2022年2022年函数的奇偶性知识点及经典例题 .pdf

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1、1函数基本性质 奇偶性知识点及经典例题一、函数奇偶性的概念：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，yfxDDxxD且，则这个函数叫奇函数。fxfx（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0 时，我们可以得出）00f设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，yg xDDxxD若，则这个函数叫偶函数。gxg x从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当在其定义域内时，也应在其定义域内有意义。xx图像特征如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于轴对称。y复合函数的奇偶性： 同

2、偶异奇 。对概念的理解：(1) 必要条件：定义域关于原点成中心对称。 (2)与的关系：)(xf)( xf当或或时为偶函数；)()(xfxf0)()(xfxf1)()(xfxf当或或时为奇函数。)()(xfxf0)()(xfxf1)()(xfxf二、函数的奇偶性与图象间的关系：偶函数的图象关于轴成轴对称，反之也成立；y奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2三、关于函数奇偶性的

3、几个结论：若是奇函数且在处有意义，则)(xf0 x(0)0f偶函数偶函数 =偶函数；奇函数奇函数 =奇函数；偶函数偶函数 =偶函数；奇函数奇函数 =偶函数；偶函数奇函数 =奇函数奇函数在对称的单调区间内有相同的 单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性 .四典型问题（一） 、关于函数奇偶性的判定方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为1非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上( )( )f xf x( )()f xfx的恒等式；图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性2说明：（1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下

4、表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。（2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。（3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。（4）函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。1. 判断下列函数的奇偶性： 1)； 2）xxxxf1)(2111xfxxx 3） 4）0fx)0()0(22xxxxxxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 5）2212xxxf (6

5、) 已知函数满足：，且)(xf),)()(2)()(Ryxyfxfyxfyxf，则函数的奇偶性为。0)0(f)(xf（二） 、关于函数奇偶性的运用1利用奇偶性求函数式或函数值1设函数为定义域为 R上奇函数，又当时，试求)(xf0 x2( )23f xxx的解析式。)(xf2. 已知是奇函数，当时，求当时，yfx0 x221fxxx0 x得解析式。fx3. 设函数是定义域 R上的奇函数，当时，( )f x(2)( )f xf x01x，求的值( )f xx(7.5)f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

6、 - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 44. 设在 R上是偶函数，在区间上递增，且有( )f x(,0)，求的取值范围。22(21)(321)faafaaa5. 已知函数，若，求的值。53( )4f xaxbx( 2)0f(2)f6若函数是偶函数，则( )f x)211()21(ff。7. 已知是偶函数，是奇函数，且，试求fxg x11fxg xx的表达式。fxg x与2逆用函数奇偶性求参数的值1若函数为偶函数，求实数的值。43( )(2 )(22)f xxmn xmnxmn,m n2若函数是 R上的奇函数，则实数=_2( )ln()f xxxk

7、k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 53. 已知函数，若为奇函数，求实数的取值。121xfxafxa3奇偶函数的图象关系及其运用1若奇函数在区间上是增函数且最小值为5，则在区间)(xf 7, 3)(xf上是( ) 7, 3A增函数且最小值为；B增函数且最大值为；55C 减函数且最小值为；D减函数且最大值为552已知函数在上是增函数，又函数是偶函数，则（）)(xf)2, 0()2(xfA；B；57(1)( )()22

8、fff75( )(1)( )22fffC ；D 75( )( )(1)22fff57( )(1)( )22fff3设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，已知( )f xR(,0)，那么一定有 ()12120,0,()()xxf xf xA； B；C；D120 xx120 xx12()()fxfx12() ()0fxfx4. 定义在区间的奇函数为增函数；偶函数在区间上的),()(xf)(xg),0图象与的图象重合，设，给出下列不等式：)(xf0ba; ;)()()()(bgagafbf)()()()(bgagafbf; 。)()()()(agbgbfaf)()()()(agbgbfaf其中正确的

9、不等式个数为()A1；B2；C3；D 45. 若函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，( )f xR( )f x(0,)(2)0f则不等式的解集是 _( )0f x6. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 ( )f x(0,)(1)0f( )0 xf x)AB；( 1,0)(1,)U(, 1)(0,1)UC D(, 1)(1,)U( 1,0)(0,1)U名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 67. 设都是

10、上的奇函数，则集( ),( )f xg xR|( )0(4,10),|( )0(2,5)xf xx g x合=()|( )( )0 xf x g xAB(2,10)( 10, 2)(2,10)UC D(4,5)( 5, 4)(4,5)U8. 设的定义域是，对于任意都有时xfyRyx,0, xyfxfyxf，讨论的奇、偶性并加以证明；在上12,0 fxfxfyxfyR的单调性并加以证明。求在上的最值。6, 6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -