2022年数学竞赛定理 .pdf

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1、欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。欧拉大定理：ABC 的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记 OI=d,则有：d2=R2-2Rr 九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。费尔马点：已知 P为锐角 ABC 内一点，当APB BPC CPA 120时，PAPB PC 的值最小，这个点P称为 ABC 的费尔马点。

2、海伦公式：在 ABC 中，边 BC、CA、AB 的长分别为a、b、c，若 p21（a bc），则 ABC 的面积 S)()(cpbpapp塞瓦定理：在 ABC 中，过 ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC、CA、AB 与点 D、E、F，则1FBAFEACEDCBD密格尔定理：若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。葛尔刚定理:ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。西姆松定理：

3、已知 P 为 ABC 外接圆周上任意一点，PDBC，PEACPF AB，D、E、F 为垂足，则D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。笛沙格定理：已知在ABC 与 ABC 中，AA、BB、CC 三线相交于点O，BC 与 BC、CA 与 CA、AB 与 AB 分别相交于点X、Y、Z，则 X、Y、Z 三点共线摩莱三角形：在已知 ABC 三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB 相邻的每两线相名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -交于点D、E、F，则三角形DDE 是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。帕斯卡定理：已知圆内接六边形ABCDEF 的边 AB、DE

4、 延长线交于点G，边 BC、EF 延长线交于点H，边 CD、FA 延长线交于点K，则 H、G、K 三点共线托勒密定理：在圆内接四边形中，此四边形对角线的乘积等于两组对边的乘积之和布拉美古塔定理：在圆内接四边形ABCD 中，若对角线相互垂直，则自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边梅捏劳斯定理：在 ABC 中，边 BC、CA、AB 或其延长线被同一条直线截于点D、E、F，则1FBAFEACEDCBD帕普斯定理：若蝴蝶定理：圆 O 中的弦PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交PQ 于 X，Y，则 M 为 XY 之中点四边形蝴蝶定理：若四边形一条对角线平分

5、另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点（邻边）的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等拿破仑定理：1、以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆中心恰为中心等边三角形的顶点2、三角形ABC 中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.3、若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形凡奥贝尔定理：在任意一个凸四边形中，以各边为边分别向外部做正方形，将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直中线定理：在 ABC 中，点 K 为边 BC 中

6、点,BK+KC，则 AB2+AC2=2*(AK2+BK2)斯台沃特定理：任意三角形ABC 中，D 是底边 BC 上一点，连结AD，则有AB2*CD+AC2*BD-AD2*BC=BD*CD*AD 广勾股定理：1、锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -在这边上的射影乘积的两倍2、钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍3、平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和 4、ABC 三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc 则：ma=222

7、2221acb；mb=2222221bca；mc=2222221cba阿基米德折弦定理：AB 和 BC 是 O 的两条弦（即ABC 是圆的一条折弦），BCAB，M是弧 ABC 的中点，则从M 向 BC 所作垂线之垂足G 是折弦ABC 的中点，即AB BGGC 内角平分线定理：ABC 中 A 的平分线交边BC 于 D，1=2，则有ACABDCBD外角平分线定理：ABC 中 A 外角的平分线交边BC 的延长线于D，1=2，则有ACABDCBD三角形位似心定理：如图，若 ABC 与 DEF 位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P 正弦定理：在 ABC 中有RCcBbAa2sinsinsin（R 为 ABC 外接圆半径）余弦定理：a、b、c 为 ABC 的边，则有：1、a2=b2+c2-2bccosA 2、b2=a2+c2-2accosB 3、c2=a2+b2-2ab cosC 正切定理：a、b、c为 ABC 的边，A=,B=,则有(a+b)/(a-b)=tan(+)/2)/tan(-)/2)欧拉定理：简单多面体的顶点数V、面数 F 及棱数 E 间有关系V+F-E=2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -