。附：还

7、可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1 类似）法 2：判别式法。由椭圆定义知|PFPFaPFPFPFPFa121222122224，又因为9021PFF，可得222122214|cFFPFPF，则)(2|2221caPFPF22b，1PF，2PF是方程02222bazz的两个根，则22210)(84222222eacecaa解法 3：正弦定理设记PF FPF F1221，由正弦定理有|sinsin|90sin|sin|sin|21212121FFPFPFFFPFPF又因为cFFaPFPF2|2|2121，且90则)4sin(21cossin1sinsin1ace204344则1)4sin

8、(22，2)4sin(21所以122e解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF|平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFF Fc|(|)|得ca2212所以有，）e221解法 6：巧用图形的几何特性由F PF1290，知点 P在以|F Fc122为直径的圆上。又点 P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有cbcbac2222变式(1)：圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且 PF1F2=5 PF2F1 ,求椭圆的离心率e 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定

9、理的应用。解：由正弦定理：F1F2sin F1PF2=F1Psin F1F2P 212sinFPFPF根据和比性质：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -4 x y A1 B2 A2 O T M F1F2sin F1PF2=F1P+PF2 sinF1F2P+sin PF1F2变形得：F1F2PF2+F1P=sin F1PF2sin F1F2P+sin PF1F2ac22=e PF1F2=75 PF2F1=15 e=sin90 sin75+sin15 =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2sin F1F2P+sin PF1F

10、2变式(2)：椭圆x2 a2+y2b2=1(ab 0)的两焦点为 F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且F1PF2=60，求椭圆离心率e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设 F1F2P=，则 F2F1P=120-e=sin F1PF2sin F1F2P+sin PF1F2=sin60 sin+sin(120-)=1 2sin(+30)1212eb 0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足MF1MF2=0 的点 M总在椭圆内部，则e的取值范围？分析：MF1MF2=0 以 F1F2为直径作圆，M在圆 O上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0eb 0)的两焦点为F1（

11、-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L：x=a2c 上一点，F1P的垂直平分线恰过 F2点，求 e 的取值范围？分析：思路1,如图 F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(a2c,y0)M(a2c-c 2,y02)既(b22c,y02)则PF1=-(a2c+c,y0)MF2=-(b22c-c,y02)PF1MF2=0(a2c+c,y0)(b22c-c,y02)=0 (a2c+c)(b22c-c)+y022 =0a2-3c20 33e1 解法 2：F1F2=PF2=2c PF2a2

12、c-c 则 2ca2c-c 3ca2c 3c2a2则33eb 0)，过左焦点F1且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若 F1A=2BF1,求椭圆的离心率e的值解：设 BF1=m 则 AF2=2a-am BF2=2a-m 在 AF1F2及 BF1F2中，由余弦定理得：a2c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除：2a-c 2a+c=12 e=23练习题：1，椭圆22221(0)xyabab上有一点M，12,F F是椭圆的两个焦点，若2212MFMFb，求椭圆的离心率.解 析:由 椭 圆 的 定 义，可 得212MFMFa又2212MFMFb，所 以21,MFMF是 方 程2

13、2220 xaxb的两根，由22(2)420ab，可得222ab，即2222()aca所以22cea，所以椭圆离心率的取值范围是2,1)22，在ABC中，90Ao，3tan4B若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 解析 BCACABekBCkACkAB,5,3,4123，已知21,FF为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1:211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为 _.解析 13 三角形三边的比是2:3:1 4，在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以 O为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=解析 ea

14、ca22225，在ABC中，3,2|,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -7 e【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 3sin|21AACABSABC，32|AC，2cos|2|22AACABACABBC2132322|BCACABe6，已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,0,0FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinPF FaPF Fc，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 在12PF F 中，由正弦定理得211221sinsinPF

15、PFPF FPF F，则由已知，得21acPFPF，即12aPFcPF，12cPFPFa，由椭圆的定义知12PFPF2a，222cPFPFaa，即222aPFca，由 解法三 知222211acaPFaceca椭圆的离心率21,1e。7，已知椭圆2222:1(0)xyMabab的左、右焦点分别为12,0,0FcFc，P为椭圆M上任意一点，且12PF PFuu ur uuu u rg的最大值的取值范围是22,3cc，其中22cab，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 ：设00,P xy，则22212000000,PF PFcxycxyxycuuur uu uu rgg，而222200 xyPOa,12PF PFuuu r uuu u rg的最大值为22ac，22222221232422cacccace8，在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为 2，以 O为圆心，a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=229，设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)F c，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12()P xx，（A）必在圆222xy内必在圆222xy上必在圆222xy外以上三种情形都有可能名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -